四川省内江市隆昌市知行中学2023-2024学年八年级上学期第二次月考数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上；
2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）
1. 下列说法正确是（ ）
A. 1的立方根是B. ；
C. 的平方根是D. 0没有平方根；
【答案】C
【解析】
【分析】根据立方根，算式平方根，平方根的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、1的立方根是1，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、的平方根是，故选项正确；
D、0的平方根是0，故选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查立方根，算式平方根，平方根．熟练掌握相关定义，是解题的关键．
2. 在下列实数，0.31，，，，，，1.212212221…(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】无理数三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，据此逐一判断即可得．
【详解】解∵，，
∴在所列的8个数中，无理数有，，1.212 212 221…（每两个1之间依次多一个2）这3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是无理数的概念，熟练掌握无理数的三种类型是解题的关键．
3. 估算的值在（ ）
A. 在2和3之间B. 在3和4之间C. 在4和5之间D. 在5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】由4==5，由此可得出正确答案．
【详解】∵，
∴4＜＜5，
故选C
4. 计算3x2·2x2结果（ ）
A. 6x2B. 5x2C. 6x4D. 5x4
【答案】C
【解析】
【详解】分析：要注意：3x2·2x2遵循的法则是：底数不变，指数相加，即可解答.
详解：
故选C.
点睛：本题考查了同底数幂的乘法，做题时要抓住“同底数”这一关键点，注意，有的底数可能并不相同，可通过适当变形为同底数幂.
5. 若，则（ ）
A. 108B. 54C. 36D. 31
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法的逆用、幂的乘方的逆用即可得．
【详解】解：因为，
所以，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握各运算法则是解题关键．
6. 下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可．
【详解】解：A. x2−x−2=x(x−1)-2错误；
B. (a+b)(a−b)=a2−b2错误；
C. x2−4=(x+2)(x−2)正确；
D. x−1=x(1−)错误；
故答案选：C.
【点睛】本题考查的知识点是因式分解的意义，解题的关键是熟练的掌握因式分解的意义.
7. 下列命题真命题的个数有（ ）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
③若，则；
④同位角相等；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据平行线公理，以及垂线段的定义和性质和不等式的性质分别判断得出即可．
【详解】解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，是真命题；
③若，则，原命题是假命题；
④两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了真假命题，掌握相关的定理与性质是解题关键．
8. 已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（ ）
A. m＝2，n＝4B. m＝3，n＝6C. m＝﹣2，n＝﹣4D. m＝﹣3，n＝﹣6
【答案】A
【解析】
【分析】先根据多项式的乘法法则计算，合并同类项后根据乘积项中不含x2和x项可得这两项的系数为0，进一步即可求出答案．
【详解】解：原式＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
∵乘积项中不含x2和x项，
∴m﹣2＝0，n﹣2m＝0，
解得：m＝2，n＝4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多项式的乘法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键．
9. 多项式加上一个一次单项式后是一个完全平方式，这个单项式不能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题关键．
利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：多项式加上一个一次单项式后是一个完全平方式，这个单项式可以是,不能是,
故选：C．
10. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查整式乘法乘法的规律，令代入求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
当时，
，
故选：A．
11. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是50，则阴影部分的面积是（ ）
A. 12.5B. 25C. 50D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，则AE=x-y，由题意可得x2-y2=50，将S阴影部分转化为S△ACE+S△ADE，即（x2-y2），代入计算即可．
【详解】解：设大正方形边长为，小正方形边长为，则，
阴影部分的面积是：
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
12. 已知x，y，z是正整数，xy，且，则等于（ ）
A. B. 1或23C. 1D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】将化为，根据，23是素数得等于1或23，据此求解即可．
【详解】解：可化为：，
∵，
∴，
又∵23是素数，只有1和23两个因式，
则等于1或23，
当时，，
当时，，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解，素数等知识点， 熟悉相关性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13. 的算术平方根是________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据算术平方根的运算法则，直接计算即可．
【详解】解：∵，4的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根，这里需注意：的算术平方根和16的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错．
14. 分解因式：________；
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
把公因式提出来，再用平方差公式将多项式化成两个因式乘积的形式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
15. 若，则的值为________．
