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最新中考数学压轴大题之经典模型 专题28 二次函数与角压轴问题-【压轴必刷】
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今天整理了初三中考总复习阶段在教学过程中收集的经典题目，一共有31讲，包括原卷版和解析版，供大家学习复习参考。
经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，最值模型将军饮马和一箭穿心。
经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，旋转转化是费马点问题的关键。
经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型。
经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题。
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题28二次函数与角压轴问题
经典例题
【例1】（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A−2,0、B8,0两点，与y轴交于点C0,4，连接AC、BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；
(3)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标．
【例2】（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，在二次函数y=−x2+2mx+2m+1（m是常数，且m>0）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
(2)若∠ACO=∠CBD，求m的值；
(3)若在第四象限内二次函数y=−x2+2mx+2m+1（m是常数，且m>0）的图像上，始终存在一点P，使得∠ACP=75°，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．
【例3】（2022·天津·统考二模）已知抛物线y=x2+6x+5与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为D，且过C（－4，m）．
(1)求点A，B，C，D的坐标；
(2)点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值，
②连接BD，当∠PCB＝∠CBD时，求点P的坐标．
【例4】（2022·四川达州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【例5】（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图，抛物线y=−23x2+23x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
(1)A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________；
(2)连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求PDDA的值；
②当CP与x轴不平行时，求PDDA的最大值；
(3)连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB=90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
培优训练
一、解答题
1．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，以△ABC的边AB和AB边上高所在直线建立平面直角坐标系，已知AB=4，C0，−3，tan∠CAB+tan∠CBA=4，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点．
(1)求抛物线解析式．
(2)点G是x轴上一动点，过点G作GH⊥x轴交抛物线于点H，抛物线上有一点Q，若以C，G，Q，H为顶点的四边形为平行四边形，求点G的坐标．
(3)点P是抛物线上的一点，当∠PCB=∠ACO时，求点P的坐标．
2．（2022·山东日照·校考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，M是抛物线x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标
(3)如图3，连接AC､BC，在抛物线上是否存在点N（不与点A重合），使得∠BCN=∠ACB？若存在求出点N的横坐标，若不存在说明理由
3．（2021·贵州遵义·校考模拟预测）如图，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=−x2+bx+c经过点B、C的，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴是否存在一点E，使得△BCE是等腰三角形，若存在，求出E的点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）已知二次函数y=ax2+bx−32（a≠0）的图象经过A（1，0）、B（−3，0）两点，顶点为点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如二次函数y=ax2+bx−32的图象与y轴交于点G，抛物线上是否存在点Q，使得∠QAB=∠ABG，若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由；
(3)经过点B并且与直线AC平行的直线BD与二次函数y=ax2+bx−32图象的另一交点为D，DE⊥AC，垂足为E，DF∥y轴交直线AC于点F，点M是线段BC之间一动点，FN⊥FM交直线BD于点N，延长MF与线段DE的延长线交于点H，点P为△NFH的外心，求点M从点B运动到点C的过程中，P点经过的路线长．
5．（2022·内蒙古包头·包头市第三十五中学校考三模）如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(3,0),B(−1,0)两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式和对称轴．
(2)若R为抛物线上一点，满足∠BCR=45°，求R的坐标．
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P 使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
6．（2021·辽宁盘锦·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax2+x+ca≠0经过A，B两点与x轴相交于点C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC＋∠OBA＝45°时，求点P的坐标；
(3)点M为抛物线上任意一点，当S△ABM:S△ABC=1:3时，请直接写出点M的坐标．
7．（2022·贵州遵义·统考三模）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A−1,0，C0,−3两点，对称轴为直线x=1，对称轴与x轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的点，当∠ACP=45°时，求点P的坐标；
(3)点F为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
8．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A(−4,0)和B(1,0)，与y轴交于点C，连接AC,BC．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；
(3)点P为抛物线上的一动点，且∠ACP=45°−∠BAC，请直接写出满足条件的点P的坐标．
9．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，直线l：y=−3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax−3a(a<0)经过点B．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
(3)在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′，将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l'与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．
