2024年高考第二次模拟考试卷：数学（全国卷）（理科）（考试卷版A4）

这是一份2024年高考第二次模拟考试卷：数学（全国卷）（理科）（考试卷版A4），共5页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，已知函数，则是，“直线与平行”是“”的，展开式中常数项为.等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设为虚数单位，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．若向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（ ）
A．244B．243C．242D．241
5．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，则是（ ）
A．奇函数，且在上是增函数B．奇函数，且在上是减函数
C．偶函数，且在上是增函数D．偶函数，且在上是减函数
7．“直线与平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，A为C的右顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
9．展开式中常数项为（ ）.
A．11B．C．8D．
10．若函数恒有，且在上单调递减，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
11．在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．点为正方形内一点，当平面时，的最小值为
D．过点、、的平面截正方体所得的截面周长为
12．若点既在直线上，又在椭圆上，的左、右焦点分别为，，且的平分线与垂直，则的长轴长为（ ）
A．B．C．或D．或
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知，写出符合条件的一个角的值为 .
14．在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ．
15．已知函数满足对任意的实数m，n都有，则曲线在处的切线方程为 ．
16．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为 .
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前1012项和．
18．（12分）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．

(1)求证：；
(2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19．（12分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的，，三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．
(1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求；
(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为.
（ⅰ）设，证明：；
（ⅱ）若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
20．（12分）已知抛物线的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．
(1)设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程；
(2)已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2．
21．（12分）已知函数，．
(1)若恒成立，求a的取值集合；
(2)证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）已知曲线的参数方程为（为参数），直线过点．
(1)求曲线的普通方程；
(2)若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角．
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设函数的最小值为，若且，求证：．