5.2　三角形 习题精练+知识讲解 2024年河北版中考数学一轮复习课件

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2.三角形的分类(1)按边分: (2)按角分: 
3.三角形三边关系(1)三角形任意两边之和大于第三边.(2)三角形任意两边之差③　小于    第三边.(3)三角形具有④　稳定    性.
易错警示　在解决三角形的边长或周长的计算问题时,容易疏忽三角形的三边关系而致错.
2.(2023浙江金华二模)若长度分别为a,2,3的三条线段能组成一个三角形,则a的值可能是 (    B    )A.1　　　    B.2　　　    C.5　　　    D.8
3.在△ABC中,有下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;③∠A=2∠B=3∠C;④∠A=∠B= ∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的条件有 (    C    )A.1个　    B.2个　    C.3个　    D.4个
4.如图,图中以BC为边的三角形的个数为    4    . 
考点2　三角形中的重要线段
5.如果线段AO和线段BO分别是△MNO边MN上的中线和高,那么下列判断正确的是 (    B    )A.AO>BO　    B.AO≥BOC.AOAC的是 (    D    ) 
16.如图,△ABC中,∠B=40°,∠C=50°.(1)通过观察尺规作图的痕迹,可以发现直线DF是线段AB的　垂直平分线    ,射线AE是∠DAC的    平分线    ;(2)∠DAE的度数为    25°    . 
一、利用等腰三角形的性质解题的方法例1    (2021浙江绍兴)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°.以点C为圆心,CA长为半径作弧,交直线BC 于点P,连接AP,则∠BAP的度数是　　 　    . 答案    15°或75°
解析    如图所示, 当点P在点B的左侧时,记点P为P1,∵AB=AC,∠ABC=70°,∴∠ACB=∠ABC=70°,∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=40°,∵CA=CP1,∴∠CAP1= =55°,
∴∠BAP1=∠CAP1-∠CAB=55°-40°=15°;当点P在点C的右侧时,记点P为P2,∵CA=CP2,∠ACB=∠CAP2+∠CP2A,∴∠CAP2= ∠ACB= ×70°=35°,∴∠BAP2=∠CAP2+∠BAC=35°+40°=75°.综上可得,∠BAP的度数是15°或75°.
方法归纳    1.在解决等腰三角形的边、角有关问题时,要注意分类讨论.
2.当给出等腰三角形底边中点、底边的高或顶角平分线时,需联想到等腰三角形的三线合一,构造 直角三角形求角度或边长.
变式1-1(2022辽宁鞍山)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则 ∠D的度数为 (    A    ) A.39°　    B.40°　    C.49°　    D.51°
变式1-2(2023重庆B卷)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,若AB=5,BC=6,则AD的长度 为    4    . 
二、尺规作图不同操作的正误判断例2    (2022内蒙古鄂尔多斯)下列尺规作图不能得到平行线的是 (　    ) 答案    D
方法归纳    (1)明确五种基本作图;(2)观察实际作图,分析作图痕迹,作图步骤;(3)对比实际作图与 五种基本作图,探求实际尺规作图的结论;(4)进行正误判断.
变式2(2022山东德州)在△ABC中,根据下列尺规作图的痕迹,不能判断AB与AC大小关系的是     (    D    ) 
解析    A.设AC与弧线交于点D(图略).由作图知AB=AD,又ADAB,故B不符合题意;C.如图,连接BD,由作图知DE垂直平分BC,所以BD=CD,因为BD+AD>AB,所以CD+AD>AB,所以 AC>AB,故C不符合题意; D.无法判断AB与AC的大小关系.故选D.
三、角平分线的性质的应用方法例3    (2022北京)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则S△ACD=　　　    . 答案    1解析    过点D作DF⊥AC于点F.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DF=DE=1.∴S△ACD= AC·DF= ×2×1=1.
