2022-2023学年辽宁省沈阳市法库县九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市法库县九年级上学期数学期末试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若方程（x﹣1）2=m有解，则m的取值范围是（ ）
A m≤0B. m≥0C. m＜0D. m＞0
【答案】B
【解析】
【分析】利用平方根的定义确定m的范围．
【详解】∵方程（x-1）2=m有解，
∴m≥0时，方程有实数解．
故选B．
【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
2. 如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A. 仅主视图不同B. 仅俯视图不同
C. 仅左视图不同D. 主视图、左视图和俯视图都相同
【答案】D
【解析】
【分析】分别画出所给两个几何体的三视图，然后比较即可得答案．
【详解】第一个几何体的三视图如图所示：
第二个几何体的三视图如图所示：
观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同，
故选D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确得出各几何体的三视图是解题的关键．
3. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A. 米B. 4sinα米C. 米D. 4csα米
【答案】B
【解析】
【分析】过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C．Rt△OCA′，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由题意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本题选B．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
4. 反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是( )
A. B. 当时，y随x的增大而减小
C. 当时，y随x的增大而增大D. 函数图象分布在第一、三象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数(k为常数，)的图象经过点，可得，再根据反比例函数的增减性，即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数(k为常数，)的图象经过点，
∴，故A正确，不符合题意；
∵，
∴函数图象分布在第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
故B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
5. 如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似多边形的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；
B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，熟练掌握相似多边形的定义，是解题的关键．
6. 把函数y＝（x﹣1）2+2图象向左平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A. y＝x2+2B. y＝（x﹣1）2+1C. y＝（x﹣2）2+2D. y＝（x﹣1）2+3
【答案】A
【解析】
【分析】根据表达式y＝（x﹣1）2+2得到抛物线的顶点为（1，2），根据相应的平移得到新抛物线的顶点，利用平移不改变二次项的系数及顶点式可得新抛物线．
【详解】解：∵原抛物线的顶点为（1，2），
∴向左平移1个单位后，得到的顶点为（0，2），
∴平移后图象的函数解析式为y=x2+2．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7. 已知：关于x的方程若方程有一个根为3，则m的值为（ ）
A. B. C. 2D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】将3代入方程中即可求出m的值．
【详解】解：已知关于的方程有一个根为3，则：
，整理得，
解得，，
故选：D．
【点睛】此题重点考查学生对一元二次方程解的理解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
8. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图1，测得，当时，如图2，（ ）

A. B. 2C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可求得．
详解】解：如图1，
∵，，
∴四边形是正方形，
连接，则，
∴，
如图2，，连接，

∴为等边三角形，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键．
9. 下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：
下面有三个推断：
①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；
②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；
③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．
其中推断合理的是（ ）
A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即为概率可解题.
【详解】解：①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955,此推断错误,
②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95,此结论正确,
③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒,此结论正确,
故选D.
【点睛】本题考查了利用频率估计概率, 大量反复试验下频率稳定值即为概率,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
10. 已知抛物线（）过，两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】∵抛物线
关于轴对称点的坐标为．
又
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 抛物线的顶点坐标是______________.
【答案】(0，-1)
【解析】
【分析】抛物线解析式为：y=ax2+k，其顶点坐标是（0，k），可以确定抛物线的顶点坐标．
【详解】抛物线的顶点坐标是(0，-1).
12. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得4月份的参观人数为人，则5月份的人数为，根据5月份的参观人数增加到12.1万人，列一元二次方程即可．
【详解】根据题意设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关键．
13. 如图的方格地面上，标有编号A，B，C的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同，一只自由飞行的鸟，将随意地落在图中的方格地面上，则小鸟落在草坪上的概率是______．

【答案】
【解析】
【分析】据图直接由概率公式求解即可．
【详解】小鸟落在草坪上的概率．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式的简单运用，解题的关键是熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比．
14. 如图，在边长为6的菱形中，点E在边上，点F为延长线与延长线的交点，若，则的长为______．

【答案】3
【解析】
【分析】根据菱形的性质可得出，进而可得出，由、的长度可求出的长度，再利用相似三角形的性质即可求出的长度．
【详解】解：四边形是边长为的菱形，，
，，
，
，
即
，
故答案为： 3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的性质，利用相似三角形的性质找出与之间的关系是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则k的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，设交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得，，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】如图，连接，设交y轴于点C，
∵四边形是平行四边形，平行四边形的面积是5，
∴，，
∴轴，
∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
16. 如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝_____cm．
【答案】5
【解析】
【详解】连接AC，FC，求出AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可．
【解答】解：连接AC，FC．
由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，
∴FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC，
∵AN＝FN，∴MN＝AC，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝10（cm），∴MN＝AC＝5（cm），
故答案为5．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（17题6分，18题8分，19题8分，共22分）
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】分别计算负整数指数幂，锐角三角函数，绝对值，零次幂，再合并即可．
【详解】解：


