2022-2023学年辽宁省沈阳市和平区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市和平区九年级上学期数学期末试题及答案，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定经过点（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据反比例函数的图象经过点，求出反比例函数解析式，由此求解即可．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
．
∴反比例函数解析式为
、，函数图象过此点，故本选项符合题意；
、，函数图象不经过此点，故本选项不符合题意；
、，函数图象不经过此点，故本选项不符合题意；
、，函数图象不过此点，故本选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键．
2. 如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据坡度的概念得出，得出，即可求解．
【详解】解：∵河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，
∴，
∴，
在中，．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，坡度问题，掌握坡度的定义是解题的关键．
3. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的气体，当改变容器的体积时；气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图像如图所示，当时，气体的密度是（ ）．
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由图像可知，反比例函数图像经过点，可得到函数解析式，再利用解析式即可求解．
【详解】解：由图像可知，函数图像经过点，设，
∴，
∴
当时，气体的密度是．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练的利用待定系数法求解反比例的函数解析式是解本题的关键．
4. 如图是由7个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的三视图中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. 主视图和俯视图B. 俯视图C. 左视图D. 主视图
【答案】C
【解析】
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得三视图，根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义，可得答案．
【详解】从正面看第一层三个小正方形，第二层的左侧和中间各一个小正方形，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
从左边看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形是轴对称图形，不是中心对称图形；
从上面看四个小正方形呈“十”字形，既是轴对称图形也是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】此题考查简单组合体的三视图，解题关键在于掌握从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义．
5. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 无实数根
【答案】B
【解析】
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【详解】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与的关系，解决本题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
6. 下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（ ）
A. ④③②①B. ③④①②C. ②④③①D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】太阳从东边升起，西边落下，则建筑物的影子先向西，再向北偏西、北偏东，最后向东，于是根据此变换规律可对各选项进行判断．
【详解】解：按时间先后顺序排列为①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
7. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】将第一个转盘中的红色划分为圆心角为的两部分，将第二个转盘中的蓝色划分为圆心角为的两部分，可列树状图表示出所有等可能结果，再求概率即可
【详解】如图，
根据题意画树状图如下：
由树状图可知共有9种等可能结果，其中能配成紫色有5种结果，
那么可配成紫色的概率是；
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，灵活运用树状图或列表法求概率是解题的关键
8. 如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先由正方形面积为2 ，即可求得其边长为，然后由折叠的性质，可得，则可得图中阴影部分的周长为：，继而求得答案．
【详解】解：设折叠后的点分别为，与分别交于点，如图所示，
∵正方形面积为2，
∴，
由折叠的性质：，
∴图中阴影部分的周长为：
．
故选:D．
【点睛】此题考查了折叠的性质与正方形的性质，掌握折叠的性质与正方形的性质是解题的关键．
9. 如图，有一张锐角三角形纸片，边，高，要把它加工成正方形纸片，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形纸片的周长为（ ）
A. 1B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设正方形的边长为x，表示出的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
设正方形的边长为x， 则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴正方形纸片的周长为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出的长度，然后列出比例式是解题的关键．
10. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（ ）米．
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，设能建成的饲养室总占地的面积为，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总占地的面积为，
根据题意得，，，有最大值，
∴当时，取得最大值，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 在一个不透明的盒子里，装有5个红球和若干个绿球，这些球除颜色外都相同，将其摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，共摸球80次，其中20次摸到红球，请估计盒子中所有球的个数是______．
【答案】20
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【详解】解：∵共试验80次，其中有20次摸到红球，