10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，二次函数y=−x2+c的图象交x轴于点A、点B，其中点B的坐标为(2,0)，点C的坐标为(0,2)，过点A、C的直线交二次函数的图象于点D．
(1)求二次函数和直线AC的函数表达式；
(2)连接DB，则△DAB的面积为________；
(3)在y轴上确定点Q，使得∠AQB=135°，点Q的坐标为________；
(4)点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2022·山东泰安·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点，
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求DEEB的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2022·湖南岳阳·统考二模）如图1，直线y＝2x＋2交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线y=ax2+32x+c与x轴的另一交点为B．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图2，点D是抛物线在第一象限内的一点，连接OD，将线段OD绕O逆时针旋转90°得到线段OM，过点M作MN∥x轴交直线AC于点N．求线段MN的最大值及此时点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点E是点A关于y轴的对称点，连接DE，试探究在抛物线上是否存在点P，使得∠PED＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2022·山东泰安·统考三模）如图1，已知二次函数C1：y=ax2+bx+ca≠0的图像与x轴交于点A−1,0，B（4，0）两点，与y轴交于点C，OC=4，如图1
(1)求二次函数C1的表达式：
(2)将C1沿x轴对称，再沿x轴正方向向右平移2个单位长度，得到新抛物线C2，直线MN⊥x轴，分别交C1，C2于点M，N，如图2，求线段MN的最大值：
(3)在抛物线C1上是否存在点P，使得∠BOP=∠BCO−∠ACO？若存在，求出P的横坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2022·江苏镇江·统考二模）如图所示，抛物线y=−x2+bx+3经过点B(3，0)，与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，连接AC、FC．
①若点F在第一象限内，当∠BCF=∠BCA时，求点F的坐标；
②若∠ACO+∠FCB=45°，则点F的横坐标为______．
15．（2022·广东深圳·校联考三模）已知抛物线y=ax2+c过点A−2,0和D−1,3两点，交x轴于另一点B．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；
(3)将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．
①直线EF的解析式是______；
②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是______．
16．（2022·山东聊城·统考三模）如如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当PQOQ的值最大时，求点P的坐标和PQOQ的最大值；
(3)点M为抛物线上的点，当∠BCM=∠ACO时，求点M的坐标．
17．（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0经过点A3,4和点B−1,0，连接AB，过点A作AD⊥x轴于点D，点P在直线AB上方的抛物线上，过点P作PE∥AD交x轴于点E，交线段AB于点G，连接PD交线段AB于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当GQ=AQ时，设点P的横坐标为m，求m的值；
(3)在（2）的条件下，线段BE上有一点F，直线AD上有一点K，连接KF、GF，当∠FKD=2∠FGB，且KF=8时，直接写出点K的纵坐标．
18．（2022·山东济南·统考一模）如图，抛物线y=ax2+2x−3与x轴交于A、B两点，且B(1，0)．
(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；
(2)如图1，点P是直线y=x上在x轴上方的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；
(3)如图2，已知直线y=23x−49分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
19．（2020·江苏常州·统考二模）如图，顶点坐标为(3,4)的抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C(0,−5)．
(1)求a，b的值；
(2)已知点M在射线CB上，直线AM与抛物线y=ax2+bx+c的另一公共点是点P．
①抛物线上是否存在点P，满足AM:MP=2:1，如果存在，求出点P的横坐标；如果不存在，请说明理由；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
20．（2022·山东济南·统考二模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若A−1,0且OC=3OA．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D是该抛物线的顶点，点Pm,n是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA=2∠CBD时，求m的值；
(3)如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别交于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，1AE+1AF为定值，请直接写出该定值．
21．（2022·江苏淮安·统考一模）如图，已知A(−2,0),B(3,0)，抛物线y=ax2+bx+4经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一点，点P的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为点N．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
(3)连接PC，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCN=90°？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
22．（2022·辽宁沈阳·沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为4,0，抛物线的对称轴为直线x=32，点D是BC上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当△BCD的面积为74时，求点D的坐标；
(3)过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2022·云南昆明·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A−1,0，B4,0两点，与y轴交于点C0,3．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AD，交BC于点E，求DEAE的最大值；
(3)如图2，点P为抛物线上一动点，是否存在点P，使得2∠PCB＝∠OCB，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2022·山东济南·统考二模）抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,4)，与x轴交于点A,B(3,0)两点，与y轴交于点C，点M是抛物线上的动点．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点M在直线BC上方抛物线上，连接AM交BC于点E，求MEAE的最大值及此时点M的坐标；
