2023-2024学年广东省江门二中八年级（上）期中数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省江门二中八年级（上）期中数学试卷(含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是( )
A. 笛卡尔爱心曲线B. 蝴蝶曲线
C. 费马螺线曲线D. 科赫曲线
2.要使分式1x+1有意义，则x应满足的条件是( )
A. x≠−1B. x≠0C. x≠1D. x>1
3.下列多项式是完全平方式的是( )
A. a2−ab+b2B. a2−2ab−b2C. 2a2+2ab+b2D. a2+4ab+4b2
4.八边形的内角和是( )
A. 900°B. 1080°C. 1260°D. 1440°
5.有一个等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则这个等腰三角形的底边长为( )
A. 4B. 6C. 4或8D. 8
6.下列分解因式正确的是( )
A. ma+mb=m(a+b)B. 8m2−2m=m(8m−2)
C. a2−2ab+2b2=(a−b)2D. x2−1=(x−1)2
7.如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于( )
A. 45°
B. 60°
C. 70°
D. 75°
8.若把分式x+2yx−y中的x和y都扩大10倍，那么分式的值( )
A. 扩大10倍B. 不变C. 缩小10倍D. 缩小20倍
9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°，将其折叠，使点A落在CB边上的A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为( )
A. 56°
B. 32°
C. 22°
D. 34°
10.如图，在四边形ABCD中，∠C=72°，∠B=∠D=90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为( )
A. 72°
B. 36°
C. 108°
D. 38°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.点(2,−4)关于x轴对称的点的坐标为 ．
12.如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D.若BF=13，CF=4，则EF= ______．
13.若x2−(k−2)x+9是完全平方式，则k= ______．
14.如图，等边三角形ABC，P为BC上一点，且∠1=∠2，则∠3的大小为 (度)．
15.已知3m−n=1，则9m2−n2−2n的值为______．
16.我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”.此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律.请仔细观察，解决实际问题：假如今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过814天是星期______．
三、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A(−4,1)、B(−3,3)、C(−1,2)．
(1)作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
(2)在x轴上画出点P，使△PAC周长最小，并直接写出P点的坐标：______．
18.(本小题6分)
先化简(3x+1−x+1)÷x2−4x+4x+1，然后从−1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D在BC上，点E是AC延长线上一点，且BE=AD．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)若∠BAD=22°，求∠ABE的度数．
20.(本小题8分)
已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2+b2=6a+12b−45．
(1)求a，b值；
(2)若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．
21.(本小题8分)
如图1：BE平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点E．
(1)若∠ABC=80°，∠ACB=50°，求∠E的度数；
(2)若把∠A截去，得到四边形MBCN，如图2，猜想∠E，∠M，∠N的关系并证明．
22.(本小题8分)
已知(x2+mx−3)(2x+n)的展开式中不含x项，常数项是−6．
(1)求m、n的值：
(2)当m、n取第(1)小题的值时，先化简，再求值：[(m+2n)(m−2n)−(m−n)2]÷2n．
23.(本小题8分)
如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
(1)求证：MP=NP；
(2)若AB=a，求线段PH的长(结果用含a的代数式表示)．
24.(本小题10分)
我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用.在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．
情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a，b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；
情境一图：

情境二：乙同学用1块A木片、4块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长(用含a，b的式子表示)，并求所用C木片的数量；
情景二图：

情境三：丙同学声称自己用以上的A，B，C三种木片拼出了一个面积为2a2+7ab+4b2的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．
你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形.(要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】
解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
2.【答案】A
【解析】解：由题意得，x+1≠0，
解得x≠−1．
故选A．
根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
3.【答案】D
【解析】解：A.a2−ab+b2不是完全平方式；
B.a2−2ab−b2不是完全平方式；
C.2a2+2ab+b2不是完全平方式；
D.a2+4ab+4b2=(a+2b)2是完全平方式；
故选：D．