∴红球所占的比例为 ，
设盒子中共有球x个，则，
解得：，
经检验是原方程的解，
∴盒子中所有球的个数是20．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查利用利用频率估计概率，根据概率公式进行计算，正确列出方程是解题关键．
12. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了10次手，则这次会议到会的人数是______人．
【答案】5
【解析】
【分析】设参加会议有x人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，根据题意列方程．
【详解】解：设参加会议有x人，
依题意得：，
整理得：，
解得，（舍去）．
答：参加这次会议的有5人，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为，此题难度不大．
13. 在平面直角坐标系中，已知点，，与位似，位似中心是原点，且的面积等于面积的，则点对应点的坐标为______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为,那么位似图形对应点的坐标的比等于或进行计算即可．
【详解】解：的面积等于面积的，
∴位似比为，
∵，位似中心是原点，
∴点对应点的坐标为或，
故答案为：或
【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于或掌握位似图形的性质是解题的关键．
14. 已知点是反比例函数位于第四象限图像上的一点，点为坐标原点，过点作轴于点，连接．若的面积为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的几何意义即可求解．
【详解】解：如图，
∵的面积为，
∴，
∵点是反比例函数位于第四象限图像上的一点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
15. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位，则所得抛物线的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律．
【详解】解：∵抛物线向右平移1个单位，得：，
再向上平移4个单位得：，
化简得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查函数图象平移与函数解析式的变化规律，要求能总结平移规律：“左加右减，上加下减”，并根据此规律求平移前后的函数解析式．
16. 如图，在矩形中，，，对角线与相交于点，点为线段延长线上一动点，射线于点，射线于点，分别在，的右侧，以，为边作正方形和正方形，面积分别为，．则下列结论：①；②点在运动过程中，的值为；③若，则；④没有最大值．其中正确的结论有______（填写序号即可）．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】根据正方形的性质，过点作，易得是等边三角形，求出，过点作于，根据相似三角形的性质即可求解，，求出，，由此即可求解．
【详解】解：结论①，
如图所示，过点作，
∵矩形中，，，对角线，交于点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，即，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，故结论①正确；
结论②，
如图所示，过点作于，
∴，，，，，
∴，则，
由结论①可知，，
∴，则，且，
∴，故结论②正确；
结论③，
由结论②正确可知，，正方形中，；正方形中，，，即，，
∵是等边三角形，
∴，则，
∴，，
∵
∴，故结论③正确；
结论④，
由结论②正确可知，，则
∴，设，
∴没有最大值，故结论④正确，
综上所述，正确的有：①②③④，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、含特殊角的直角三角形的性质，掌握正方形的性质，含特殊角的直角三角形的性质，相似三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17. 解方程：．
【答案】．
【解析】
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
故原方程的根为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择因式分解法是解题的关键．
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先代入特殊角的三角函数值，计算零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，再合并即可．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数的混合运算，零次幂，负整数指数幂的运算，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．
19. 一个不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．
（1）从袋中随机摸出一只小球，恰好摸到红球的概率是______；
（2）从袋中随机摸出一只小球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，并记录下颜色．请用树状图法或列表法，求摸到一个红球和一个黄球的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次摸出的球恰好一红一黄的结果数，然后根据概率公式进行计算．
【小问1详解】
解：从袋中随机摸出一只小球，恰好摸到红球的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中摸出一个红球和一个白球的结果数为3，
所以摸出一个红球和一个黄球的概率为．
【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算方法并能利用列举法列出所有等可能结果是解题的关键．
四、（每小题8分，共16分）
20. 如图，在中，，，，点为边上一点，连接，交于点．
（1）当时，求证：四边形菱形；
（2）当______时，则四边形为矩形．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由，可得为等边三角形，继而可得到，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得；
（2）当时，为矩形，理由：若为矩形则有，再根据，，则可得，继而可得
【小问1详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形平行四边，
∵，
∴等边三角形，，，
即：，
∴平行四边形为菱形；
【小问2详解】
当时，为矩形，理由如下：
若为矩形得：，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键．
21. 如图，小明晚上由路灯A下的C处直接走向路灯B下的D处，已知小明身高米，路灯A的高度为12米，当他行到P处时发现，恰好他在路灯B下的影子长为2米，接着他又走到Q处，恰好他在路灯A下的影子长为米（于点C，于点D，于点P，于点Q）．
（1）求P，Q两点间的距离；
（2）请直接写出路灯B的高度为______．
【答案】（1）米
（2）9米
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，可得到，从而得到，即可求解；
