四川省成都市七中育才学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 如图所示的几何体，其主视图是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查判断几何体的三视图．根据主视图是从正面看得到的图形解答即可．掌握主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左面看得到的图形，俯视图是从上面看得到的图形是解题关键．
【详解】解：从正面看看到的是一个长方形，中间有两条竖着的虚线，
即，
故选：A．
2. 反比例函数的图象经过点A(3，2)，下列各点在此反比例函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可．
【详解】解：∵反比例函数，
∴，
A、∵，
∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴点不反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴点在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
D、∵，
∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意．
故选：C．
3. 若关于x的方程有一个根为2，则m的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，将方程的一个根代入方程即可求解，本题主要考查一元二次方程的根的概念．
【详解】解：∵关于的方程有一个根为2，
∴，解得，，
故选：D．
4. 如图，在中，D，E分别是，上的点，，若，，则等于（ ）

A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，根据列式计算即可求解．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，
故选B．
5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，则矩形的周长为（ ）
A. 12B. 16C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理及矩形的周长，解题的关键是求得矩形的长和宽．
先根据矩形的对角线相等可求得的长，然后再根据含角的直角三角形的性质求得矩形的宽，进一步根据勾股定理求得矩形的长，最后求得矩形的周长．
【详解】∵矩形，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴矩形的周长为：．
故选：D．
6. 如图是李老师制作的一个可以自由转动的转盘，如表是某同学收集的一组统计数据：
蓝色部分的圆心角最有可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了频率估计概率，先计算概率，再计算圆心角即可．
【详解】根据题意，得，
中位数约为，
故圆心角度数约为，
故选B．
7. 12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震．面对突发灾情，某公司积极募捐资金，支持当地开展灾害救援救助及灾后重建工作．第1天募捐到资金万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为万元．设该公司这两天募捐资金平均每天的增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A. B. =3.2
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平均增长率的计算，正确理解题是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
故选A．
8. 数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形…．”请利用这一规律解答下面问题：已知，，且，若，，则的长为（ ）
A. 4B. 6C. 9D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换，解题的关键是理解将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘（或，，所得图形的形状不变，各边扩大到原来的 倍（或缩小为原来，且连接各对应顶点的直线相交于一点．根据题意求出线段与线段的相似比，计算即可．
【详解】解：，，，
线段与线段的相似比为，
，
，
故选：A．
二、填空题（本题共10小题，共40分）
9. 若，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；依据比例的性质进行计算即可得到结论．
【详解】解：，
，
，
，
故答案：
10. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】k＜1．
【解析】
【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=，
解得：，
故答案为.
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键.
11. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏．在如图所示的七巧板中，若正方形的边长为4，则正方形的边长为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，计算即可．
【详解】根据题意，正方形的边长为4，得，，
故，
故答案为：．
12. 若点，都在反比例函数的图像上，则的大小关系为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数解析式计算点的坐标，先计算后比较解答即可．
【详解】∵点，都在反比例函数的图像上，
∴，，
故，
故答案为：．
13. 如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了菱形的判定与性质．利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的性质得到，，，接着利用勾股定理计算出的长，然后根据菱形的面积公式计算．
【详解】解：连接交于点，如图，
由作法，
四边形为菱形，
，，，
在中，，
，
四边形的面积．
故答案为：．
14. 已知a，b是方程的两根，则_____．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：0．
15. 如图，在正方形中，点E是边上一点，且，连接交对角线于点F．若，则的长为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例来得解．
先求得及对角线的长度，然后利用相似三角形对应边比例关系求得的长度．
【详解】∵正方形，
∴，
∴．
则．
∵，
∴．
即：．
由正方形的对边得，
∴
∴
即：
解得：．
故答案为：．
16. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接，且．点是x轴上一点，连接，，若，，则与y轴交点C的坐标为 _____．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键．
