真题重组卷05（2024新题型）-冲刺2024年高考数学真题重组卷（新高考新题型专用）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13．12 14．1
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（本小题满分13分）
【解】（1）若，则，所以，故，
又，所以在处的切线方程．
（2）由题意，从而，
①当时，，所以，
从而在上单调递增，在上单调递减，故是的极大值点，满足题意；
②当时，，所以或，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
从而是的极大值点，满足题意；
③当时，，所以在上单调递增，不合题意；
④当时，，所以或，，
从而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意；
综上所述，实数a的取值范围是．
16.（本小题满分15分）
【解析】证明：取中点，连接，，
为的中点．，且，
四边形是平行四边形，故，
平面；平面，
平面，
是中点，是的点，
，平面；平面，
平面，又，
平面平面，
又平面，平面；
侧面为正方形，平面平面，平面平面，
平面，，又，，
若选①：；又，平面，
又平面，，又，
，，，两两垂直，
若选②：平面，，平面，平面，
，又，，，
，，
，又，，
，，两两垂直，
以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，1，，，2，，
，1，，，1，，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，，，
又，2，，
设直线与平面所成角为，
，．
直线与平面所成角的正弦值为．
17．（本小题满分15分）
【解析】（Ⅰ）由题意可得，椭圆的离心率，又，
所以，则，
故椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）证明：先证明充分性，
当时，设直线的方程为，
此时圆心到直线的距离，则，
联立方程组，可得，
则△，
因为，
所以，，
因为直线与曲线相切，
所以，则，
则直线的方程为恒过焦点，
故，，三点共线，
所以充分性得证．
若，，三点共线时，设直线的方程为，
则圆心到直线的距离为，解得，
联立方程组，可得，
即，
所以；
所以必要性成立；
综上所述，，，三点共线的充要条件是．
18．（本小题满分17分）资料来源: 微信公众号 智慧学库
【解析】（Ⅰ）由题意，，，，，
故；
（Ⅱ）证明：由题意可知，，则，
所以，变形为，
所以，
即，
即，
令，
若时，则的对称轴为，
注意到，（1），
若时，（1），
当时，（1），的正实根，原方程的最小正实根，
当时，（1），的正实根，原方程的最小正实根，
（Ⅲ）当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；
当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．
19.（本小题满分17分）
【解】（1）证明：设，且为整数，
∴
∵，且为整数，∴是正整数，
∴一定是20的倍数；
（2）∵，且为正整数，∴，
当时，，没有满足条件的，
当时，，
∴满足条件的有或，
解得或，∴或，
当时，，没有满足条件的，
当时，，
∴满足条件的有，解得，∴，
当时，，没有满足条件的，
当时，，
∴满足条件的有或，
解得或，∴或，
∴小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为.
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
D
C
C
D
B
C
9
10
11
ABD
BC
ACD