最新中考数学压轴大题之经典模型 专题13 平行线之猪脚模型（M模型）-【压轴必刷】

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今天整理了初三中考总复习阶段在教学过程中收集的经典题目，一共有31讲，包括原卷版和解析版，供大家学习复习参考。
经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，最值模型将军饮马和一箭穿心。
经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，旋转转化是费马点问题的关键。
经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型。
经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题。
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题13平行线之猪脚模型
解题策略
经典例题
【例1】（2022春•桐城市期末）【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题解决】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝ 70° ．
【问题探究】（2）如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．
【问题拓展】（3）如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．
【分析】（1）延长CE交AB于点F，利用平行线的性质可得∠AFC＝28°，然后再利用三角形的外角可得∠AEC＝∠A+∠C，进行计算即可解答；
（2）利用猪蹄模型可得：∠AEC＝∠A+∠C＝90°，再利用对顶角相等可得∠BED＝90°，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答；
（3）利用平行线的性质可求出∠CDF的度数，从而利用角平分线的定义求出∠CDG的度数，进而利用平行线的性质可求出∠BAD的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再利用平角定义求出∠EDH的度数，最后根据猪蹄模型可得∠AED＝∠BAE+∠EDH，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）延长CE交AB于点F，
∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠C＝28°，
∵∠AEC是△AEF的一个外角，
∴∠AEC＝∠A+∠AFC＝∠A+∠C＝70°，
故答案为：70°；
（2）利用（1）的结论可得：
∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°，
∴∠AEC＝∠BED＝90°，
∵EF平分∠BED，
∴∠BEF＝∠BED＝45°，
∴∠BEF的度数为45°；
（3）∵BC∥DF，
∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝124°，
∵DG平分∠CDF，
∴∠CDG＝∠CDF＝62°，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠CDG＝62°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD＝31°，
∵∠GDE＝20°，
∴∠EDH＝180°﹣∠CDG﹣∠GDE＝98°，
利用（1）的结论可得：
∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°，
∴∠AED的度数为129°．
【例2】（2022春•南京期中）已知直线AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，O是平面内一点（不在直线AB、CD、EF上），OG平分∠EOF，射线OH∥AB，交EF于点H．
（1）如图①，若∠AEO＝45°，∠CFO＝75°，则∠HOG＝ 15° ，
（2）如图②，若∠AEO＝150°，∠HOG＝20°，则∠CFO＝ 110° ；
（3）直接写出点O在不同位置时∠AEO、∠CFO和∠HOG三个角之间满足的数量关系．
【分析】（1）由AB∥CD，OH∥AB可得AB∥OH∥CD，利用平行线的性质可得∠AEO＝∠EOH，∠CFO＝∠FOH，由∠EOF＝∠EOH+∠FOH，等量代换可得∠AEO+∠CFO＝∠EOF，根据已知条件和角平分线的定义求出∠EOG＝60°，即可得到∠HOG的度数；
（2）同（1）类似，利用平行线的性质和角平分线的定义计算可以得出∠CFO的度数；
（3）由（1）和（2）的计算方法可以得出结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，OH∥AB，
∴AB∥OH∥CD，
∴∠AEO＝∠EOH，∠CFO＝∠FOH，
∴∠AEO+∠CFO＝∠EOH+∠FOH，
即∠AEO+∠CFO＝∠EOF，
∵∠AEO＝45°，∠CFO＝75°，
∴∠EOF＝120°，
∵OG平分∠EOF，
∴∠EOG＝60°，
∴∠HOG＝∠EOG﹣∠EOH＝15°，
故答案为：15°；
（2）∵AB∥CD，OH∥AB，
∴AB∥OH∥CD，
∴∠AEO+∠EOH＝180°，∠CFO+∠FOH＝180°，
∴∠AEO+∠CFO+∠EOH+∠FOH＝360°，
即∠AEO+∠CFO+∠EOF＝360°，
∵AB∥OH，
∴∠AEO+∠EOH＝180°，
∵∠AEO＝150°，
∴∠EOH＝30°，
∵∠HOG＝20°，
∴∠EOG＝∠EOH+∠HOG＝30°+20°＝50°，
∵OG平分∠EOF，
∴∠EOF＝2∠EOG＝100°，
∵∠AEO+∠CFO+∠EOF＝360°，∠AEO＝150°，
∴∠CFO＝360°﹣150°﹣100°＝110°，
故答案为：110°；
（3）①若点O在直线AB与CD之间，则有|∠AEO﹣∠CFO|＝2∠HOG；