设点A的坐标为，由轴，得点，根据，得，由此解出，进而表示点B的坐标，再根据得由此解出，进而得点，然后利用待定系数法求出直线的表达式，据此可得点C的坐标，
【详解】点A在反比例函数的图象上，
设点A的坐标为，
轴，
点B的纵坐标为，
点B在反比例函数的图象上，
，
解得：，
点B的坐标为，
，
，
，
解得：，
点B坐标为，
点，
，
，
，
，
整理得：，
，
由，解得，
由，解得，不合题意，舍去
当时，点A的坐标为，点B的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入得，
，
解得：，
直线的表达式为：，
当时，
点C的坐标为
故答案为：
17. 如图1，在中，，点D在上，沿直线翻折使点B落在AC上的处；如图2，折叠，使点A与点D重合，折痕为．若，则的值为 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形相似的判定和性质，根据折叠，得，，，得到，，得到，继而得到，得到，结合得到，得到，继而得到，计算即可．
【详解】根据折叠，得，
，，
∴，设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
根据折叠，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
18. 已知，数轴上从左到右有三点，，，它们在数轴上对应的数分别为，，均不为整数，且，（k为正整数）为正整数．在点与点之间的所有整数依次记为，，，；在点与点之间的所有整数分别记为，，，，若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数字的变化知识，根据数轴上两点距离列出一元二次方程是解题关键．
根据题意得出之间共有个或个整数，进而可得，设之间的数分别为，，，，，，，根据题意列出一元二次方程，再计算即可．
【详解】解：，
之间共有个或个整数，
个连续的整数满足，
．
当时，
间有个整数，
则，之间的个整数设为，，，
，之间的个整数为，，，，
，
或．
当上有个整数，，无整数解．
当时，间有个整数，
则，之间的个整数设为，，，，
，之间的个整数为，，，
，
或，
当，间有个整数时，
则，之间的个整数设为，，，，
，之间的个整数为，，
，无整数解；
当时，
则，之间的个整数设为，，，，，
，之间的个整数为，，
，无整数解
或，无整数解
当时，
则，之间的个整数设为，，，，，，
，之间的个整数为，
，无解．
综上所述，或或，
则或或．
，或
是正整数．
，
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共78分）
19. （1）计算：
（2）解方程：．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值化简，二次根式的化简，解方程．
(1)根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值化简，二次根式的化简，计算即可．
(2)因式分解法解答即可．
【详解】(1)
（2）∵，
∴，
∴，
解得．
20. 科学实验是获取经验事实和检验科学假说、理论真理性的重要途径．某校为进一步培养学生实践创新能力，提高学生科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，计划演示以下四项科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）求此次调查中接受调查的人数；
（2）请补全条形统计图；
（3）已知最希望演示A项实验的4名学生，有1名来自九年级一班，1名来自九年级二班，2名来自九年级三班，现需从这四人中随机抽取2名作为实验“自动升高的水”的演示员，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同班级的概率．
【答案】（1）50人 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．
（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量即可．
（2）先计算C类的人数为(人)，完善统计图即可．
（3）利用画树状图计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得（人），
故此次调查中接受调查的人数为50人．
【小问2详解】
C类的人数为（人），补图如下：
【小问3详解】
根据题意，画树状图如下：
一共有12种等可能性，相同的有2种等可能性，10种不同的等可能性，
∴抽到的2名学生来自不同班级的概率．
21. 如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，，，点A，D，F，H，B在同一直线上，且．在明德楼的楼顶有一照明灯P，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊米，塑像高米，塑像的影长米．
（1）求明德楼的高；
（2）求塑像的影长．
【答案】（1）12米 （2）4米
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，
(1)根据，米，得到米，根据，得，列比例式，计算即可．
(2)根据，得，列比例式，计算即可．
【小问1详解】
∵，米，
∴米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵米，塑像高米，
∴，
解得(米)
答：明德楼的高为12米．
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
答：塑像的影长为4米．
22. 如图1，在平行四边形中，E，F分别为，的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，且，O为的中点．
① 的中点为M，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由；
②如图3，平分交于点G，连接GO，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①四边形是菱形，见解析．② 12
【解析】
【分析】（1）根据一组对边平行且相等四边形是平行四边形判定证明即可．
（2）① 根据三角形中位线定理，结合菱形的判定证明即可．
② 过点G作于点N，过点O作于点M，利用角的平分线性质定理，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理计算即可．
【小问1详解】
∵平行四边形，
∴，，
∵ E，F分别为，的中点，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【小问2详解】
①四边形是菱形．理由如下：
∵E为的中点，O为的中点．
∴；

∵E为的中点，的中点为M，．
∴；
∴四边形是平行四边形；
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
②过点G作于点N，过点O作于点M，
∵E为的中点，，，
