河南省TOP二十名校2023届高三猜题大联考（二）数学（理）试卷(含答案)

这是一份河南省TOP二十名校2023届高三猜题大联考（二）数学（理）试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设.则( )
A.5B.C.6D.
2．设集合，，则( )
A.B.C.D.
3．曲线在点处的切线方程为( )
A.B.C.D.
4．设，，都是单位向量，且，则向量，的夹角等于( )
A.B.C.D.
5．若函数为奇函数，则( )
A.0B.C.D.
6．的展开式中，的系数等于( )
A.45B.10C.-45D.-10
7．已知，则( )
A.B.C.D.
8．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法,则( )
A.输出的m的值为25B.输出的n的值为75
C.输出的m的值为大僧的人数D.输出的n的值为大僧的人数
9．椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆E上除长轴端点外的任一点，连接，，设的平分线PQ交椭圆E的长轴于点，则m的取值范围为( )
A.B.C.D.
10．已知，，，则( )
A.B.C.D.
11．在锐角中,a,b,c分别是的内角A,B,C所对的边,点G是的重心,若,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
12．已知四棱锥的底面ABCD是矩形，，，，.若四棱锥的外接球的体积为，设M是该球上的一动点，则三棱锥体积的最大值为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知双曲线满足下列条件中的两个:①实轴长为4;②焦距为6;③离心率，则双曲线C的方程为____________.(写出一个正确答案即可)
14．若某几何体的三视图如图，则该几何体的最长棱长为____________.
15．如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆相交于A，C，B，D四点，则四边形面积的最大值为____________.
16．已知图象上有一最低点，若图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位长度得的图象，又的所有根从小到大依次相差3个单位，则_________.
三、解答题
17．李同学在暑假期间进行一项社会实践活动,随机抽取了80名喜爱身体锻炼的年轻人,调查他们是否将跑步作为主要锻炼方式,得到如下数据不完整的列联表：
（1）请将列联表补充完整,并判断能否有99%的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关？
（2）在被调查的80人中,从不是将跑步作为主要锻炼方式的人群中按性别采取分层抽样的方法抽取5人参加体育健身学习活动,再从中选取2人作为代表发言,记2人中女性人数为X,求X的分布列与数学期望.
附：参考公式及数据：,其中.
18．如图，正方体中，E，F分别为棱BC，CD的中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知数列的各项均为正数，其前n项和满足，数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)设数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数m的取值范围.
20．已知抛物线.上一点到焦点F的距离比它到直线的距离小3.
(1)求抛物线的准线方程;
(2)若过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中垂线与抛物线的准线交于点C，请问是否存在直线l，使得?若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由.
21．已知定义在上的函数，其中a，.
(1)若函数存在极值，求实数a的取值范围;
(2)设，存在三个零点，，，其中.
(i)求实数a的取值范围;
(ii)求证:.
22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程;
(2)设点M的极坐标为，点N是曲线C上的点，求面积的最大值.
23．已知函数的图像关于直线对称.
(1)解不等式;
(2)设a，b均为正数，且，求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：由，得，则.故选D.
2．答案：A
解析：根据已知得，.所以.故选A.
3．答案：D
解析：，故切点为，，.即切线的斜率为1.所以切线方程为，即.故选D.
4．答案：C
解析：由.可知，故，所以.设的夹角为，即.又.所以.故选C.
5．答案：B
解析：，因为为奇函数，所以，即.所以.所以.所以.故选B.
6．答案：A
解析：的通项为，令，解得，故的系数等于.故选A.
7．答案：B
解析：.故选B.
8．答案：D
解析：执行程序框图：,,,,,,,继续执行；,,,继续执行；,,,继续执行；,,,继续执行；,,,继续执行；,,,退出循环,输出,.输出的m的值为小僧的人数,输出的n的值为大僧的人数.故选D.
9．答案：C
解析：因为是的平分线，故点Q到直线，的距离相等，则，又因为，所以，解得.所以，解得.故选C.
10．答案：A
解析：构造函数，.则.当时.，在上单调递增:当时，，在上单调递减.所以.即.得.即.构造函数，.则，当时.，在上单调递增.当时.，在上单调递减，，.所以.故选A.
11．答案：C
解析：连接CG并延长交AB于点D,则D为AB的中点,因为,则,由重心的性质可得,则,因为,所以,所以,所以,由余弦定理可得,
所以,因为为锐角三角形,则即，
即所以.
构造函数,易得在上单调递减,在上单调递增,所以,故.故选C.
12．答案：D
解析：如图.在矩形ABCD中.连接对角线AC.BD.记.则点F为矩形ABCD的外接圆圆心，设，在中，由余弦定理得，即.的外接圆半径为.记的外接圆圆心为G.则，取AD的中点E，连接PE，EF，显然，，，且P，E，G共线，因为，，，于是平面PAD，即平面PAD，平面PAD，有，而，，平面ABCD.因此平面ABCD.过G作平面PAD，使，连接FO，于是，则四边形EFOG为矩形，有，则平面ABCD，根据球的性质，得点O为四棱锥外接球的球心，因为球O的体积为，则，解得.而.在中，，因此外接圆直径.取PB的中点H，连接OH.显然H为外接圆圆心，则平面PAB.且.所以四棱锥的外接球上的点到平面PAB的距离的最大值为8.即三棱锥的高的最大值为8.而，故三棱锥的体积的最大值为.故选D.