方法归纳　题目中出现角平分线的条件时常考虑作垂线(过角平分线上的一点向角的两边作垂 线),利用“距离相等”解题,如图: 已知:点P是∠MON的平分线上一点,PA⊥OM于点A.结论:PB=PA,OA=OB,∠AOP=∠BOP,∠OAP=∠OBP=90°.
变式3(2022黑龙江牡丹江)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,则CD=    3    . 
解析　如图,过点D作DE⊥AB于点E,∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB= = =10,∵AD平分∠CAB,∴CD=DE,∵S△ABC= AC·CD+ AB·DE= AC·BC,∴ ×6·CD+ ×10·CD= ×6×8,解得CD=3. 
四、勾股定理的应用例4    传统文化(2021江苏宿迁)《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生 其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深,葭长各几何?”题意是:有一个池塘,其底面是边长为 10尺的正方形,一棵芦苇AB生长在它的中央,高出水面部分BC为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直 的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'(示意图如图),水深和芦苇长各多少尺?该问 题的水深为　　　    尺. 答案    12
 解析    如题图,设芦苇长AB=AB'=x尺,则水深AC=(x-1)尺,根据题意可得B'C= ×10=5(尺),在Rt△AB'C中,52+(x-1)2=x2,解得x=13,即水深为13-1=12(尺).
题型解读　在用勾股定理解决实际问题时,首先应该由实际问题抽象出数学图形,即画出符合题意 的几何图形——直角三角形,然后根据勾股定理求解.
变式4传统文化(2023江苏无锡)《九章算术》中提出了如下问题:“今有户不知高、广,竿不知长 短.横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出.问户高、广、邪各几何?”这段话的意思是:今有门不 知其高、宽,有一根竿,不知其长短.横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺;斜放,竿与门对 角线恰好相等.问门的高、宽和对角线的长各是多少?该问题中的门高是    8尺    .解析　设竿长为x尺,则门宽为(x-4)尺,门高为(x-2)尺,门对角线的长是x尺,根据勾股定理可得x2=(x-4)2+(x-2)2,解得x=2(舍去)或10.∴门高为10-2=8(尺).
考点1　三角形的有关概念
1.(2018河北,1,3分)下列图形具有稳定性的是 (    A    ) 
2.(2022河北,13,2分)平面内,将长分别为1,5,1,1,d的线段,顺次首尾相接组成凸五边形,则d可能是 (    C    ) A.1　    B.2　    C.7　    D.8解析　若d为1或2,则1+d+1+1≤5,不能组成凸五边形,故排除A,B;若d=8,则1+1+1+5=8,不能组成凸 五边形,故排除D.故选C.
3.(2021河北,13,2分)定理:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.已知:如图,∠ACD是△ABC的外角. 求证:∠ACD=∠A+∠B.
下列说法正确的是 (    B    )A.证法1还需证明其他形状的三角形,该定理的证明才完整B.证法1用严谨的推理证明了该定理C.证法2用特殊到一般法证明了该定理D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证,就能证明该定理解析　无论△ABC是锐角三角形,直角三角形,还是钝角三角形,证法1都能验证三角形的一个外角 等于与它不相邻的两个内角的和.故选B.
4.(2023河北,15,2分)如图,直线l1∥l2,菱形ABCD和等边△EFG在l1,l2之间,点A,F分别在l1,l2上,点B,D, E,G在同一直线上.若∠α=50°,∠ADE=146°,则∠β= (    C    ) A.42°　    B.43°　    C.44°　    D.45°解析　设直线BG交直线l1于点M,交直线l2于点N,如图,
∵∠ADE=146°,∴∠ADB=34°,∵∠α=∠ADB+∠M=50°,∴∠M=16°,∵l1∥l2,∴∠N=∠M=16°,∵△EFG为等边三角形,∴∠EGF=60°,∵∠EGF=∠β+∠N,∴∠β=44°,故选C. 