∴，，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，角的平分线性质定理，三角形全等的判断和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握菱形的判定，中位线定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
23. 已知直线与轴、轴交于点，，与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为，点的横坐标为．
（1）求直线的表达式；
（2）是线段的中点，点为反比例函数图象在第一象限上一点，连接，，，若，求点的坐标；
（3）点为反比例函数图象在第三象限上一点，连接，过点作，交反比例函数图象于点，连接．若直线经过点，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可得出答案；
（2）设，过点作轴于点，过点作轴于点，根据三角形面积可得，即可求解；
（3）过点作轴，过点作于，过点作于，过点作于点，由，可得，设，根据四边形是矩形，分别求得，进而根据，得出的值，即可求解．
【小问1详解】
解：由反比例函数经过点，两点，且点的横坐标为，点的横坐标为，
得点的坐标为，点的坐标为，
把，代入
得
解得：
直线的表达式为；
【小问2详解】
设，过点作轴于点，过点作轴于点，
是，的中点，
，
，
解得：负值舍去
【小问3详解】
如图，过点作轴，过点作于，过点作于，过点作于点，交轴于点，
则，
，
，
，
，
，
设，又，
则，，，，
，，，
①
，
四边形是矩形，
，，，
，
，即②
联立①②，解得：舍去
，，
，，
，
．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，三角形面积，相似三角形的判定和性质等，解题关键是添加辅助线构造相似三角形．
24. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．
（1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？
（2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？
【答案】（1）A系列单价为10元；B系列单价为15元
（2）8元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列方程解答即可．
（1）设A系列单价为x元；B系列单价为元，根据题意，得，解方程即可．
（2）设B系列单价为y元，则单件降价为元，每天的销售量为件，根据销售额等于单价乘以数量列式
根据题意，得，解方程即可．
【小问1详解】
设A系列单价为x元；B系列单价为元，根据题意，得，解方程，得，
经检验，是原方程的根，此时=15元，
答：A系列单价为10元；B系列单价为15元．
小问2详解】
设B系列定价为y元，则单件降价为元，每天的销售量为件，
根据题意，得，
整理得，
解得，
尽可能让顾客得到实惠，
故定价为8元．
答：B系列产品的实际售价应定为8元．
25. 如图1，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上有一点E，反比例函数的图象上有一点F，连接，若且，求点E的坐标；
（3）如图2，点D关于x轴的对称点为M，连接，P是y轴上一动点（不与点M重合），N是平面内一点，连接，，在点P的运动过程中始终有，且．点Q在反比例函数图象上，连接，请直接写出的最小值及当为最小值时点P的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3），
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可解答；
（2）设，过点F作轴于点H，过点A作轴于点G，利用解直角三角形求得，，进而求得，建立方程求解即可；
（3）根据对称性可得，设设，则，由
可得，判断得出点在经过点D，且垂直的直线上，可得直线的解析式为，设经过点Q平行的直线解析式为，当最小时，直线与相切，在证是等腰直角三角形，四边形是矩形，可求得的最小值为，在利用相似三角形的性质即可求得点P的坐标．
【小问1详解】
将代入中，得
，
，
将代入中，
解得：，
反比例函数的解析式为，
一次函数的图象与反比例函数的图象交于，
，
解得：，
点B的坐标为
【小问2详解】
设，过点F作轴于点H，过点A作轴于点G，
一次函数交x轴、y轴分别交于C，D两点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
当时，，；
当时，，；
综上所述，点E的坐标为或
【小问3详解】
点关于x轴的对称点为M，
，
，
轴，
，，
设，则
，
，
，
即，
，
，
点N在经过点D，且垂直的直线上，
直线的解析式为，
设经过点Q平行的直线解析式为，
当最小时，直线与相切，
联立得∶，
整理得：，
，
（负值舍去）
联立得∶，
解得：，
，
令，则，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，，
的最小值是，
此时，
，
，
，
，即，
，
，
综上所述：的最小值是，点P的坐标为．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练应用待定系数法求解析式，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题关键；
26. 如图，在中，，．点C是延长线上一动点，连接，将绕点A顺时针旋转α得到，连接交于点F．
（1）求证：；
（2）如图1，若，，，求的大小；
（3）如图2，若点F为中点，，，求的长（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）见解析 （2）或
（3）
【解析】
【分析】(1)根据题意，得继而得到即，利用即可．
(2)根据(1) 得，，得到
，结合，得到，得到等边，利用三角形相似，列出方程解答即可．
(3)根据，设，过点A分别作，垂足分别为N，M，利用相似的判定和性质，全等的性质，面积的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一性质解答即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：根据(1) 得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，，
∴，
整理，得，
解得或，
故的长为3或6．
【小问3详解】
解：∵，
∴设，
∵，，
∴，，，，
∵点F为中点，
∴，，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
过点A分别作，垂足分别为N，M，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
，
∴，
解得，
∴，
∴，，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去），
故．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握性质是解题的关键．转动转盘的次数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
落在“蓝色”的次数
30
61
92
118
151
182
207
242
269
302