2022-2023学年辽宁省沈阳实验学校八年级（下）第一次月考数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳实验学校八年级（下）第一次月考数学试卷(含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A. a+c>b+cB. a+cbcD. ac0
B. x不大于3，可表示成x90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，△AEF的周长为______．
16.某商场的一件商品标价为420元，进价为280元，商场准备打折销售，要使利润率不低于5%，最低打______折.
17.如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，作BD垂直AD于D，△ABC的面积为8，则△ACD的面积为______．
18.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=15°，若AC=1，则BC2= ______．
三、解答题：本题共7小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题16分)
解不等式．
(1)5x7；
(3)x+1x⋅x−13．
20.(本小题12分)
解不等式组，并把解集在数轴上表示．
(1)x−2>03x−5x1−2x≥x+72．
21.(本小题8分)
已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=DF.求证：△ABC是等腰三角形．
22.(本小题8分)
如图，在直角坐标系中，△ABO为等边三角形，点A在第二象限，点B的坐标是(−4 3,0)，点C是y轴上的一个动点，连接BC，作BC的一侧作等边△BCD(点D不在第三象限)，连接AD，直线AD交y轴于点E，交x轴于点F．
(1)请直接写出点A的坐标______；
(2)当△BCD的顶点D在第一象限时，求证：△ABD≌△OBC；
(3)当△CEF为等腰三角形时，请直接写出点C的坐标．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=16cm，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向B点运动，动点G以1cm/s的速度从点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
(1)求：AM= ______cm，S△ABD：S△ACD= ______；
(2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有S△AED=2S△DGC；
(3)当△DFE与△DMG全等时，t的值为______．
24.(本小题10分)
某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．
(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？
(2)该水果商第二次仍用8000元从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%.若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？
25.(本小题12分)
已知：如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，AD，CE为角平分线，AD，CE相交于点F．

(1)请直接写出∠EFD的度数为______；
(2)当∠ACB=90°时，请直接写出FE与FD之间的数量关系______；
(3)当∠ACB≠90°时，其他条件不变，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
(4)求AE+CD的最小值为______．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据不等式的性质1，不等式两边同时加或减一个数，不等号不改变方向，故A正确，符合题意，B错误，不符合题意；
根据不等式的性质2，不等式两边同时乘或除以一个不为0的正数，不等号不改变方向，不等式的性质3，不等式两边同时乘或除以一个不为0的负数，不等号改变方向，选项中的c无法确定正负，故C错误，D错误，都不符合题意．
故选：A．
根据不等式的性质，逐一判定，即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟知性质是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应假设∠B=∠C，
故选：D．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
3.【答案】C
【解析】A、a不是负数，可表示成a≥0，故本选项错误；
B、x不大于3，可表示成x≤3，故本选项错误；
C、m与4的差是负数，可表示成m−4−2．
14.【答案】15
【解析】解：∵AD=2AB，AB=CD，
∴AD=2CD，
∴A′D=2CD，
∵∠C=90°，
∴∠DA′C=30°，
∴∠A′DA=30°，
∵△AGD≌△A′GD，
∴∠ADG=∠A′DG=15°．
故答案为：15．
根据三角函数即可求得∠DA′C的度数，进而根据△AGD≌△A′GD，求得∠ADG=∠A′DG，即可求解．
本题主要考查了图形的折叠变换，矩形的性质，正确求得∠DA′C=30°是解题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，
∴EA=EB，FA=FC，
∴△AEF的周长=EA+EF+FA=EB+EF+FC=BC=2．
故答案为：2．
根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，FA=FC，然后用等线段代换得到△AEF的周长=BC．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
16.【答案】7
【解析】解：设打x折销售，
依题意得：420×x10−280≥280×5%，
解得：x≥7．
故答案为：7．
设打x折销售，根据利润=售价−进价，结合利润率不低于5%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】解：如图，
设BD的延长线交AC于点E，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
∵BD垂直AD于D，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
∴∠ABD=90°−∠BAD=90°−∠EAD=∠AED，
∴△ABE为等腰三角形，
∴AD是△ABE的中线，
∴S△ABD=S△AED，S△CDB=S△CED，
∴S△ACD=S△ADE+S△CDE=12S△ABC=4．
故答案为：4．
设BD交AC于点E，可得△ABE为等腰三角形，可根据三线合一证明AD为△ABE的中线，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质，证明△ABE为等腰三角形是解题的关键．
18.【答案】8+4 3
【解析】解：如图，在AB边取点D，使BD=CD，连接CD，