②若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的左侧，则有∠AEO+∠CFO＝2∠HOG；
若点O在直线AB与CD之外，且在直线EF的右侧，则有360°﹣∠AEO﹣∠CFO＝2∠HOG．
【例3】（2022春•上城区校级期中）如图，一副三角板，其中∠EDF＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°．
（1）若这副三角板如图摆放，EF∥CD，求∠ABF的度数．
（2）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0≤t≤180，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，求所有满足条件的t的值．
（3）将一副三角板如图3所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转．设旋转时何为t秒，如图4，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，请直接写出满足条件的t的值．
【分析】（1）由题意得，∠EBF＝90°，∠E＝45°，∠ABC＝60°，利用平行线的性质可得∠CDE＝∠E＝45°，即可求得答案；
（2）①当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况：当DE在MN上方时或当DE在MN下方时，分别运用平行线的性质即可；②当BC∥DF时，延长BC交MN于点T，分两种情况：当DF在MN上方时或当DF在MN下方时，分别运用平行线的性质即可；
（3）当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．
【解答】解：（1）如图，由题意得，∠EBF＝90°，∠E＝45°，∠ABC＝60°，
∵EF∥CD，
∴∠CDE＝∠E＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CDE＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ABF＝∠EBF﹣∠ABE＝90°﹣15°＝75°；
（2）如图，①当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
当DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝30°，
∴t＝15；
当DE在MN下方时，∠F′DP＝2t°﹣180°，
∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC，
∴AP∥DF′，
∴∠F′DP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠F′DP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝30°，
∴t＝105；
②当BC∥DF时，
当DF在MN上方时，BC∥DF，如图，延长BC交MN于点T，
根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，
∴∠FDN＝∠BTN，
∵GH∥MN，
∴∠BTN＝∠ABC＝60°，
∴∠FDN＝60°，
即180°﹣2t°＝60°，
∴t＝60；
当DF在MN下方时，如图，延长BC交MN于点T，
根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，
∵DF∥BC，
∴∠FDN＝∠BTM，
∵GH∥MN，
∴∠BTN＝∠ABC＝60°，
∴∠BTM＝180°﹣∠BTN＝120°，
∴∠NDF＝120°，
即2t°﹣180°＝120°，
∴t＝150，
综上所述：所有满足条件的t的值为15或60或105或150；
（3）由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
①如图，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
当DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
当DE′在MN下方时，∠F′DP＝2t°﹣180°，
∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC，
∴AP∥DF′，
∴∠F′DP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠F′DP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
②当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，
当DF在MN上方时，BC∥DF，如图，
根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴CI⊥DF，
∴∠FDN+∠MIC＝90°，
即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120，
∴2t＝240°＞180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去；
当DF在MN下方时，如图，
根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，
∵DF∥BC，
∴∠MIC＝∠NDF，
∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝t﹣60°，
即2t°﹣180°＝t°﹣60°，
∴t＝120，
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
【例4】（2021春•梅江区期末）如图（1），AB∥CD，点E在AB、CD之间，连接EA、EC；如图（2），AB∥CD．点M、N分别在AB、CD上，连接MN．