（2）根据题意可得，可得到，从而得到，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：米，
∴米，
即P，Q两点间的距离米；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：米，
即路灯B的高度为9米．
故答案为：9米
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
五、（本题10分）
22. 沈阳市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种水果，计划以每千克60元的价格销售，现决定降价销售，当降价不大于4元时，这种水果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（x>0）满足一次函数关系，其图像如图所示．根据图像提供的信息，解答下列问题：
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）商贸公司要想获利2210元，求这种水果每千克应降价多少元？
（3）请直接写出当该水果每千克降价______元时，商贸公司的获利最大．
【答案】（1）；自变量的取值范围为；
（2）这种水果每千克应降价3元；
（3）4；
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可得到函数解析式；
（2）根据销量×每千克利润=总利润列出方程求解即可；
（3）根据销量×每千克利润=总列润列车出函数解析式求解即可．
【小问1详解】
解：设与之间的函数关系式为：，
把和代入得：
，
∴与之间的函数关系式为：，
∵，且降价不大于4元，
∴自变量的取值范围为；
【小问2详解】
根据题意得：，
解得：或，
∵，
∴，
答：这种水果每千克应降价3元；
【小问3详解】
解：该水果每千克降价元时，商贸公司获利最大，最大利润是元，
根据题意得：，
∵，，
∴当时，最大，最大值为，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，一次函数的应用，解一元二次方程等知识，此类题目主要考查学生的分析，解决实际问题的能力，能熟练根据题意列出函数解析式与方程是解决本题的关键．
六、（本题10分）
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点B．
（1）填空：m的值为______，k的值为______；
（2）观察反比例函数的图象，当时，请直接写出y的取值范围为______；
（3）如图，以为边作菱形，使点C在x轴负半轴上，点D在第二象限，双曲线交边于点E，连接，，求的面积．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得m，则可求得A点坐标，代入反比例函数解析式则可求得k的值；
（2）中，当时，，，结合函数图象即可求得y的取值范围；
（3）由一次函数解析式可先求得，从而可求得的长，四边形为菱形，即可得到
【小问1详解】
把点代入一次函数可得：，
解得：，
将点代入反比例函数可得：
∴
故答案为：，
【小问2详解】
由（1）可知反比例函数解析式为，
当时，，
∴当时，结合图象可得：，
故答案为：
【小问3详解】
在中，令，可得，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，且点C在x轴负半轴上，点D在第二象限，
∴，，
即点E到的距离和点C到的距离相等
∴
【点睛】本题为反比例函数的综合应用，考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、平行线的性质、菱形的性质、勾股定理及三角形的面积公式，熟练掌握反比例函数的性质是解决问题的关键
七、（本题12分）
24. 将□ABCD绕点A逆时针旋转得到□AEFG，AD＝1（点B对应点E，点C对应点F，点D对应点G），直线EF与直线CD相交于点H，连接GH．
（1）如图1，当□ABCD是正方形，且点F落在射线AD上时，
①求EH的长；
②求的值；
（2）如图2，当□ABCD是菱形，∠A＝60°，且点F落在直线AD上时，请直接写出的值为______；
（3）如图3，当□ABCD是矩形，，且点F落在直线AD上时，请直接写出的值为 ．
【答案】（1）①；②；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意知，，又知为对角线，则，则为等腰直角三角形，根据，则，则；或者；
（2）如图，根据与重合，平分，可得°，由此可知菱形逆时针旋转了，即，作的延长线交于，的延长线交于，可知，，可知，则在中，根据且，则，可知，同理，在中，根据且，则，则，则可知；
（3）根据且，连接，在中，易求得，可知，，则在中，分别求得，，则，则，则为等腰△，作，可知点为的中点，则， ，则在中，可得，进而可得．
【小问1详解】
解：①由题意知，
∴，
又知为对角线，
∴，
∴为等腰直角三角形，
，
∴，
∴；
②；
【小问2详解】
解：如图，已知与重合，平分，
∴°，
由此可知菱形逆时针旋转了，
即，
作延长线交于，的延长线交于，
∴，，
∴，
在中，
∵且，
∴，
∴，
同理，在中，
∵且，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵且，连接，在中，易求得，
∴，，
在中，
，
，
∴，
∴，则为等腰△，作，可知点为的中点，
∴， ，
∴在中，可得，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，三角函数，能够根据题意构造适合的辅助线是解决本题的关键．
八、（本题12分）
25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，抛物线的顶点为．
（1）当时，求点与点的坐标；
（2）顶点始终在一条直线上运动，求该直线的函数表达式；
（3）若点关于抛物线对称轴的对称点为点，当时．
①请直接写出的值为______；
②当点在第三象限时，抛物线与轴正半轴交于点，顺次连接，，，，形成四边形，点，点在抛物线上，若直线将四边形分割成面积相等的两部分，连接，，，当的面积为时，请直接写出点的横坐标为______．
【答案】（1），
（2）
（3）①；②或
【解析】
【分析】（1）将代入解析式，化为顶点式，即可求得的坐标，令，即可求得点的坐标；
（2）将解析式化为顶点式，得出顶点，即可求解；
（3）①点在轴上，则点的横坐标为0，根据点关于抛物线对称轴的对称点为点，当时，即可求解；
②根据在第三象限，则，得出，继而求点的坐标，根据题意求得直线的解析式，以及四边形四边形的面积，进而求得点的坐标，根据的面积为，列出方程即可求解．
【小问1详解】
∵抛物线与轴交于点，抛物线的顶点为
当时，抛物线解析式为，则顶点
令，解得，
∴；
【小问2详解】
解：∵抛物线，
∴顶点，
顶点始终在一条直线上运动，即该直线的函数表达式为；
【小问3详解】
解：①∵顶点，
∴对称轴为直线，
∵点在轴上，则点的横坐标为0，
∵点关于抛物线对称轴的对称点为点，当时，
当点在对称轴的左侧时，，
当点在对称轴的右侧时，，
故答案为：；
②∵在第三象限，则，
∴对称轴为，
∴抛物线解析式为
∴，，
令，即，
解得：
∵点在正半轴，则，
∴,
∴
设过点，的直线解析式为，
则
解得：，
∴直线的解析式为
设直线交于点，交于点，
设，由，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵,
令，解得，
∴，
依题意，
即，
∴，
解得：；
∴直线的解析式为：，
联立
解得：，
∴，
设，
∵的面积为，，
同理，令，
解得：，
∴，
解得： 或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，面积问题，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．