【点睛】本题考查实数的运算，考查了负整数指数幂，锐角三角函数，绝对值，零次幂的运算，掌握以上知识是解题的关键．
18. 第十五届中国“西博会”将于2014年10月底在成都召开，现有20名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人.
（1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；
（2）若该分会场的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加.试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由.
【答案】（1）；（2）游戏不公平，理由见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）直接利用概率公式求出即可；
（2）利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求出即可．
试题解析：（1）∵现有20名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人，
∴从这20人中随机选取一人作为联络员，P（选到女生）==；
（2）如图所示：
牌面数字之和为：5，6，7，5，7，8，6，7，9，7，9，8，
∴偶数为：4个，P（得到偶数）==，∴P（得到奇数）=，∴甲参加的概率＜乙参加的概率，∴这个游戏不公平．
考点：1.游戏公平性；2.概率公式；3.列表法与树状图法．
19. 如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F，
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BFDE为矩形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；
（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．
【详解】解：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE+∠DEB=180°，
∵∠DEB=90°，
∴∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，
则四边形BFDE为矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质定理和矩形点的判定定理是解题的关键．
四、（20题、21题各8分，共16分）
20. 某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A,B,C,D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】教学楼BC高约13米．
【解析】
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．则四边形BCFE是矩形，在Rt△ADE中，由tan∠DAE=tan37°=，求得，在Rt△DCF中，求得，进而求得，即可求得．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．
则四边形BCFE是矩形，
由题意得，AB=57，DE=30，∠A=37°，∠DCF=45°．
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴tan∠DAE=tan37°=≈0.75．

∴AE=40．
∵AB=57，
∴BE=17．
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF=BE=17．
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°．
∴DF=CF=17．
∴BC=EF=30－17=13．
答：教学楼BC高约13米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数是解题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系xy中，一次函数为常数，且与反比例函数为常数，且的图象交于点，．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）当时，直接写出自变量的取值范围．
【答案】（1），．
（2）当时，自变量的取值范围为．
【解析】
【分析】(1) 将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例函数解析式；将坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出一次函数解析式．
（2）由图象直接可得自变量x的取值范围．
【小问1详解】
由题意，得点在反比例函数图象上，
，，∴反比例函数表达式为，
又点也在反比例函数图象上，，
点，在一次函数图象上，，
解得，
∴一次函数表达式为．
【小问2详解】
由图像可得，由时，自变量的取值范围．
【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数是解本题的关键．
五、（本题10分）
22. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①BE＝4；②45
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；
（2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果；
②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴＝＝，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，
∴＝，
解得：BE＝4；
②∵＝，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与性质．
六、（本题10分）
23. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销售将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）．
（1）求与的函数关系式；
（2）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）；（2）；当为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
【解析】
【分析】（1）根据题意得到函数解析式；
（2）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）根据题意得，，
故与的函数关系式为；
（2）根据题意得，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，W最大，
答：当为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
【点睛】本题考查了二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
七、（本题12分）
24. 正方形中，点P是边上的任意一点，连接，O为的中点，作于E，连接，．

（1）若，求的大小（用含的式子表示）：
（2）若，求长．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，得出，则，最后根据三角形的外角定理即可得出结论；
（2）连接，，通过证明，得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得出，则，进而得出，根据等腰直角三角形那个的性质得出，即，即可求解．
【小问1详解】
解：在正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，且为的中点，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，，

在正方形中，，，，
∴，
∴，
在中，为的中点，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
又由（1）知，
∴．
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形外角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握三角形外角等于与它不相邻两个内角之和，等腰三角形“等边对等角”， 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，以及三角形全等的判定方法．
八、（本题12分）
25. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接，，，设的面积为．
①求关于的函数表达式；
②求点到直线的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）如图2，设抛物线的对称轴为，与轴的交点为，在直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②点到直线的距离的最大值为，此时点的坐标为
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①在图1中，过点作轴，交于点，求得直线的解析式为．点的坐标为，则点的坐标为，根据三角形的面积公式得出；
②根据二次函数的性质得出当时，取最大值，最大值为．勾股定理求得，等面积法求得点到直线的距离，进而得出的坐标；
（3）如图2，连接，交抛物线对称轴于点，因为抛物线与轴交于，两点，所以抛物线的对称轴为直线，由平行四边形的性质及平移规律可求出点的坐标；当时，不存在．
【小问1详解】
(1)将，代入，
得解得：，
∴抛物线的表达式为．
【小问2详解】
①在图1中，过点作轴，交于点．

设直线的解析式为，
将、代入，
，解得：，
∴直线的解析式为．
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴，
∴
②
∵，
∴当时，取最大值，最大值为．
∵、，
∴线段，
∴点到直线的距离的最大值为，
当时，，则此时点的坐标为
【小问3详解】
如图，连接，交抛物线对称轴于点，

抛物线与轴交于，两点，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，
，
在中，当时，，
，
，
，
，
点的坐标为；
当时，不存在，理由如下，
若四边形是平行四边形，则，
点的横坐标为，点的横坐标为，
点的横坐标，
又，
不存在，
综上所述， ．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，函数的思想求极值，平行四边形的存在性等，解题关键是能够灵活运用平行四边形的性质及判定等．每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1904
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.952
0.950