专题01 数列及其应用 专练-2024届高考数学二轮复习（老高考适用）（含解析）

这是一份专题01 数列及其应用 专练-2024届高考数学二轮复习（老高考适用）（含解析），共20页。
(2023·全国甲卷·理科) 设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
（2023·全国乙卷）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
(2022·全国甲卷·理科) 记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
（2023•全国四模）已知数列{an}的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列．
（2）若，求满足条件的最大整数n．
（2023•陕西宝鸡·区模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，2a2+a5＝21，S9＝99．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：．
（2023·海南·统考模拟预测）在①成等比数列，且；②，数列是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知各项均是正数的数列的前项和为，且__________．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（2023•内蒙古赤峰·模拟）①函数f（x）对任意x∈R有f（x）+f（1﹣x）＝1，数列{an}满足，令．
②数列{an}中，已知，对任意的p，q∈N*都有ap+q＝ap+aq，令．
在①、②中选取一个作为条件，求解如下问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）数列{an}是等差数列吗？请给予证明．
（2）设Tn＝b1+b2+…+bn，，试比较Tn与Mn的大小．
（2023·四川成都·校联考二模）已知数列是公差为2的等差数列，且是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求使得成立的最大正整数的值．
（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)定义，记，求数列的前20项和．
（2023·陕西西安·校考三模）已知数列是等差数列，，且、、成等比数列．给定，记集合的元素个数为．
(1)求、、的值；
(2)设数列的前项和为，判断数列的单调性，并证明.
（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立.
(1)若，，求；
(2)若对任意，都有及恒成立，求正整数的最小值.
（2023·青海西宁·校考二模）在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、乙胜丁的概率均为，甲胜丁的概率为．
(1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望；
(2)求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率．
（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，求证：.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
（2023·山西忻州·模拟预测）已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，其中为数列的前项和.设表示不超过的最大正整数，求使的最大正整数的值.
（2023•四川绵阳·校考一模）设等比数列{an}的首项为a1＝2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足（t∈R，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）试确定t的值，使得数列{bn}为等差数列；
（3）当{bn}为等差数列时，对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入bk个2，得到一个新数列{cn}．设Tn是数列{cn}的前n项和，试求T100．
题型训练
答案&解析
【1】
【答案】(1)
(2)
解析：(1)因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
(2)因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
【2】
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
【3】
【答案】(1)证明见解析； (2)．
【解析】(1)解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
(2)解：由(1)可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
【4】
【解答】（1）证明：由，得，
则，又，，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可得，，
∴，
则＝
＝2×+n＝1﹣．
由，得＜100，
即＜99，
∵y＝为单调增函数，∴满足＜99的最大正整数n为99．
即满足条件的最大整数n＝99．
【5】
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
则，
解得：，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．
（2）证明：由（1）得：，
∴
＝，
∵，
∴．
【6】
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若选择条件①：
根据题意，由，得
当时，．
两式相减得，，
化简得或（舍），
所以当时，数列是公差为2的等差数列，
则．
又由，得，解得，
所以．
当时，，解得，满足上式，
故
若选择条件②：
由题设知，
则当时，．
，
由，得，
解得，
故当时，，
当时，也满足上式，
故．
（2），
当为偶数时，，
当为奇数时，，
故
【7】
【解答】解：若选择条件①，
（1）数列{an}是等差数列，证明如下：
由已知得，
，
，
以上两式相加，可得
，
又对任意x∈R有f（x）+f（1﹣x）＝1，
则，
∴，
则，即数列{an}是以1为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）知，，则，
∴，
即Tn≤Mn；
若选择条件②，
（1）数列{an}是等差数列，证明如下：
由已知，对任意的p，q∈N*都有ap+q＝ap+aq，令p＝n，q＝1，
则，
故数列{an}是以为首项，为公差的等差数列，
∴；
（2）由（1）知，，
∴，
即Tn≤Mn．
【8】
【答案】(1)；
(2)7.
【解析】（1）因为是和的等比中项，
所以，
又因为数列是公差为2的等差数列，
所以，
故数列的通项公式为．
（2）因为，
所以数列的前项和为
，
又因为，
所以，
设，
因为，
所以单调递增，又，
所以，
所以使得成立的最大正整数的值为7.
【9】
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）因为，当时，，解得；
当时，，所以，即，
所以，即是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，
，则．
（2）因为，即数列为递增数列，
，即数列单调递减．
，
，
所以当时，，当时，，
所以
所以
．
【10】
【答案】(1)，，
(2)单调递增数列，证明见解析
【解析】（1）解：设数列的公差为，由、、成等比数列，得，
，整理可得，解得，
所以，
时，集合中元素个数为，
时，集合中元素个数为，
时，集合中元素个数为.
（2）解：由（1）知，
，
对于恒成立，
为递增数列，即，即，
，，故数列是单调递增数列.
【11】
【答案】(1)；
(2)3
【解析】（1）由题设，且，而，
显然也满足上式，故，
由，又，
所以是首项、公差均为2的等差数列.
综上，.
（2）由，，则，
所以，而，故，即是公比为3的等比数列.
所以，则，
，而，
所以，
所以对都成立，
所以，故，则正整数的最小值为3.
【12】
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题可知，甲乙在第一轮对打，且在第二轮不对打，所以的可取值为1，2，
，
则，
所以X的数学期望.
（2）设在第轮中，甲乙对打的概率为，甲丙对打的概率为，甲丁对打的概率为，
易知，，，
且，
又，所以，
整理得，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，
即，所以，则，
故在第10轮比赛中，甲丙对打的概率为．
【13】
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)证明见解析.
【解析】（1）选择①：因为，则，
两式相减得，即，
而，，则，因此数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以.
选择②：因为，则，
于是当时，，即，由，得，
即有，因此，，即数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以.
选择③：因为，又，
则，即，
显然，于是，即是以1为首项，1为公差的等差数列，
从而，即，因此，而满足上式，
所以.
（2）由（1）知，，，
因此，
则，
显然数列单调递减，于是，则，
所以.
【14】
【答案】(1)
(2)64
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
由题意可得，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）可得，则，
所以，
因为，则，
所以，则，
即数列是以首项为0，公差为1的等差数列，
则，即，
又因为在上单调递增，且，
所以使的最大正整数的值为64.
【15】
【解答】解：（1）由题设6a3＝8a1+a5，即6q2＝8+q4，
解得q2＝4或q2＝2，又q为正整数，故q＝2，又a1＝2，所以an＝2n；
（2）由2n2﹣（t+bn）n+bn＝0，得bn＝，
所以b1＝2t﹣4，b2＝16﹣4t，b3＝12﹣2t，则由b1+b3＝2b2，得t＝3，
此时，bn＝2n，由bn+1﹣bn＝2知：此时数列{bn}为等差数列．
（3）由（2）及题设知{cn}为：2，2，2，4，2，2，2，2，8，2，2，2，2，2，2，16，……
因为b1+b2+…+b9＝2+4+…+18＝＝90，
由{cn}的排列规律可知：T100＝90×2+＝211+178＝2226．
即数列{cn}的前100项和为2226．