（1）在图（1）中，若∠A＝30°，∠C＝50°，则∠AEC＝ 80° ；若∠A＝25°，∠C＝40°，则∠AEC＝ 65° ．
（2）图（1）的条件下，猜想∠EAB、∠ECD、∠AEC的关系，并说明你的结论．
（3）如图（2），点E是四边形ACDB内（不含边界和MN）任意一点，请说明∠EMB、∠END、∠MEN的关系．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，如图1，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等可得∠AEG＝∠A，∠CEG＝∠C，由∠AEC＝∠AEG+∠CEG，可得∠AEC＝∠A+∠C，代入计算即可得出答案；
（2）过点E作EF∥AB，如图1，根据平行线的性质可得，∠AEG＝∠EAB，∠CEG＝∠ECD．由∠AEC＝∠AEG+∠CEG，即可得出答案；
（3）根据题意画图，如图2，过点E作EF∥AB，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可得，∠EMB+∠MEF＝180°，∠NEF+∠END＝180°，由∠EMB+∠MEF+∠NEF+∠END＝360°，根据∠MEN＝∠MEF+∠NEF，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点E作EF∥AB，如图1，
∵AB∥CD，
∴GF∥CD，
∴∠AEG＝∠A，∠CEG＝∠C，
∴∠AEC＝∠AEG+∠CEG，
∴∠AEC＝∠A+∠C，
若∠A＝30°，∠C＝50°，则∠AEC＝30°+50°＝80°，
若∠A＝25°，∠C＝40°，则∠AEC＝25°+40°＝65°；
故答案为：80°，65°；
（2）∠AEC＝∠EAB+∠ECD．
理由如下：
过点E作EF∥AB，如图1，
∵AB∥CD，
∴GF∥CD，
∴∠AEG＝∠EAB，∠CEG＝∠ECD．
∵∠AEC＝∠AEG+∠CEG，
∴∠AEC＝∠EAB+∠ECD；
（3）∠ENB+∠NEN+∠END＝360°．理由如下：
根据题意画图，如图2，
过点E作EF∥AB，
∴∠EMB+∠MEF＝180°，
∵AB∥CD，
∴GF∥CD，
∴∠NEF+∠END＝180°，
∴∠EMB+∠MEF+∠NEF+∠END＝360°，
∵∠MEN＝∠MEF+∠NEF，
∴∠ENB+∠NEN+∠END＝360°．
培优训练
一．选择题
1．（2022•黔东南州）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（ ）
A．28°B．56°C．36°D．62°
【分析】过直角的顶点E作MN∥AB，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：如下图所示，
过直角的顶点E作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，
则∠2＝∠3．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∵AB∥MN，
∴MN∥CD，
∴∠4＝∠1＝28°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠4＝62°．
∴∠2＝∠3＝62°．
故选：D．
2．（2022•临清市二模）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（ ）
A．180°﹣∠2+∠1B．180°﹣∠1﹣∠2C．∠2＝2∠1D．∠1+∠2
【分析】先利用平行线的性质说明∠3、∠1、∠4、∠2间关系，再利用角的和差关系求出∠BCE．
【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°．
∴∠BCE＝∠3+∠4
＝∠1+180°﹣∠2．
故选：A．
3．（2021春•硚口区月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②④C．①②④D．①④
【分析】过点F作FP∥AB，HQ∥AB，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，利用猪脚模型、锯齿模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案．
【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC
∴AB∥CD
∴①正确；
过点F作FP∥AB，HQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴FP∥AB∥HQ∥CD，
设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y
∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，
∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，
∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，
∴∠EHG≠2∠EFM
∴②错误；
∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，
∴③错误；
∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，
∴④正确．
综上所述，正确答案为①④．
故选：D．
4．（2018春•南昌期中）如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3的度数是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【分析】作辅助线，过点O做OP∥AB∥CD，再结合两直线平行内错角相等的性质，即可得出∠3的度数．
【解答】解：过点O做OP∥AB∥CD，
∴∠A＝∠AOP＝30°，∠D＝∠POC，
∵∠2＝90°，
即∠AOC＝90°，
∴∠POC＝60°，
∴∠3＝60°．
故选：D．