【答案】9
【解析】
【分析】将变形，用含b的式子表示a，将变形后的式子代入所求的代数式中进行化简即可．
【详解】解：由得，
将代入，得：
．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了代数式求值及合并同类项．解题的关键是利用了整体代入的思想，准确计算．
16. 已知a，b，c是的三边的长，且满足，则的形状为______三角形．
【答案】等边
【解析】
【分析】利用完全平方公式把原式变形为，再利用平方的非负性，可得，即可求解．
【详解】解∶∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴△ABC为等边三角形．
故答案为：等边
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，完全平方公式的应用，熟练掌握等边三角形的判定，完全平方公式是解题的关键．
三、解答题（本大题共56分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）
17. （1）计算：
（2）先化简，再求值： ，其中．
【答案】（1）；（2），16
【解析】
【分析】（1）分别计算乘方及算术平方根及绝对值、立方根，再计算加减法；
（2）根据平方差公式和完全平方公式去括号，再计算除法，最后根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出x、y的值代入计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
∵
∴，
∴，
∴原式．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，整式的化简求值，正确掌握实数混合运算的计算法则及平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
18. 如图，四边形中，，，
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
（1）根据平行线的性质得出，再由“”即可证明；
（2）结合（1）可得，，可得结论．
【小问1详解】
解：∵
∴
在和中
∴
【小问2详解】
∵
∴
∵，
∴，
∴
19. 已知a+b=6，ab=3，求下列各式的值．
（1）
（2）
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用完全平方公式得到＝，然后整体代入即可；
（2）利用完全平方公式得到＝，然后整体代入即可；
（3）根据多项式乘以多项式运算法则将原式进行计算，代入即可．
【小问1详解】
解：原式＝
＝
＝
＝；
【小问2详解】
原式＝
＝
＝
＝；
【小问3详解】
原式＝
＝
＝
＝．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，熟练掌握完全平方公式以及相关变形，结合整体代入的思想解题是解本题得关键．
20. 杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一个横行都表示（此处，1，2，4，5，……）的计算结果中的各项系数，杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．观察下列各式及其展开式：
…………………………………………………………………1
………………………………………………………………1 1
……………………………………………………1 2 1
…………………………………………1 3 3 1
……………………………1 4 6 4 1
………………1 5 10 10 5 1
（1）写出的展开式为 ；
（2）的展开式各项系数之和 ，（n取正整数）的展开式的各项系数之和是 （结果用含字母n的代数式表示）；
（3）的展开式第三项的系数是 ，当时，（n取正整数）的展开式的第三项系数是 ．
【答案】20
21. ，
22. 15，
【解析】
【分析】本题考查数字的变化规律，能够根据所给杨辉三角，观察得出的展开式系数的规律是解题的关键．
（1）由杨辉三角可得，；
（2）由已知可求，再令，时，即可求的展开式的各项系数之和是；
（3）根据的展开式可求第三项的系数是15，再由杨辉三角的规律得到的展开式的第三项系数是．
【小问1详解】
解：由题可知，，
故答案为：；
【小问2详解】
∵，
，
∴的展开式各项系数之和为32，
令，时，，
∴（n取正整数）的展开式的各项系数之和是，
故答案为32，；
【小问3详解】
由（1）可得，的展开式第三项的系数是15，
当时，由杨辉三角形可得，展开式的第三项系数分别为3，6，10，15，21，……，
∴的展开式的第三项系数是；
故答案为：15，．
21. 如图，在中，，一条线段，P，Q两点分别在线段和的垂线上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则的长为_________．
【答案】6cm或12cm
【解析】
【分析】先根据题意得到∠BCA=∠PAQ=90°，则以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，只有△ACB≌△QAP和△ACB≌△PAQ两种情况，由此利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵AX是AC的垂线，
∴∠BCA=∠PAQ=90°，
∴以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，只有△ACB≌△QAP和△ACB≌△PAQ两种情况，
当△ACB≌△QAP，
∴；
当△ACB≌△PAQ，
∴，
故答案为：6cm或12cm．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是解题的关键．
22. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的三种纸片：边长为a的小正方形（A类），长为、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的正方形（C类）．
用图1中的A类纸片2张，B类纸片3张、C类纸片1张可以拼出图2所示的长方形．根据长方形的面积，可以用来解释整式乘法：，也可以解释因式分解：
（1）如果要拼成一个长为（），宽为的大长方形，则需要B类纸片 张，C类纸片 张；
（2）若用4张B类纸片围成图3所示的图形，设外围大正方形的边长为x，内部小正方形的边长为y，则下列等式中：①；②；③；④；⑤，正确的有 ；（写出所有正确结论的序号）
（3）如果取若干张纸片（三种都要取）拼成一个长方形，使其面积为，请在虚框中画出图形，并根据所画图形将多项式分解因式；
（4）如果取若干张纸片（三张都要取）刚好拼成一个长方形，其面积为，求m的值．
【答案】（1）4，3；
（2）①③④⑤； （3）图见详解，；
（4）或或．
【解析】
【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系：
（1）根据长方形的长和宽求出面积即可得到答案；
（2）根据图形表示出两个正方形边长与，的关系，，结合面积加减计算即可得到答案；
（3）根据整式得到两个大正方形，两个小正方形，五个长方形组合即可得到答案；
（4）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：由题意可得，
，
∴需要，一个A类图形，4个B类图形，3个C类图形，
故答案为：4，3；
【小问2详解】
解：由图形可得，
，，故①正确，
∴，，
，故②错误，④⑤正确，
由图形可得，，
∴，故③正确，
故答案为：①③④⑤；
【小问3详解】
解：由题意可得，图形如图所示，
，
∴；
【小问4详解】
解：由题意可得，
①当，，
②当，，
③当，，
故答案为：或或．