13．答案：或或
解析：若选①②.因为实轴长为4.所以.又焦距为6.所以.则，故此时双曲线C的方程为;若选①③.因为，得.又实轴长为4，得.所以，则，故此时双曲线C的方程为;若选②③.因为，又焦距为6.所以.所以，，故此时双曲线C的方程为.
14．答案：4
解析：由三视图可得该几何体为如图所示的三棱锥.其中棱锥的高为2.，在中，AB边上的高为3，则，，，所以该几何体的最长棱长为4.
15．答案：45
解析：由题得圆，设圆心，半径，.若圆心到直线AC，BD的距离为，，则，且，，，而，所以，令，则，令，即时，四边形面积的最大值为45.
16．答案：
解析：由题意得，其中，，因为是图象的最低点，
所以
所以，
所以，
横坐标缩短为原来的得，
向左平移1个单位长度得，所以.
由的所有根从小到大依次相差3个单位可知与的相邻交点间的距离相等，所以过曲线的最高点或最低点，或经过所有的对称中心.
当过曲线的最高点或最低点时，每两个根之间相差一个周期，即相差6，不合题意；
当过曲线所有的对称中心时，则，所以，
所以，则，，
所以.
17．答案：(1)没有99%的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关
(2)
解析：（1）列联表如下：
,
所以没有99%的把握认为是否将跑步作为主要锻炼方式与性别有关.
（2）抽取的5人中,男性有人,女性有人,
X的可能值有0,1,2,
,,,
X的分布列为
.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则，，，，，，.
因为E为棱BC的中点.F为棱CD的中点.
所以，，，，，
设平面的一个法向量为.
由得.
令，则.
因为.
所以，
因为平面，
所以平面.
(2)由(1)得.
设直线与平面所成的角为.
则.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由，得，当时，.解得.当时..化简得，
数列是等差数列，.
(2)由(1)可得:，
数列的前n项和.
.
单调递增，.
.
，若使得对一切恒成立，
则解得.
实数m的取值范围是.
20．答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)因为抛物线上一点到焦点F的距离比它到直线的距离小于3，
所以抛物线上一点到焦点F的距离等于它到直线的距离，
所以，解得.
故抛物线的方程是，抛物线的准线方程为.
(2)由题意得，且l斜率一定存在.设，，，
由消去y可得，.
则，.
设AB中点为M，则.
解得.即.
当时，易知，，不符合题意;
当时，设，.
因为CM垂直平分AB.所以CM的斜率为.
易知，因此有.
因为M为AB的中点，所以.
由题意，，即，，
两边平方整理可得，解得.
故存在直线l使得，且直线l的方程为或.
21．答案：(1)
(2)(i)；(ii)证明见解析
解析：(1)，结合，.
当时，恒成立，函数在上单调递增，此时不存在极值;
当时，若时，，若时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
此时为函数的极小值点，此时存在极值.
故实数a的取值范围为.
(2)易得，
(i).
设，因为，，则除1外还有两个零点.，令.
当时，在恒成立，则.
所以在上单调递减，不满足，舍去;
当时，除1外还有两个零点.则不单调.
所以存在两个零点，所以，解得.
当时.设的两个零点分别为m，.
则，，所以.
当时.，.则单调递增:
当时，，.则单调递减;
当时，，，则单调递增，
又.所以，，
而，且.
，且，所以存在，.
使得.
即有3个零点，，.
综上.实数a的取值范围为.
(ii)证明:结合(i)因为，
若，则，所以.
当时，先证明不等式恒成立，
设，则.
所以函数在上单调递增.于是.
即当时，不等式恒成立.
由，可得，
因为.所以，
即，两边同除以，
得，即，
所以.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)由得，
故直线l的普通方程是;
由.得，
代入公式得，
故曲线C的直角坐标方程是.
(2)设，，
则的面积为
，
因为，故，所以，
则.
故.
所以，即面积的最大值为.
23．答案：(1)
(2)3
解析：(1).
令.解得;令，解得.
因为函数的图象关于直线对称.所以.解得.
不等式即为，
当时，不等式可化为，解得;
当时，不等式可化为，无解;
当时，不等式可化为，解得.
综上.不等式的解集是.
(2)由(1)可得，
所以，
当且仅当.即时取等号.
故的最小值为3.
将跑步作为主要锻炼方式
不是将跑步作为主要锻炼方式
合计
男性
20
20
女性
30
合计
80
0.40
0.25
0.10
0.010
0.005
0.001
0.708
1.323
2.706
6.635
7.879
10.828
将跑步作为主要锻炼方式
不是将跑步作为主要锻炼方式
合计
男性
20
20
40
女性
10
30
40
合计
30
50
80
X
0
1
2
P