5．（2018春•沂源县期末）如图，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠E：∠F＝（ ）
A．2：1B．3：1C．3：2D．4：3
【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等作答．
【解答】解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，
∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，
∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；
同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；
∵∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，
∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，
∴∠BED：∠BFD＝3：2．
故选：C．
6．（2022春•诸暨市期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．则∠AOD的度数是 45°或99° ．
【分析】分两种情况：如果∠AOD是锐角，∠AOD＝∠COA﹣∠COD；如果∠AOD是钝角，∠AOD＝∠COA+∠COD，由平行线的性质求出∠COA，∠COD，从而求出∠AOD的度数．
【解答】解：∵DE∥CF，
∴∠COD＝∠ODE．（两直线平行，内错角相等）
∵∠ODE＝22°，
∴∠COD＝22°．
在图1的情况下，∠AOD＝∠COA﹣∠COD＝72°﹣27°＝45°．
在图2的情况下，∠AOD＝∠COA+∠COD＝72°+27°＝99°．
∴∠AOD的度数为45°或99°．
故答案为：45°或99°．
7．（2022春•潜山市月考）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．
（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝ 270° ；
（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为 n° ．（用含n的式子表示）
【分析】（1）过点M作MP∥AB，则AB∥CD∥MP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；
（2）过点N作NQ∥AB，则AB∥CD∥NQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．
【解答】解：（1）过点M作MP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MP，
∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，
∵∠M＝∠1+∠2＝90°，
∴∠MEB+∠MFD＝90°，
∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，
∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．
故答案为：270°；
（2）过点N作NQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥NQ，
∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，
∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，
∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，
∵∠NEB＝∠MEB，∠DFN＝MFD，
∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN＝（∠MEB+∠MFD），
由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，
∴∠ENF＝∠EMF＝n°．
故答案为：n°．
8．（2019•大丰区一模）如图，已知：AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝113°，则∠3＝ 63 度．
【分析】如图，作EF∥AB．证明基本结论；∠AEC＝∠1+∠3即可解决问题．
【解答】解：如图，作EF∥AB．
∵AB∥CD，AB∥EF，
∴EF∥CD，
∴∠1＝∠AEF，∠3＝∠CEF，
∴∠AEC＝∠1+∠3，
∴113°＝50°+∠3，
∴∠3＝63°．
故答案为63；
9．（2019秋•福田区校级期末）如图，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝ 125° ．
【分析】首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED＝110°，即可求得∠ABE+∠CDE＝250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的定义，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数．
【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD∥FN，
∴∠ABE+∠BEM＝180°，∠CDE+∠DEM＝180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∵∠BED＝110°，
∴∠ABE+∠CDE＝250°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝125°，
∵∠DFN＝∠CDF，∠BFN＝∠ABF，
∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠ABF+∠CDF＝125°．