∵∠B=15°，
∴∠BCD=∠B=15°，
∴∠ADC=∠B+∠BCD=30°，
∵∠A=90°，AC=1
∴BD=CD=2AC=2，
∴AD= CD2−AC2= 3，
∴AB=BD+AD=2+ 3，
∴BC2=AB2+AC2=(2+ 3)2+12=8+4 3．
故答案为：8+4 3．
在AB边取点D，使BD=CD，连接CD，可得∠ADC=∠B+∠BCD=30°，再由直角三角形的性质可得BD=CD=2AC=2，再由勾股定理求出AD，即可．
本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
19.【答案】解：(1)5x7，
移项，得：2x>7−1，
合并同类项，得：2x>6，
系数化为1，得：x>3；
(3)x+12−3，
合并同类项，得：−x>−1，
系数化为1，得：x0①3x−52，
解②得xEF，
∴此时不存在CE=EF，EF=CF时的等腰三角形△CEF，
当CE=CF时，设OC=x，则CE=x+4，
在Rt△COF中，由勾股定理得CF2=OC2+OF2=x2+(4 3)2，
∴(x+4)2=x2+(4 3)2，
解得x=4，
∴C(0,−4)；
综上所述，当△CEF为等腰三角形时，点C的坐标为(0,−4)，(0,12)．
(1)如图1，过A作AM⊥x轴于M，根据△ABO为等边三角形，B(−4 3,0)，可得OA=OB=4 3，BM=OM=2 3，在Rt△AOM中，由勾股定理得，AM= AO2−OM2，求AM的值，进而可得A点坐标；
(2)由题意知，∠ABD=∠OBC，证明△ABD≌△OBC(SAS)；
(3)由题意知，分D在第一象限，第二象限，第四象限三种情况求解：①当D在第一象限时，如图2，连接CF，②当D在第二象限时，如图3，连接CF，③当D在第四象限时，如图4，连接CF，证明△ABD≌△OBC(SAS)，然后分别对三种情况下CE=EF，CE=CF，CF=EF是否成立进行判断，然后对满足要求的情况进行求解即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形，30°所对的直角边等于斜边的一半等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23.【答案】10 87 6或143
【解析】(1)解：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
在Rt△ADF和Rt△ADM中，
DF=DMAD=AD，
∴Rt△ADF≌Rt△ADM(HL)
∴AM=AF=10cm，
∴S△ABDS△ACD=12AB⋅DF12AC⋅DM=1614=87，
故答案为：10；87；
(2)证明：由题意得，AE=2t，CG=t，
则S△AED=12×AE×DF=t⋅DF，
S△DGC=12×CG×DM=12t⋅DM，
∵DF=DM，
∴S△AED=2S△DGC；
(3)解：∵AM=AF=10，
∴CM=14−10=4，
当点G在线段CM上时，
∵DF=DM，
∴FE=MG时，△DFE≌△DMG，即10−2t=4−t，
解得，t=6(不合题意)，
当点G在线段AM上、E在BF上时，
∵DF=DM，
∴FE=MG时，△DFE≌△DMG，即2t−10=t−4，
解得，t=6，
当点G在线段AM上、E在AF上时，
∵DF=DM，
∴FE=MG时，△DFE≌△DMG，即10−2t=t−4，
解得，t=143，
则当t=6或143时，△DFE与△DMG全等．
故答案为：6或143．
(1)证明Rt△ADF≌Rt△ADM，根据全等三角形的性质得到AM=AF=10cm，根据三角形的面积公式求出答案；
(2)分别用t表示出S△AED和2S△DGC，即可证明；
(3)分点G在线段CM上、点G在线段AM上两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角平分线的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设小樱桃的进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，根据题意可得：
200x+200y=8000y−x=20，
解得：x=10y=30，
答：小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元；
(2)设大樱桃的售价为a元/千克，
(1−20%)×200×16+200a−8000≥[(40−30)+(16−10)]×200×90%，
解得：a≥41.6，
答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．
【解析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出总费用是解题关键．
(1)根据用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，以及大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，分别得出等式求出答案；
(2)根据要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，得出不等式求出答案．
25.【答案】120° FE=FD 5 3
【解析】解：(1)∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°−60°=120°，
∵AD平分∠BAC，EC平分∠BCA，
∴∠DAC=12∠BAC，∠ECA=12∠BCA，
∴∠DAC+∠ECA=12∠BAC+12∠BCA=12(∠BAC+∠BCA)=12×120°=60°，
∴∠CFA=180°−60°=120°，
又∵∠EFD=∠CFA，
∴∠EFD=120°，
故答案为：120°；
(2)在AC上截取CM=CD，连接FM，
∵CE平分∠BCA，
∴∠BCF=∠ACF，
在△DCF和△MCF中，
DC=MC∠BCF=∠ACFCF=CF，
∴△DCF≌△MCF(SAS)，
∴∠CFM=∠CFD，FM=FD，
由(1)可知，∠AFC=∠DFE=120°，
∴∠AFE=∠CFD=360°−2×120°2=60°，
∴∠AFM=∠CFM=∠CFD=60°，
∴∠AFE=∠AFM，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF=∠MAF，
在△AEF和△AMF中，
∠EAF=∠MAFAF=AF∠AFE=∠AFM，
∴△AEF≌△AMF(ASA)，
∴FE=FM，
∴FE=FD，
故答案为：FE=FD；
(3)在AC上截取CG=CD，连接FG，
∵CE平分∠BCA，
∴∠BCF=∠ACF，
在△DCF和△GCF中，
DC=GC∠BCF=∠ACFCF=CF，
∴△DCF≌△GCF(SAS)，
∴∠CFG=∠CFD，FG=FD，
由(1)可知，∠AFC=∠DFE=120°，
∴∠AFE=∠CFD=360°−2×120°2=60°，
∴∠AFG=∠CFG=∠CFD=60°，
∴∠AFE=∠AFG，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
∠EAF=∠GAFAF=AF∠AFE=∠AFG，
∴△AEF≌△AGF(ASA)，
∴FE=FG，
∴FE=FD；
(4)由(3)可知，CD=CG，△AEF≌△AGF，
∴AE=AG，
∴AE+DC=AG+CG=AC，
在△ABC中，AC