6.4　解直角三角形 习题精练+知识讲解 2024年河北版中考数学一轮复习课件

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2.一些特殊角的三角函数值
1.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,分别求tan A、sin A、cs A的值.
2.求下列各式的值:(1)2cs 245°-1+tan 30°tan 60°;(2)2tan 45°- cs 30°sin 60°;(3)2cs 30°- + .
1.解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中的已知元素,求出 其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
2.仰角、俯角、坡度(坡比)、坡角、方向角(1)仰角与俯角:它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线上方的角叫做仰 角,在水平线下方的角叫做俯角.如图,∠AOC是仰角,∠BOC是俯角. (2)坡度(坡比)与坡角:如图,通常把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比),用字母i表 示,即i= .坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,则有i= =②    tan α    .
 (3)方向角:如图,A点位于O点的北偏东30°方向,B点位于O点的南偏东60°方向. 
方法归纳　解直角三角形的思路可概括为“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜用切(正切),宁乘勿 除,取原避中”,其含义是当已知条件中有斜边时,选用正弦或余弦,无斜边时,就用正切;当所求元素 既可用乘法又可用除法求解时,通常用乘法,不用除法,既可用已知数据又可用中间数据求解时,用 已知数据,不用中间数据.
3.如图,某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=8 米,在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,则AC的高度是    (8+8 )    米(结果保留根号). 
4.某河堤横断面如图所示,堤高AC=4米,迎水坡AB的坡比是1∶2,则AB的长为    4 米    . 
5.在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走500  m到达B点,然后沿北偏西30°方向走500 m到达目的地C点,则A、C两地之间的距离为    1 000 m    . 
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= ,BC= ,解这个直角三角形.
解析    AB=2 ,∠A=60°,∠B=30°.
一、运用锐角三角函数的定义进行计算的方法例1    (2022广西贵港)如图,在4×4正方形网格中,每个小正方形的边长为1,顶点为格点,若△ABC的 顶点均是格点,则cs∠BAC的值是 (　    ) A. 　    B. 　    C. 　    D. 
答案    C解析    延长AC到D,连接BD,如图: ∵AD2=20,BD2=5,AB2=25,∴AD2+BD2=AB2,∴∠ADB=90°,∴cs∠BAC= = = .
方法归纳    1.直接法:利用锐角三角函数的定义直接求解,有时需利用勾股定理求出第三边.
2.构造法:没有直角三角形时,需要添加辅助线构造直角三角形,把锐角放在直角三角形中进行相关 计算.
3.角度转换法:不能直接求得某个角的三角函数值时,可通过等角的三角函数值相等,去求等角的三 角函数值.
变式1改变条件(2022四川凉山州)如图,CD是平面镜,光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B 点,若入射角为α,反射角为β(反射角等于入射角),AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D,且AC=3,BD=6,CD =12,则tan α的值为         . 
解析　由题意得EO⊥CD,又∵AC⊥CD,∴AC∥OE,∴∠A=α,同理可得∠B=β,∵α=β,∴∠A=∠B,又∠ACO=∠BDO=90°,∴△AOC∽△BOD,∴ = ,∴ = ,解得OC=4,∴tan α=tan A= = .
二、利用解直角三角形解决实际问题的方法例2    (2022海南)无人机在实际生活中应用广泛.如图所示(示意图),小明利用无人机测量大楼的高 度,无人机在空中P处,测得楼CD的楼顶D处的俯角为45°,测得楼AB的楼顶A处的俯角为60°.已知楼 AB和楼CD之间的距离BC为100米,楼AB的高度为10米,从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30° (点A、B、C、D、P在同一平面内). (1)填空:∠APD=　　　    度,∠ADC=　　　    度;
(2)求楼CD的高度(结果保留根号);(3)求此时无人机距离地面BC的高度.解析    (1)75;60.(2)如图,过点A作AE⊥DC于点E,则AE=BC=100米,EC=AB=10米.在Rt△AED中,∠DAE=30°,∴DE=AE·tan 30°=100× = (米),∴CD=DE+EC= 米.
∴楼CD的高度为 米.(3)如图,作PG⊥BC于点G,交AE于点F,则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10米,∵MN∥AE,∴∠PAF=∠MPA=60°.∵∠ADE=60°,∴∠PAF=∠ADE.∵∠DAE=30°,∴∠PAD=30°.∵∠APD=75°,∴∠ADP=75°,∴∠ADP=∠APD.∴AP=DA.∴△APF≌△DAE.∴PF=AE=100米.