故答案为125°
10．（2022春•交城县期中）如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，则∠BAF的度数为 46° ．
【分析】延长AE交CD于点H，延长AF交CD于点G，设∠BAE＝x，∠FCG＝y，根据角平分线的定义可得∠BAF＝2x，∠ECG＝2y，然后利用平行线的性质可得∠AGC＝2x，∠AHC＝x，，再利用三角形的外角性质可得∠AEC＝x+2y，∠AFC＝2x+y，最后列出关于x，y的方程组，进行计算即可解答．
【解答】解：延长AE交CD于点H，延长AF交CD于点G，
设∠BAE＝x，∠FCG＝y，
∵AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，
∴∠BAF＝2∠BAE＝2x，∠ECG＝2∠FCG＝2y，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AGC＝2x，∠BAH＝∠AHC＝x，
∵∠AEC是△EHC的一个外角，
∴∠AEC＝∠AHC+∠ECG＝x+2y，
∵∠AFC是△GCF的一个外角，
∴∠AFC＝∠AGC+∠FCG＝2x+y，
∵∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，
∴，
解得：，
∴∠BAF＝46°，
故答案为：46°．
11．（2022春•濠江区期末）已知直线AB∥CD，直线EF分别截AB、CD于点G、H，点M在直线AB、CD之间，连接MG，MH．
（1）如图1，求证：∠M＝∠AGM+∠MHC；
（2）如图2，若HM平分∠GHC，在HM上取点Q，使得∠HGQ＝∠AGM，求证：∠M+∠GQH＝180°；
（3）如图3，若GH平分∠MGB，N在为HD上一点，连接GN，且∠GNH＝∠M，∠HGN＝2∠MHC，求∠MHG的度数．
【分析】（1）过点M作MN∥AB，利用平行线的猪脚模型，即可解答；
（2）根据角平分线的定义可得∠MHG＝∠CHM，再利用（1）的结论可得∠GMH＝∠AGM+∠MHC，从而可得∠GMH＝∠HGQ+∠MHG，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（3）设∠AGM＝2α，∠CHM＝β，从而可得∠HGN＝2β，再利用（1）的结论可得∠GMH＝2α+β，从而可得∠GNH＝2α+β，然后利用角平分线的定义可得∠MGH＝90°﹣α，再利用三角形的外角可得∠CHG＝3β+2α，最后利用平行线的性质可得∠AGH+∠CHG＝180°，从而可得α+β＝30°，再利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：过点M作MN∥AB，
∴∠AGM＝∠GMN，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠NMH＝∠CHM，
∵∠GMH＝∠GMN+∠NMH，
∴∠GMH＝∠AGM+∠MHC；
（2）证明：∵HM平分∠GHC，
∴∠MHG＝∠CHM，
由（1）得：
∠GMH＝∠AGM+∠MHC，
∵∠HGQ＝∠AGM，
∴∠GMH＝∠HGQ+∠MHG，
∵∠GQH+∠HGQ+∠MHG＝180°，
∴∠GMH+∠GQH＝180°；
（3）解：设∠AGM＝2α，∠CHM＝β，
由（1）可得：
∠GMH＝∠AGM+∠MHC，
∴∠GMH＝2α+β，
∵∠GNH＝∠M，
∴∠GNH＝2α+β，
∵∠HGN＝2∠MHC，
∴∠HGN＝2β，
∵GH平分∠MGB，
∴∠MGH＝∠BGM＝（180°﹣∠AGM）＝90°﹣α，
∵∠CHG是△GHN的一个外角，
∴∠CHG＝∠HGN+∠GNH＝2β+2α+β＝3β+2α，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴∠AGM+∠MGH+∠CHG＝180°，
∴2α+90°﹣α+3β+2α＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠MHG＝∠CHG﹣∠CHM
＝3β+2α﹣β
＝2β+2α
＝60°，
∴∠MHG的度数为60°．
12．（2022春•沂源县期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．
操作发现：
（1）在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数．
（2）某同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，如图2，发现∠2﹣∠1＝120°，说明理由．
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠3，根据平行线的性质解答；
（2）过点B作BD∥a，根据平行线的性质得到∠ABD＝180°﹣∠2，∠DBC＝∠1，结合图形计算，证明结论．
【解答】解：（1）∵∠BCA＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝44°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝44°．
（2）理由如下：过点B作BD∥a，
则∠ABD＝180°﹣∠2，
∵a∥b，BD∥a，
∴BD∥b，
∴∠DBC＝∠1，
∵∠ABC＝60°
∴180°﹣∠2+∠1＝60°，
∴∠2﹣∠1＝120°．
13．（2022春•无棣县期末）如图1，已知∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，点E在直线AB，CD之间．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若AH平分∠BAE，FG∥CE．
①如图2，若∠AEC＝84°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；
②如图3，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．