根据完全平方式的特点逐个判断即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两个．
4.【答案】B
【解析】解：八边形的内角和是：(8−2)×180=1080°．
故选：B．
直接利用多边形内角和定理分析得出答案．
此题主要考查了多边形内角和定理，正确记忆公式是解题关键．
5.【答案】A
【解析】解：当4为等腰三角形的底边长时，则这个等腰三角形的底边长为4；
当4为等腰三角形的腰长时，底边长=16−4−4=8，4、4、8不能构成三角形．
故选：A．
分4为等腰三角形的底边长与腰长两种情况进行讨论．
本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A.ma+mb=m(a+b)，正确，符合题意；
B.8m2−2m=2m(4m−1)，故该选项因式分解错误，不符合题意；
C.a2−2ab+2b2，不能再分解，故该选项错误，不符合题意；
D.x2−1=(x+1)(x−1)，故该选项因式分解错误，不符合题意．
故选：A．
因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积形式，且每一个整式不能再分解．根据提公因式法、公式法分解因式，即可获得答案．
本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：因为图中的两个三角形全等，且∠α的对边为b，
所以∠α=180°−45°−75°=60°．
故选：B．
根据全等三角形的对应角相等，判断计算选择即可．
本题考查了全等三角形的性质，准确判定对应关系是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：原式=10x+20y10x−10y
=x+2yx−y，
故选：B．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
9.【答案】C
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=56°，
∴∠B=90°−56°=34°，
∵折叠后点A落在边CB上A′处，
∴∠CA′D=∠A=56°，
由三角形的外角性质得，∠A′DB=∠CA′D−∠B=56°−34°=22°．
故选：C．
根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据翻折变换的性质可得∠CA′D=∠A，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了翻折变换，直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等．
10.【答案】B
【解析】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵在四边形ABCD中，∠C=72°，∠B=∠D=90°，
∴∠DAB=108°，
∴∠HAA′=72°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=72°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×72°=144°，
∴∠MAN=36°，
故选：B．
根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=72°，进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″)即可得出答案．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
11.【答案】(2,4)
【解析】【分析】
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
直接利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,−y)，进而得出答案．
【解答】
解：点(2,−4)关于x轴对称的点的坐标为：(2,4)．
故答案为：(2,4)．
12.【答案】9
【解析】解：在△ABC和△DFE中，
AB=DF∠A=∠DAC=DE，
∴△ABC≌△DFE(SAS)，
∴BC=EF，
∴BC−CE=EF−CE，
∴BE=CF=4，
∴EF=BF−BE=9，
故答案为：9．
由“SAS”可证△ABC≌△DFE，可得BC=EF，由线段的和差关系可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】8或−4
【解析】解：由题意得：x2−(k−2)x+9=(x±3)2，
∴x2−(k−2)x+9=x2±6x+9，
∴−(k−2)=±6，
k−2=±6，
解得：k=8或−4，
故答案为：8或−4．
根据题意可得：x2−(k−2)x+9=(x±3)2，然后进行计算即可解答．
本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．
14.【答案】60
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵∠APC=∠2+∠3=∠1+∠B，
又∠1=∠2，
∴∠3=∠B=60°，
故答案为：60．
根据三角形的外角的性质，得出∠APC=∠2+∠3=∠1+∠B，结合等边三角形的性质即可求解．
本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】解：∵3m−n=1，
∴原式=(3m+n)(3m−n)−2n
=3m+n−2n
=3m−n
=1．
故答案为：1．
利用平方差公式将原式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
本题主要考查了平方差公式和整体代入的思想方法，利用平方差公式将原式适当变形是解题的关键．
16.【答案】二
【解析】解：∵814=(7+1)14=714+14×713×1+91×712×12+⋯⋯+14×7×113+114，
∴814除以7，余数为1，
∴再过814天是星期二，
故答案为：二．
利用“杨辉三角”规律图，将821表示成(7+1)21后展开，观察结果得到821除以7的余数为1，则结论可得．
本题考查数字类规律探究，关键是发现814=(7+1)14，再利用杨辉三角求解．
17.【答案】(−3,0)
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；
(2)点P即为所求；P(−3,0)．
证明：取点A关于x轴的对称点A″，连接A″C交x轴于点P，
根据轴对称性质知：PA=PA″，
∴PA+PC=PA″+PC=A″C，
根据两点之间线段最短知：PA+PC最小．
故答案为：(−3,0)．
(1)分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
(2)作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P．
本题主要考查作图−轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及最短路线问题．