(3)如图2，已知点Q(0,1)，是否存在点M，使得tan∠MBQ=12？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
今天整理了初三中考总复习阶段在教学过程中收集的经典题目，一共有31讲，包括原卷版和解析版，供大家学习复习参考。
经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，最值模型将军饮马和一箭穿心。
经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，旋转转化是费马点问题的关键。
经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型。
经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题。
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题28二次函数与角压轴问题
经典例题
【例1】（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A−2,0、B8,0两点，与y轴交于点C0,4，连接AC、BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；
(3)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标．
【例2】（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，在二次函数y=−x2+2mx+2m+1（m是常数，且m>0）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
(2)若∠ACO=∠CBD，求m的值；
(3)若在第四象限内二次函数y=−x2+2mx+2m+1（m是常数，且m>0）的图像上，始终存在一点P，使得∠ACP=75°，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．
【例3】（2022·天津·统考二模）已知抛物线y=x2+6x+5与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为D，且过C（－4，m）．
(1)求点A，B，C，D的坐标；
(2)点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值，
②连接BD，当∠PCB＝∠CBD时，求点P的坐标．
【例4】（2022·四川达州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【例5】（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图，抛物线y=−23x2+23x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
(1)A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________；
(2)连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求PDDA的值；
②当CP与x轴不平行时，求PDDA的最大值；
(3)连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB=90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
培优训练
一、解答题
1．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，以△ABC的边AB和AB边上高所在直线建立平面直角坐标系，已知AB=4，C0，−3，tan∠CAB+tan∠CBA=4，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点．
(1)求抛物线解析式．
(2)点G是x轴上一动点，过点G作GH⊥x轴交抛物线于点H，抛物线上有一点Q，若以C，G，Q，H为顶点的四边形为平行四边形，求点G的坐标．
(3)点P是抛物线上的一点，当∠PCB=∠ACO时，求点P的坐标．
2．（2022·山东日照·校考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，M是抛物线x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标
(3)如图3，连接AC､BC，在抛物线上是否存在点N（不与点A重合），使得∠BCN=∠ACB？若存在求出点N的横坐标，若不存在说明理由
3．（2021·贵州遵义·校考模拟预测）如图，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=−x2+bx+c经过点B、C的，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴是否存在一点E，使得△BCE是等腰三角形，若存在，求出E的点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）已知二次函数y=ax2+bx−32（a≠0）的图象经过A（1，0）、B（−3，0）两点，顶点为点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如二次函数y=ax2+bx−32的图象与y轴交于点G，抛物线上是否存在点Q，使得∠QAB=∠ABG，若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由；
(3)经过点B并且与直线AC平行的直线BD与二次函数y=ax2+bx−32图象的另一交点为D，DE⊥AC，垂足为E，DF∥y轴交直线AC于点F，点M是线段BC之间一动点，FN⊥FM交直线BD于点N，延长MF与线段DE的延长线交于点H，点P为△NFH的外心，求点M从点B运动到点C的过程中，P点经过的路线长．
5．（2022·内蒙古包头·包头市第三十五中学校考三模）如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(3,0),B(−1,0)两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式和对称轴．
(2)若R为抛物线上一点，满足∠BCR=45°，求R的坐标．
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P 使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
6．（2021·辽宁盘锦·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax2+x+ca≠0经过A，B两点与x轴相交于点C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC＋∠OBA＝45°时，求点P的坐标；
(3)点M为抛物线上任意一点，当S△ABM:S△ABC=1:3时，请直接写出点M的坐标．
7．（2022·贵州遵义·统考三模）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A−1,0，C0,−3两点，对称轴为直线x=1，对称轴与x轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的点，当∠ACP=45°时，求点P的坐标；
(3)点F为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
8．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A(−4,0)和B(1,0)，与y轴交于点C，连接AC,BC．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；
(3)点P为抛物线上的一动点，且∠ACP=45°−∠BAC，请直接写出满足条件的点P的坐标．
9．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，直线l：y=−3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax−3a(a<0)经过点B．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
(3)在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′，将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l'与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．