【分析】（1）过E作EN∥AB，可得∠BAE＝∠AEN，∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，证得∠ECD＝∠CEN，故EF∥CD∥AB；
（2）①HF平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；
②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系．
【解答】解：（1）如图1，过点E作直线EN∥AB，
∴∠BAE＝∠AEN，
∵∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，
∴∠BAE+∠ECD＝∠AEC，
∵∠AEN+∠CEN＝∠AEC，
∴∠ECD＝∠CEN，
∴EN∥CD，
∴CD∥AB；
（2）∵AH平分∠BAE，
∴∠BAH＝∠EAH，
①∵HF平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x，
又CE∥FG，
∴∠ECD＝∠GFD＝2x，
又∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠AEC＝84°，
∴∠BAH＝∠EAH＝42°﹣x，
如图2，过点H作HM∥AB，
∴∠BAH＝∠AHM，
∵HM∥AB，
∴HM∥CD，
∴∠DFH＝∠MHF，
∴∠AHF＝∠BAH+∠DFH＝42°﹣x+x＝42°；
②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y，
∵HF平分∠CFG，
∴∠GFH＝∠CFH＝90°﹣x，
由（1）知∠AEC＝∠BAE+∠ECD＝2x+2y，
如图3，过点H作HK∥AB，
∴∠BAH＝∠AHK，
∵HK∥AB，
∴HK∥CD，
∴∠KHF+∠CFH＝180°，
∴∠AHF﹣y+∠CFH＝180°，
即∠AHF﹣y+90°﹣x＝180°，∠AHF＝90°+（x+y），
∴∠AHF＝90°+∠AEC．
14．（2022春•墨玉县期末）问题情景：
（1）如图①，已知AB∥DE．试∠B、∠E、∠BCE有什么关系？小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是∠B+∠E＝∠BCE．
请你帮他完善证明过程：
如图②，过点C作CF∥AB
∴ ∠B ＝ ∠1 （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵AB∥DE，AB∥CF
∴ DE ∥ CF ．
∴∠E＝ ∠2 （ 两直线平行，内错角相等 ）
∴∠B+∠E＝∠1+∠2
即∠B+∠E＝∠BCE．
（2）在图①中．若BC⊥CE，且∠B＝52°，请你计算∠E的度数等于 38° ．
（3）问题迁移：如图③．AD∥BC．当点P在射线AM上运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β
请你猜想∠α、∠β与∠CPD之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等即可求解；
（2）由（1）可知∠B+∠E＝90°，即可求解；
（3）由三角形外角性质可得∠CPD+∠CDP＝∠OCP，从而可得∠CPD+∠α+∠ADO＝∠β+∠BCO，由AD∥BC可得∠ADO＝∠BCO，即可得出∠CPD+∠α＝∠β．
【解答】解：（1）过点C作CF∥AB，
∴∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥DE，AB∥CF，
∴DE∥CF，
∴∠E＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∴∠B+∠E＝∠1+∠2，
即∠B+∠E＝∠BCE，
故答案为：∠B＝∠1；两直线平行，内错角相等；DE；CF；∠2；两直线平行，内错角相等；
（2）由（1）可知∠B+∠E＝∠BCE，
∵∠BCE＝90°，∠B＝52°，
∴∠E＝∠BCE﹣∠B＝38°，
故答案为：38°；
（3）∠CPD+∠α＝∠β，理由如下：
∵∠CPD+∠CDP＝∠OCP，
∴∠CPD+∠α+∠ADO＝∠β+∠BCO，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠BCO，
∴∠CPD+∠α＝∠β．
15．（2022春•抚远市期末）如图，已知AD∥BC，AB∥CD，点E在线段BC的延长线上，AE平分∠BAD，连接DE，∠ADC＝2∠CDE，∠AED＝60°．
（1）求证∠ABC＝∠ADC；
（2）求∠CDE的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案．
（2）根据∠ADE＝3∠CDE，设∠CDE＝x，∠ADE＝3x，∠ADC＝2x，根据平行线的性质得出方程90°﹣x+60°+3x＝180°，求出x即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCE，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCE，
∴∠ABC＝∠ADC．
（2）解：设∠CDE＝x，则∠ADC＝2x，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝180°﹣2x，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠BAD＝90°﹣x，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠EAD＝90°﹣x，
∴∠BED+∠ADE＝180°，
∴90°﹣x+60°+3x＝180°，
∴x＝15°，
∴∠CDE＝15°．
16．（2022春•来宾期末）如图，直线PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．
（1）若把三角尺按图甲方式放置，则∠MAC+∠PBC＝ 90 °；
（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；
（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．