∴PG=PF+FG=100+10=110(米).∴此时无人机距离地面BC的高度为110米. 
方法归纳　解决与直角三角形有关的实际问题,有图的要先将题干的已知量在图中表示出来,再根 据以下方法和步骤解决:根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题,画 出平面几何图形,弄清已知条件中各量之间的关系;若三角形是直角三角形,根据边角关系进行计 算;若三角形不是直角三角形,可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.变式2改变背景(2022辽宁鞍山)北京时间2022年4月16日9时56分,神舟十三号载人飞船返回舱成功 着陆.为弘扬航天精神,某校在教学楼上悬挂了一幅长为8 m的励志条幅(即GF=8 m).小亮同学想知 道条幅的底端F到地面的距离,他的测量过程如下:如图,首先他站在楼前点B处,在点B正上方点A处 测得条幅顶端G的仰角为37°,然后向教学楼条幅方向前行12 m到达点D处(楼底部点E与点B,D在 一条直线上),在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°,若AB,CD均为1.65 m(即四边形AB- DC为矩形),请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin
37°≈0.60,cs 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) 
解析　设AC的延长线与GE相交于点H,由题意得AB=CD=HE=1.65米,AC=BD=12米,∠AHG=90°,设CH=x米,则AH=AC+CH=(12+x)米,在Rt△CHF中,∠FCH=45°,∴FH=CH·tan 45°=x米,∵GF=8米,∴GH=GF+FH=(8+x)米,在Rt△AHG中,∠GAH=37°,∴tan 37°= = ≈0.75,解得x=4,经检验:x=4是原方程的根,∴FE=FH+HE=5.65≈5.7(米),∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米.
1.(2021河北,26,12分)在一平面内,线段AB=20,线段BC=CD=DA=10.将这四条线段顺次首尾相接.把 AB固定,让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α(α>0°)到某一位置时,BC,CD将会跟随出现到相应的 位置. 论证　如图1,当AD∥BC时,设AB与CD交于点O,求证:AO=10.发现　当旋转角α=60°时,∠ADC的度数可能是多少?尝试　取线段CD的中点M,当点M与点B距离最大时,求点M到AB的距离.拓展　①如图2,设点D与点B的距离为d,若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P,直接写出BP的长 (用含d的式子表示);②当点C在AB下方,且AD与CD垂直时,直接写出α的余弦值.
图1    图2 备用图1 备用图2
解析    论证　证明:∵AD∥BC,∴∠A=∠B,∠D=∠C,又AD=BC,∴△AOD≌△BOC(ASA),∴AO=BO= AB=10. (2分)发现　如图,当A,B,C三点共线时,△ADC是等边三角形,∴∠ADC=60°. 
如图,当A,B,C三点不共线时,取AB的中点O,连接OD, 有AD=AO=OD=BO=BC=CD=10,即四边形BCDO为菱形,∴CD∥AB.∴∠ADC=180°-60°=120°.∴∠ADC可能是60°,还可能是120°. (5分)尝试　如图,
 ∵BM≤BC+CM,∴当B,C,D三点共线时,BM=15最大.作DH⊥AB,MN⊥AB,BG⊥AD,垂足分别是点H,N,G.∵BD=BC+CD=20=AB,∴AG=GD= AD=5,
∴BG= =5 .由S△ABD= AD·BG= AB·DH,得DH= = .由Rt△BMN∽Rt△BDH,得 = ,即 = ,∴MN= ,∴当点M与点B距离最大时,点M到AB的距离为 . (8分)拓展　①BP= . (10分)提示:设BD与CP交于点F,过点A作AE⊥BD,交BD的延长线于点E.
 ∵CD=BC=10,CP平分∠BCD,∴BD⊥CP,BF= BD= .∵AE⊥BD,BD⊥CP,∴AE∥CP,∴ = ,∴ = .
∵AE2=AD2-DE2=AB2-BE2,∴102-DE2=202-(DE+d)2,整理得DE= ,∴ = ,∴BP= .② . (12分)提示:设CD与AB交于点G,过点C作CH⊥AB,垂足为H,连接AC.
