2024春七下数学极速提分法第13招应用思想方法解相交线与平行线问题的九种技巧课件（沪科版）

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沪科版七年级下第13招　应用思想方法解相交线与平行线问题的九种技巧　　数学思想与方法是解决数学问题的核心.只有掌握了数学思想与方法，才能正确思考数学问题，找到数学问题的正确解法.1.相交线与平行线问题中体现的主要方法有：基本图形(添加辅助线)法、分离图形法、平移法.2.几种重要的数学思想：方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、建模思想、从特殊到一般的思想等. 如图所示，若∠BCD＝∠B＋∠D，判断AB与DE的位置关系，并说明理由. 欲得出AB与DE的位置关系，从已知条件中无法直接得出结论，需用构建基本图形法作辅助线将原图演变成“三线八角”或“三线平行”等涉及平行的基本图形，再根据平行线的判定进行说明.解：AB∥DE.理由如下：在∠DCB的内部作射线CF，使∠DCF＝∠D，如图所示，则DE∥FC(内错角相等，两直线平行).因为∠BCD＝∠B＋∠D，∠BCD＝∠DCF＋∠FCB，所以∠FCB＝∠B，所以FC∥BA(内错角相等，两直线平行)，所以AB∥DE(平行于同一条直线的两条直线互相平行). 基本图形(添加辅助线)法1.如图，AB∥CD，探究∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系，并说明理由.【解】∠APC＝∠PAB＋∠PCD.理由：如图，过点P作PE∥AB，则∠PAB＝∠APE.又因为AB∥CD，所以PE∥CD，所以∠PCD＝∠CPE.因为∠APC＝∠APE＋∠CPE，所以∠APC＝∠PAB＋∠PCD. 分离图形法2.若平行线EF，MN与相交线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得出同旁内角多少对？【解】如答图，将给出的图形分离为8个“三线八角”的基本图形，由每个基本图形都有2对同旁内角，知共有16对同旁内角. 平移法3.如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的小路，余下部分绿化，小路的宽为2 m.绿化的面积为 m2.540　【点拨】如图，把小路分别平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分长方形EFCG的面积就是所求的绿化的面积.因为 CF＝32－2＝30(m)，CG＝20－2＝18(m)，所以长方形EFCG的面积＝30×18＝540(m2). 方程思想4.[2023·随州期末]如图，在三角形ABE中，C，D，F分别是三边上的点，BC∥FD，∠1＋∠2＝180°. (1)AB与CD的位置关系为 ⁠；AB∥CD　【点拨】因为BC∥FD，所以∠1＝∠CDF.因为∠1＋∠2＝180°，所以∠2＋∠CDF＝180°，所以AB∥CD.(2)若∠A＝60°，∠1＝4∠ADF，求∠ADF的度数.【解】因为AB∥CD，所以∠CDE＝∠A＝60°.设∠ADF＝x，因为∠1＝4∠ADF，所以∠CDF＝∠1＝4x.因为∠ADF＋∠CDF＋∠CDE＝180°，所以x＋4x＋60°＝180°.所以x＝24°.所以∠ADF＝24°. 转化思想5.如图，A，B，C三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D.试说明：BD∥CE.【解】因为∠1＝∠2，所以AD∥BE(内错角相等，两直线平行)，所以∠D＝∠DBE(两直线平行，内错角相等).因为∠3＝∠D，所以∠3＝∠DBE(等量代换)，所以BD∥CE(内错角相等，两直线平行). 数形结合思想6.[2023·北京五十七中期中]如图，在三角形ABC中，FG⊥AC于点G，∠DEA＝∠C，∠1＝∠2. (1)∠BEC的度数为 ⁠.90°　【点拨】因为∠DEA＝∠C，所以DE∥BC，所以∠1＝∠CBE.又因为∠1＝∠2，所以∠CBE＝∠2，所以BE∥FG.因为FG⊥AC，所以BE⊥AC，即∠BEC＝90°.(2)若ED平分∠AEB，FD平分∠BFG，FD交BE于点H，求∠EHF的度数.【解】∠EHF＝112.5°. 分类讨论思想7.如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点C，交l2于点D，P是线段CD上的一个动点.当点P在线段CD上运动时，探究∠1，∠2，∠3之间的关系.【解】当点P在C，D之间时，如答图①所示，过点P作PE∥AC，则PE∥BD.因为PE∥AC， 所以∠APE＝∠1.因为PE∥BD，所以∠BPE＝∠3.因为∠2＝∠APE＋∠BPE，所以∠2＝∠1＋∠3.当点P与点C重合时，∠1＝0°，如答图②所示.因为l1∥l2，所以∠2＝∠3.因为∠1＝0°，所以∠2＝∠1＋∠3.当点P与点D重合时，∠3＝0°，如答图③所示.因为l1∥l2，所以∠2＝∠1.因为∠3＝0°，所以∠2＝∠1＋∠3.综上所述，当点P在线段CD上运动时，∠1，∠2，∠3之间的关系为∠2＝∠1＋∠3. 建模思想8.如图，为了实地测量某古塔外墙底部∠ABC的大小，张扬同学设计了两种测量方案：方案1：作AB的延长线BD，量出∠CBD的度数，便知∠ABC的度数；方案2：作AB的延长线BD，CB的延长线BE，量出∠DBE的度数，便知∠ABC的度数.同学们，你能解释他这样做的道理吗？【解】方案1利用了邻补角的性质，因为∠CBD＋∠ABC＝180°，即∠ABC＝180°－∠CBD，所以只要量出∠CBD的度数，便可求出∠ABC的度数；方案2利用了对顶角的性质，因为∠DBE＝∠ABC，所以只要量出∠DBE的度数，便可知道∠ABC的度数. 从特殊到一般的思想9.[2023·北京朝阳期中]如图，已知AB∥CD，点E是直线AB上一个定点，点F在直线CD上运动，设∠CFE＝α，在线段EF上取一点M，射线EA上取一点N，使得∠ANM＝160°. (1)当∠AEF＝50°时，α＝ ⁠；(2)当MN⊥EF时，α＝ ⁠；130°　110°　【点拨】如图①，过点M作PM∥AB，则∠ANM＋∠NMP＝180°.因为∠ANM＝160°，所以∠NMP＝20°.因为NM⊥EF，所以∠NMF＝90°，所以∠PMF＝∠NMF－∠NMP＝90°－20°＝70°.因为AB∥CD，PM∥AB，所以PM∥CD，所以∠CFE＋∠PMF＝180°，所以α＝∠CFE＝180°－∠PMF＝180°－70°＝110°. (3)作∠CFE的平分线FQ，若FQ∥MN，直接写出α的值.【解】α＝40°.【点拨】如图②，因为FQ平分∠CFE，  因为AB∥CD，所以∠NEM＝180°－α.因为∠ANM＝∠ENM＝180°，所以∠ENM＝180°－∠ANM＝20°，