2023-2024学年山东省青岛五十八中高一（下）段考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年山东省青岛五十八中高一（下）段考数学试卷（3月份）(含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列说法中正确的是( )
A. 直四棱柱是长方体
B. 圆柱的母线和它的轴可以不平行
C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
2.设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若α⊥β，m/​/α，l/​/β，则m⊥l
B. 若m⊂α，l⊂β，m/​/l，则α/​/β
C. 若α∩β=m，l/​/α，l/​/β，则m/​/l
D. 若m⊥α，l⊥β，m/​/l，则α⊥β
3.已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为2的正方形A′B′C′D′，如图所示，则该平面图形的面积是( )
A. 8
B. 8 2
C. 16
D. 16 2
4.如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC−A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A1B1C(如图2)，则容器的高h为( )
A. 3B. 4C. 4 2D. 6
5.如图所示的三棱柱ABC−A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1=AB=2，当四棱锥B−A1ACC1体积最大时，三棱柱ABC−A1B1C1外接球的体积为( )
A. 163π
B. 4 23π
C. 8 23π
D. 43π
6.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，过A点分别作AE⊥PB于E、AF⊥PC于F，连接EF当△AEF的面积最大时，tan∠BPC的值是( )
A. 2
B. 22
C. 3
D. 33
7.三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角P−ABC是由有公共端点P且不共面的三条射线PA，PB，PC以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，平面APC与平面BPC所成的角为θ，由三面角余弦定理得csθ=csγ−csα⋅csβsinα⋅sinβ.在三棱锥P−ABC中，PA=6，∠APC=60°，∠BPC=45°，∠APB=90°，PB+PC=6，则三棱锥P−ABC体积的最大值为( )
A. 27 24B. 274C. 92D. 94
8.《九章算术⋅商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖腝夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形(至多一个侧面是平行四边形)，其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除ABCDEF如图所示，底面ABCD为正方形，EF=4，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为( )
A. 2 2πB. 4 2πC. 8 23πD. 2π
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若直线a不平行于平面α，a⊄α，则α内不存在与a平行的直线
B. 若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则α/​/β
C. 设l，m，n为直线，m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充要条件
D. 若平面α⊥平面α1，平面β⊥平面β1，则平面α与平面β所成的二面角和平面α1与平面β1所成的二面角相等或互补
10.如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB/​/ED，AB=ED=2FB.记三棱锥E−ACD，F−ABC，F−ACE的体积分别为V1，V2，V3，则( )
A. V3=2V2
B. V3=V1
C. V3=V1+V2
D. 2V3=3V1
11.已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为r上=1，r下=2，母线AB长为2，E为母线AB中点，则下列结论正确的是( )
A. 圆台母线AB与底面所成角为60°
B. 圆台的侧面积为12π
C. 圆台外接球半径为2
D. 在圆台的侧面上，从C到E的最短路径的长度为5
12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=2.若鳖臑P−ABC外接球的体积为323π，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是( )
A. PA=BC= 6
B. 鳖臑P−ABC体积的最大值为6
C. 直线PC与平面PAB所成角的正弦值为 64
D. 鳖臑P−ABC内切球的半径为 15− 63
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为半圆，则该圆锥内半径最大的球的表面积为______．
14.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=16.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为______．
15.如图，已知矩形ABCD中，AB=43BC=8，现沿AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC，连接BD，得到三棱锥B−ACD，则其外接球的体积为______．
16.已知三棱锥P−ABC，平面PBC⊥平面ABC，Q为BC中点，PB=PC=AB=BC=AC=2，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图：三棱台ABC−A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，球心位于上下底面所在的两个平行平面之间，AA1=BB1=CC1= 10，△ABC和△A1B1C1分别是边长为 3和2 3的正三角形．
(1)求三棱台ABC−A1B1C1的表面积；
(2)计算球O的体积．
18.(本小题12分)
如图，将边长为 2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得点D到点D′的位置，连接BD′，O为AC的中点．

(1)若平面D′AC⊥平面ABC，求点O到平面D′BC的距离；
(2)不考虑点D′与点B重合的位置，若二面角A−BD′−C的余弦值为−23，求BD′的长度．
19.(本小题12分)
如图1所示，在△ABC中，点E，F在线段AB上，点D在线段BC上，AE=EF=FB=1，CE=2，DF=1，CE⊥AB.将△ACE，△BDF分别沿CE，DF折起至点A，B重合为点G，形成如图2所示的几何体W，在几何体W中作答下面的问题．
(1)证明：平面EFG⊥平面CEFD；
(2)求点D到平面CFG的距离．
20.(本小题12分)
如图，平面四边形ABCD由等腰直角△ABC和等边△ACD拼接而成，将△ACD沿AC折起，使点D到达点P的位置，且BP=AB．
(1)求证：平面ACP⊥平面ABC；
(2)求二面角P−AB−C的余弦值．
21.(本小题12分)
图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠CBF=60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②．
(1)证明：平面ABC⊥平面BCGE；
(2)证明：DG/​/平面ABC；
(3)求直线AG与平面ABC所成角的正切值．
22.(本小题12分)
如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，AB=2，∠DAB=π3，FA=FC= 6，记平面AEF与平面ABCD的交线为l．
(1)证明：BD/​/l；
(2)证明：平面BDEF⊥平面ABCD；
(3)记平面AEF与平面ABCD夹角为α，若正实数m，n满足mcs2θ=sinθ−tcsθnsin2θ=csθ+tsinθ，03 32tanα．
【解析】(1)推导出BD/​/EF，从而BD/​/平面AEF，由此能证明BD/​/l．
(2)连AC交BD于点O，连FO，推导出AC⊥平面BDEF，由此能证明平面BDEF⊥平面ABCD．
(3)推导出OA= 3，OB=1，BD=2，BF=BD=2，FO= FA2−OA2= 3，由勾股定理得OF⊥OB，从而BD⊥平面FOA，BD/​/l，从而l⊥平面FOA，∠FAO即为平面AEF与平面ABCD的夹角，平面AEF与平面ABCD夹角的大小为π4，推导出mcs2θsinθ+nsin2θcsθ=1，由此能证明m+n>3 32tanα．
本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、二面角的定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．