5.新情境(2021河北,18,4分)下图是可调躺椅示意图(数据如图),AE与BD的交点为C,且∠A,∠B,∠E 保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小,使∠EFD=110°,则图中∠D应　减少    (填“增加”或“减 少”)    10    度. 
解析　∵∠A=50°,∠B=60°,∴∠DCE=∠ACB=70°.延长EF交CD于点G(图略),根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和得∠DGF=∠DCE+∠E=70°+30°=100°,∵∠EFD=∠D+∠DGF=110°,∴∠D=10°,∴∠D应减少10度.
1.(2022河北,2,3分)如图,将△ABC折叠,使AC边落在AB边上,展开后得到折痕l,则l是△ABC的(    D    ) A.中线　    B.中位线C.高线　    D.角平分线
2.(2017河北,18,3分)如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α=    56    °. 
解析　如图,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB=68°.由作图可知AF是∠DAC的平分线,直线EF是线段AC的垂直平分线,∴∠EAF= ∠DAC=34°,∠AEF=90°,∴∠AFE=180°-90°-34°=56°,∴∠α=∠AFE=56°. 
3.(2017河北,17,3分)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边选一点C,连 接CA,CB,分别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200 m,则A,B间的距离为    100    m. 
变式3改变条件(2022青海)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,延长CB至点E,使BE=BC, 连接DE,F为DE中点,连接BF.若AC=16,BC=12,则BF的长为 (    A    ) A.5　　　    B.4　　　    C.6　　　    D.8
解析　在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=16,BC=12,∴AB= =20.∵CD为中线,∴CD= AB=10.∵F为DE中点,BE=BC,∴BF是△CDE的中位线,∴BF= CD=5.故选A.
解析　由题意可得MN垂直平分BC,∴DB=DC,∴△ABD的周长=AB+DB+AD=AB+DC+AD=AB+AC=19,∴△ABD的周长是19.故选C.
解析　作∠APB的平分线PC交AB于点C或取AB的中点C,连接PC或过点P作PC⊥AB,垂足为C,都 可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.
2.(2023河北,5,3分)四边形ABCD的边长如图所示,对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当 △ABC为等腰三角形时,对角线AC的长为 (    B    ) A.2　    B.3　    C.4　    D.5解析　在△ACD中,AD=CD=2,∴2-2 DE的长
变式1改变问法(2022四川资阳)如图所示,在△ABC中,按下列步骤作图:第一步:在AB、AC上分别截取AD、AE,使AD=AE;第二步:分别以点D和点E为圆心、适当长(大于DE长的一半)为半径作圆弧,两弧交于点F;第三步:作射线AF交BC于点M;第四步:过点M作MN⊥AB于点N.下列结论一定成立的是 (    C    )
2.(2019河北,10,3分)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是 (    C    ) 
解析　由作图痕迹可以判断选项A作了一个角的平分线和一边的垂直平分线,选项B作了两个角 的平分线,选项C作了两条边的垂直平分线,选项D作了一边的高线和一边的垂直平分线,而三角形的外心是三边垂直平分线的交点,所以在选项C中可以用直尺成功找到三角形的外心.故选C.
教材延伸(北师八下P27问题解决T4改编)已知三个城镇中心A、B、C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处,在三个城镇中心之间铺 设通信光缆,以下四种方案中光缆铺设路线(实线)最短的是 (    D    ) 
解析　设等边三角形ABC的边长为a,光缆铺设路线的长度为+a=2a.C.如图,∵△ABC为等边三角形,AD⊥BC, ∴AD= a.∴L=a+ a= a.B.由垂线段最短得,方案B中铺设的光缆比方案C中的长.D.如图所示,∵△ABC为等边三角形,且O为三角形三条高的交点,
 ∴BD= .设DO=x,则BO=2x,在Rt△OBD中,由勾股定理得x2+ =(2x)2,解得x= a(舍负),∴BO= a,∴L=3× a= a.∵ a