【分析】（1）延长BC交MN于点D，根据平行线的性质可得∠PBC＝∠ADC，再利用三角形的外角可得∠ACB＝∠ADC+∠MAC，然后利用等量代换即可解答；
（2）根据已知可得∠AEN＝∠A＝30°，再利用对顶角相等可得∠CEM＝30°，然后利用（1）的结论可得：∠PDC＝60°，最后利用对顶角相等即可解答；
（3）利用角平分线的定义设∠CEM＝∠CEG＝x，从而利用平角定义可得∠GEN＝180°﹣2x，再利用（1）的结论可得：∠PDC＝90°﹣x，然后利用对顶角相等可得∠BDF＝90°﹣x，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）延长BC交MN于点D，
∵PQ∥MN，
∴∠PBC＝∠ADC，
∵∠ACB是△ACD的一个外角，
∴∠ACB＝∠ADC+∠MAC，
∴∠ACB＝∠PBC+∠MAC＝90°，
故答案为：90；
（2）∵∠AEN＝∠A，∠BAC＝30°，
∴∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠CEM＝∠AEN＝30°，
利用（1）的结论可得：
∠ACB＝∠PDC+∠MEC，
∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°，
∴∠BDF的度数为60°；
（3）∵CE平分∠MEG，
∴∠CEM＝∠CEG，
设∠CEM＝∠CEG＝x，
∴∠GEN＝180°﹣∠CEM﹣∠CEG＝180°﹣2x，
利用（1）的结论可得：
∠ACB＝∠PDC+∠MEC，
∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝90°﹣x，
∴∠BDF＝∠PDC＝90°﹣x，
∴＝＝2，
∴的值为2．
17．（2022春•咸安区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝110°，求∠EPF的度数．
（2）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝60°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．
【分析】（1）延长EP交CD于点G，利用平行线的性质可得∠PGF＝40°，再利用平角定义可得∠PFG＝70°，然后利用三角形的外角进行计算即可解答；
（2）设AB与PF交于点M，先利用三角形的外角可得∠PMA＝∠PEA+∠EPF，再利用平行线的性质可得∠PMA＝∠PFC，然后利用等量代换可得∠PFC＝∠PEA+∠EPF，即可解答；
（3）利用（2）的结论可得∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝60°，再利用角平分线的性质可得∠GEA＝∠AEP，∠GFC＝∠PFC，然后利用（2）的结论可得∠G＝∠GFC﹣∠GEA＝（∠PFC﹣∠AEP），进行计算即可解答．
【解答】解：（1）延长EP交CD于点G，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠PGF＝40°，
∵∠PFD＝110°，
∴∠PFG＝180°﹣∠PFD＝70°，
∵∠EPF是△PFG的一个外角，
∴∠EPF＝∠PGF+∠PFG＝110°，
∴∠EPF的度数为110°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，
理由：如图：设AB与PF交于点M，
∵∠PMA是△PME的一个外角，
∴∠PMA＝∠PEA+∠EPF，
∵AB∥CD，
∴∠PMA＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF；
（3）由（2）可得：
∠PFC＝∠PEA+∠EPF，
∴∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝60°，
∵EG平分∠AEP，FG平分∠PFC，
∴∠GEA＝∠AEP，∠GFC＝∠PFC，
由（2）得：
∠GFC＝∠G+∠GEA，
∴∠G＝∠GFC﹣∠GEA
＝∠PFC﹣∠AEP
＝（∠PFC﹣∠AEP）
＝×60°
＝30°，
∴∠G的度数为30°．
18．（2022春•上虞区期末）如图1，已知点E，F分别是直线AB，CD上的点，点M在AB与CD之间，且AB∥CD．
（1）若∠EMF＝80°，则∠AEM+∠CFM＝ 80° ．
（2）如图2，在图1的基础上，作射线EN，FN交于点N，使∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，设∠EMF＝α，猜想∠ENF的度数（用α表示），并说明理由．
（3）如图3，在图1的基础上，分别作射线EP，FP交于点P，作射线EQ，FQ交于点Q，若∠AEP＝∠AEM，∠CFP＝∠CFM，∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，请直接写出∠P与∠Q间的数量关系．
【分析】（1）过点M作MP∥AB，利用平行线的性质，把∠AEM+∠CFM转化为∠EMF，从而求得度数．
（2）过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB，利用平行线的性质，把∠EMF转化为∠AEM+∠CFM，把∠ENF转化为∠AEN+∠CFN，得出∠ENF＝∠EMF，从而用α表示出∠ENF的度数．
（3）利用（2）的结论，同时利用两直线平行，同旁内角互补得出∠BEM+∠DFM+∠M＝360°，进而找到∠P与∠Q间的数量关系．
【解答】解：（1）
过点M作MG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MG，
∴∠AEM＝∠EMG，∠GMF＝∠CFM，
∴∠AEM+∠CFM＝∠EMG+∠GMF＝∠EMF＝80°．
故答案为：80°．
（2）∠ENF＝α．理由如下：
过点M作MG∥AB，
由（1）知，∠EMF＝∠AEM+∠CFM，
过点N作NH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥NH，
∴∠AEN＝∠ENH，∠HNF＝∠CFN，