 ∵AD=DC=10,AD⊥CD,∴AC= AD=10 .∵CH2=BC2-BH2=AC2-AH2,∴102-BH2=(10 )2-(20-BH)2,解得BH= ,
∴CH= = .∵∠ADC=∠AHC=90°,∠AGD=∠CGH,∴△AGD∽△CGH,∴ = ,即 = ,∴CG= AG.∵AG2=DG2+AD2,∴AG2= +102,整理得9AG2+80 AG-3 200=0,解得AG= (负值舍去),
2.(2017河北,25,11分)平面内,如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=15,tan A= .点P为AD边上任意一点,连接PB,将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.(1)当∠DPQ=10°时,求∠APB的大小;(2)当tan∠ABP∶tan A=3∶2时,求点Q与点B之间的距离(结果保留根号);(3)若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积(结果保留π). 备用图    
解析    (1)当点Q与点B在PD异侧时,由∠DPQ=10°,∠BPQ=90°得∠BPD=80°,∴∠APB=180°-∠BPD=100°.当点Q与点B在PD同侧时,如图1,∠APB=180°-∠BPQ-∠DPQ=80°.∴∠APB是80°或100°. (4分)  图1(2)由题易知,当点Q与点B在PD同侧时,满足题意,如图1,过点P作PH⊥AB于点H,连接BQ.
∵tan∠ABP∶tan A= ∶ =3∶2,∴AH∶HB=3∶2.又AB=10,∴AH=6,HB=4. (6分)在Rt△PHA中,PH=AH·tan A=8.∴PQ=PB= = =4 .∴在Rt△PQB中,QB= PB=4 . (8分)(3)16π或20π或32π. (11分)提示:①当点Q在AD上时,如图2,由tan A= 得sin A= ,∴PB=AB·sin A=8,∴S阴影=16π.
  图2②当点Q在CD上时,由(2)可知,PB=4 ,∴S阴影=20π.③当点Q在BC延长线上时,如图3,过点B作BM⊥AD于点M,由①得BM=8. 图3
1.(2019河北,3,3分)如图,从点C观测点D的仰角是 (    B    ) A.∠DAB　    B.∠DCEC.∠DCA　    D.∠ADC
变式1拓展延伸(2022辽宁营口)在一次数学课外实践活动中,某小组要测量一幢大楼MN的高度,如 图,在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°,沿着山坡向上走75米到达B处,在B处测得大楼 顶部M的仰角是22°,已知斜坡AB的坡度i=3∶4(坡度是指坡面的铅垂高度与水平宽度的比),求大楼MN的高度.(图中的点A,B,M,N,C均在同一平面内,N,A,C在同一水平线上,参考数据:tan 22°≈0.4,tan 58°≈1.6) 
解析　如图,过点B作BE⊥AC,垂足为E,过点B作BD⊥MN,垂足为D,则BE=DN,DB=NE,∵斜坡AB的坡度i=3∶4,∴ = ,∴设BE=3a米,则AE=4a米,在Rt△ABE中,AB= = =5a(米),∵AB=75米,∴5a=75,∴a=15,∴DN=BE=45米,AE=60米,设NA=x米,
则BD=NE=AN+AE=(x+60)米,在Rt△ANM中,∠NAM=58°,∴MN=AN·tan 58°≈1.6x米,∴DM=MN-DN=(1.6x-45)米,在Rt△MDB中,∠MBD=22°,∴tan 22°= = ≈0.4,解得x=57.5,经检验:x=57.5是原方程的根,∴MN=1.6×57.5=92(米),∴大楼MN的高度约为92米.
2.新情境(2023河北,19,4分)将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上,其俯视图如图1,三个正六 边形的边长均为2且各有一个顶点在直线l上.两侧螺母不动,把中间螺母抽出并重新摆放后,其俯视 图如图2,其中,中间正六边形的两边与直线l平行,有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点,则图2 中:(1)∠α=    30    度;(2)中间正六边形的中心到直线l的距离为    2     (结果保留根号). 图1 图2
解析    (1)如图1,∵正六边形的外角∠EFG=60°,∠EGF=90°,∴∠α=30°. 图1(2)如图2,过中间正六边形的中心O作OD⊥l,交AB于点C,连接OA,OB,延长中间正六边形的两边,根 据正六边形的对称性,易知两延长线交于点D.
  图2易知△ABD为等边三角形,∵AC=BC= AB=1,∴CD= AC= .易知△OAB为等边三角形,∴OC= AC= ,∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2 .
教材延伸(人教九下P70阅读与思考改编)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,在计算tan 15°时,如图,在Rt△ACB 中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以tan 15°= = = =2- ,类比这种方法,计算tan 22.5°的值为 (    B    ) A. +1　    B. -1