10．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，二次函数y=−x2+c的图象交x轴于点A、点B，其中点B的坐标为(2,0)，点C的坐标为(0,2)，过点A、C的直线交二次函数的图象于点D．
(1)求二次函数和直线AC的函数表达式；
(2)连接DB，则△DAB的面积为________；
(3)在y轴上确定点Q，使得∠AQB=135°，点Q的坐标为________；
(4)点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2022·山东泰安·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点，
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求DEEB的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2022·湖南岳阳·统考二模）如图1，直线y＝2x＋2交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线y=ax2+32x+c与x轴的另一交点为B．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图2，点D是抛物线在第一象限内的一点，连接OD，将线段OD绕O逆时针旋转90°得到线段OM，过点M作MN∥x轴交直线AC于点N．求线段MN的最大值及此时点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点E是点A关于y轴的对称点，连接DE，试探究在抛物线上是否存在点P，使得∠PED＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2022·山东泰安·统考三模）如图1，已知二次函数C1：y=ax2+bx+ca≠0的图像与x轴交于点A−1,0，B（4，0）两点，与y轴交于点C，OC=4，如图1
(1)求二次函数C1的表达式：
(2)将C1沿x轴对称，再沿x轴正方向向右平移2个单位长度，得到新抛物线C2，直线MN⊥x轴，分别交C1，C2于点M，N，如图2，求线段MN的最大值：
(3)在抛物线C1上是否存在点P，使得∠BOP=∠BCO−∠ACO？若存在，求出P的横坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2022·江苏镇江·统考二模）如图所示，抛物线y=−x2+bx+3经过点B(3，0)，与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，连接AC、FC．
①若点F在第一象限内，当∠BCF=∠BCA时，求点F的坐标；
②若∠ACO+∠FCB=45°，则点F的横坐标为______．
15．（2022·广东深圳·校联考三模）已知抛物线y=ax2+c过点A−2,0和D−1,3两点，交x轴于另一点B．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；
(3)将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．
①直线EF的解析式是______；
②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是______．
16．（2022·山东聊城·统考三模）如如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当PQOQ的值最大时，求点P的坐标和PQOQ的最大值；
(3)点M为抛物线上的点，当∠BCM=∠ACO时，求点M的坐标．
17．（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0经过点A3,4和点B−1,0，连接AB，过点A作AD⊥x轴于点D，点P在直线AB上方的抛物线上，过点P作PE∥AD交x轴于点E，交线段AB于点G，连接PD交线段AB于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当GQ=AQ时，设点P的横坐标为m，求m的值；
(3)在（2）的条件下，线段BE上有一点F，直线AD上有一点K，连接KF、GF，当∠FKD=2∠FGB，且KF=8时，直接写出点K的纵坐标．
18．（2022·山东济南·统考一模）如图，抛物线y=ax2+2x−3与x轴交于A、B两点，且B(1，0)．
(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；
(2)如图1，点P是直线y=x上在x轴上方的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；
(3)如图2，已知直线y=23x−49分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
19．（2020·江苏常州·统考二模）如图，顶点坐标为(3,4)的抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C(0,−5)．
(1)求a，b的值；
(2)已知点M在射线CB上，直线AM与抛物线y=ax2+bx+c的另一公共点是点P．
①抛物线上是否存在点P，满足AM:MP=2:1，如果存在，求出点P的横坐标；如果不存在，请说明理由；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
20．（2022·山东济南·统考二模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若A−1,0且OC=3OA．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D是该抛物线的顶点，点Pm,n是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA=2∠CBD时，求m的值；
(3)如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别交于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，1AE+1AF为定值，请直接写出该定值．
21．（2022·江苏淮安·统考一模）如图，已知A(−2,0),B(3,0)，抛物线y=ax2+bx+4经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一点，点P的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为点N．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
(3)连接PC，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCN=90°？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
22．（2022·辽宁沈阳·沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为4,0，抛物线的对称轴为直线x=32，点D是BC上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当△BCD的面积为74时，求点D的坐标；
(3)过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2022·云南昆明·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A−1,0，B4,0两点，与y轴交于点C0,3．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AD，交BC于点E，求DEAE的最大值；
(3)如图2，点P为抛物线上一动点，是否存在点P，使得2∠PCB＝∠OCB，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2022·山东济南·统考二模）抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,4)，与x轴交于点A,B(3,0)两点，与y轴交于点C，点M是抛物线上的动点．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点M在直线BC上方抛物线上，连接AM交BC于点E，求MEAE的最大值及此时点M的坐标；
(3)如图2，已知点Q(0,1)，是否存在点M，使得tan∠MBQ=12？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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