18.【答案】解：原式=(3x+1−x2−1x+1)÷(x−2)2x+1
=3−x2+1x+1⋅x+1(x−2)2
=4−x2x+1⋅x+1(x−2)2
=−(x+2)(x−2)x+1⋅x+1(x−2)2
=−x+2x−2，
∵x+1≠0，x−2≠0，
∴x≠−1，x≠2，
∴当x=0时，原式=−0+20−2=1．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，
在Rt△ACD与Rt△BCE中，
AD=BEAC=BC，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL)；
(2)解：∵Rt△ACD≌Rt△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CAD=45°−22°=23°，
∴∠EBC=23°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=68°．
【解析】(1)根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BCE；
(2)由Rt△ACD≌Rt△BCE，求出∠CAD=∠CBE，再求出∠EBC=23°，即可求解．
本题考查直角三角形证明全等，全等三角形的性质，解题的关键是能够根据题目的条件，求出相应角的度数．
20.【答案】解：(1)∵a2+b2=6a+12b−45，
∴a2+b2−6a−12b+45=0，
配方得：a2−6a+9+b2−12b+36=0，
变形得：(a−3)2+(b−6)2=0，
∵(a−3)2≥0，(b−6)2≥0，
∴a−3=0，b−6=0，
解得：a=3，b=6；
(2)∵△ABC是等腰三角形，
∴a=c=3，b=6(不能构成三角形，舍去)或a=3，b=c=6，
∴△ABC的周长为3+6+6=15．
【解析】(1)已知等式移项后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值即可；
(2)由三角形为等腰三角形，分类讨论求出各边长，进而求出周长即可．
此题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，
∴12∠ACD=∠E+∠EBC，
∴12(∠A+∠ABC)=∠E+∠EBC，
∴12∠A+12∠ABC=∠E+∠EBC，
∴12∠A=∠E，
∵∠A=180°−∠ABC−∠ACB，∠ABC=80°，∠ACB=50°，
∴∠A=50°，
∴∠E=25°；
(2)∠E=12(∠BMN+∠MNC−180°)，
证明如下：
延长BM和CN相交于点A，
∵∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∠AMN+∠BMN=180°，∠ANM+∠MNC=180°，
∴∠A=180°−(∠AMN+∠ANM)=180°−(180°−∠BMN+180°−∠MNC)=∠BMN+∠MNC−180°，
∵由(1)知∠E=12∠A，
∴∠E=12(∠BMN+∠MNC−180°)．
【解析】(1)由角平分线定义得到∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD，由三角形外角性质得到∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，进一步得到12∠A=∠E，由三角形内角定理得到∠A=50°即可得到答案；
(2)延长BM和CN相交于点A，进一步得到∠A=∠BMN+∠MNC−180°，由(1)的结论即可得到答案．
此题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质定理，理清各角之间的关系是解题的关键．
22.【答案】解：(1)(x2+mx−3)(2x+n)
=2x3+nx2+2mx2+mnx−6x−3n
=2x3+(n+2m)x2+(mn−6)x−3n，
∵(x2+mx−3)(2x+n)的展开式中不含x项，常数项是−6，
∴mn−6=0，−3n=−6，
解得m=3，n=2；
(2)[(m+2n)(m−2n)−(m−n)2]÷2n
=(m2−4n2−m2+2mn−n2)÷2n
=(2mn−5n2)÷2n
=m−5n2，
当m=3，n=2时，原式=3−52×2=−2．
【解析】(1)先化简(x2+mx−3)(2x+n)，然后根据(x2+mx−3)(2x+n)的展开式中不含x项，常数项是−6，即可求得m、n的值；
(2.先化简题目中的式子，再将(1)中m，n的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法．
23.【答案】(1)证明：过点M作MQ//BC，交AC于点Q，如图所示：
在等边△ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵MQ/​/BC，
∴∠AMQ=∠B=60°，∠AQM=∠ACB=60°，∠QMP=∠N，
∴△AMQ是等边三角形，
∴AM=QM，
∵AM=CN，
∴QM=CN，
在△QMP和△CNP中，
∠QPM=∠CPN∠QMP=∠NQM=CN，
∴△QMP≌△CNP(AAS)，
∴MP=NP；
(2)解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，
∴AH=HQ，
∵△QMP≌△CNP，
∴QP=CP，
∴PH=HQ+QP=12AC，
∵AB=a，AB=AC，
∴PH=12a.
【解析】(1)过点M作MQ//BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ=∠AQM=∠A=60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP(AAS)，即可得证；
(2)根据等边三角形的性质可知AH=HQ，根据全等三角形的性质可知QP=CP，即可表示出PH的长．
本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
24.【答案】解：情境一
如图，设等腰梯形的高为h，

∴2h+b=a，
∴h=a−b2，
∴图1的面积：S1=4×12(a+b)×a−b2
=(a+b)(a−b)，
图2的面积：S2=a2−b2，
∵S1=S2，
∴(a+b)(a−b)=a2−b2，
故可得到的乘法公式为：(a+b)(a−b)=a2−b2；
情境二
a2+4ab+mb2，
∵拼成了一个正方形，
∴当m=4时，
a2+4ab+4b2=(a+2b)2，
∴所拼正方形的边长为a+2b，所用C木片的数量为4；
情境三
赞同丁同学的说法；
去掉1个C以后，
2a2+6ab+4b2
=(a+b)(2a+4b)，
∴该情况下所拼长方形的长为2a+4b，宽为a+b，
长方形如图：

【解析】情境一：设等腰梯形的高为h，可求h=a−b2，分别表示出图1和图2的面积，即可求解；
情境二：可得a2+4ab+mb2，由拼成了一个正方形可得，能用完全平方公式进行因式分解，即可求解；
情境三：能构成长方形，则2a2+7ab+4b2要能进行分解，故去掉1个ab后即可进行因式分解，从而可求解．
本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键．