∴∠ENF＝∠ENH+∠HNF＝∠AEN+∠CFN，
∵∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，
∴∠ENF＝∠AEM+∠CFM
＝（∠AEM+∠CFM）
＝∠EMF，
∵∠EMF＝α，
∴∠ENF＝α．
（3）n∠Q+m∠P＝360°．理由如下：
由（2）的结论可知，∠P＝∠M，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ，∠BEM+∠DFM+∠M＝360°，
∵∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，
∴∠Q＝∠BEM+∠DFM，
＝（∠BEM+∠DFM）
＝（360°﹣∠M），
∴∠M＝360°﹣n∠Q，
∵∠M＝m∠P，
∴360°﹣n∠Q＝m∠P，即n∠Q+m∠P＝360°．
19．（2022春•西岗区期末）如图1，AB∥CD，点P，Q分别在AB，CD上，点E在AB，CD之间．连接PE，QE，PE⊥QE．
（1）直接写出∠BPE与∠DQE的数量关系为 ∠BPE+∠DQE＝90° ；
（2）如图2，∠APE的平分线PG和∠CQE的平分线QH的反向延长线相交于点G，求∠G的度数；
（3）如图3，M为线段PE上一点，连接QM，∠BPE和∠MQD的平分线相交于点N，直接写出∠PNQ和∠MQE的数量关系为 2∠PNQ﹣∠MQE＝90° ．
【分析】（1）延长PE交CD于点F，根据垂直定义可得∠PEQ＝90°，根据平行线的性质可得∠BPE＝∠PFC，然后再利用三角形的外角可得∠DQE+∠PFC＝90°，即可解答；
（2）过点G作GF∥CD，从而可得∠HQC＝∠HGF，再利用平行线的性质可得∠PGF＝180°﹣∠APG，利用（1）的结论可得∠APE+∠CQE＝270°，然后利用角平分线的定义可得∠APG+∠CQH＝135°，最后根据∠HGP＝∠PGF﹣∠HGF＝180°﹣∠APG﹣∠HQC，进行计算即可解答；
（3）根据角平分线的定义可得∠BPE＝2∠BPN，∠MQN＝∠DQN，再利用猪脚模型可得∠BPE+∠DQE＝90°，∠BPN+∠DQN＝∠PNQ，再利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：（1）延长PE交CD于点F，
∵PE⊥QE，
∴∠PEQ＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BPE＝∠PFC，
∵∠PEQ是△QEF的一个外角，
∴∠PEQ＝∠DQE+∠PFC＝90°，
∴∠BPE+∠DQE＝90°，
故答案为：∠BPE+∠DQE＝90°，
（2）过点G作GF∥CD，
∴∠HQC＝∠HGF，
∵AB∥CD，
∴AB∥FG，
∴∠PGF＝180°﹣∠APG，
由（1）得：∠BPE+∠DQE＝90°，
∴∠APE+∠CQE＝360°﹣（∠BPE+∠DQE）＝270°，
∵PG平分∠APE，QH平分∠CQE，
∴∠APG＝∠APE，∠CQH＝∠CQE，
∴∠APG+∠CQH＝（∠APE+∠CQE）＝135°，
∵∠HGP＝∠PGF﹣∠HGF
＝180°﹣∠APG﹣∠HQC
＝45°，
∴∠HGP的度数为45°；
（3）2∠PNQ﹣∠MQE＝90°，
理由：∵PN平分∠BPE，QN平分∠MQD，
∴∠BPE＝2∠BPN，∠MQN＝∠DQN，
由（1）可得：
∠BPE+∠DQE＝90°，
∴2∠BPN+∠DQN+∠EQN＝90°，
由（1）可得：
∠BPN+∠DQN＝∠PNQ，
∴∠PNQ+∠BPN+∠MQN﹣∠MQE＝90°，
∴∠PNQ+∠BPN+∠DQN﹣∠MQE＝90°，
∴∠PNQ+∠PNQ﹣∠MQE＝90°，
∴2∠PNQ﹣∠MQE＝90°，
故答案为：2∠PNQ﹣∠MQE＝90°．
20．（2022春•宜春期末）问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．
（1）端点A、C同向：
如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝ 0 度；
如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝ 360 度；
（2）端点A、C反向：
如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；
如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝ 180 度．
【分析】（1）过点P作PE∥AB，分别利用猪脚模型，铅笔模型即可解答；
（2）过点P作PE∥CD，利用平行线的性质，以及角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：（1）如图：过点P作PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C＝∠EPC，
∵∠APC＝∠APE+∠EPC，
∴∠APC＝∠A+∠C，
∴∠APC﹣（∠A+∠C）＝0度，
故答案为：0；
如图：过点P作PE∥AB，
∴∠A+∠APE＝180°，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C+∠EPC＝180°，
∴∠A+∠APE+∠C+∠EPC＝360°，
∴∠APC+∠A+∠C＝360°，
∴∠APC+（∠A+∠C）＝360度，
故答案为：360；
（2）∠APC+∠A﹣∠C＝180°，
证明：过点P作PE∥CD，
∴∠C＝∠EPC，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠A+∠APE＝180°，
∴∠A+∠APC﹣∠EPC＝180°，
∴∠A+∠APC﹣∠C＝180°，
∴∠APC+∠A﹣∠C＝180°；
如图：过点P作PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C+∠EPC＝180°，
∴∠C+∠APC﹣∠APE＝180°，
∴∠C+∠APC﹣∠A＝180°，
∴∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°，
故答案为：180．