2023-2024学年广东省佛山市南海区罗村二中九年级（上）第一次段考数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省佛山市南海区罗村二中九年级（上）第一次段考数学试卷(含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A. 3x2−2xy−5y2=0B. (x−1)(x+2)=1
C. ax2+bx+c=0D. x2+1x2=0
2.若关于x的一元二次方程x2+2x+m2−9=0的常数项为0，则m的值为( )
A. 3B. −3C. ±3D. ±9
3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D为斜边AB上的中点，则CD为( )
A. 10
B. 3
C. 5
D. 4
4.下列表格对应值：
判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是( )
A. x<3.24B. 3.245.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+3x+k2−1=0的一个根为0，则k的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. 1或−1
6.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是( )
A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形
7.下列命题中，正确的是( )
A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形；
B. 对角线相等的四边形一定是矩形；
C. 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形；
D. 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形．
8.用配方法解方程x2−4x−5=0时，原方程应变形为( )
A. (x−2)2=1B. (x−2)2=9C. (x−4)2=21D. (x−4)2=11
9.已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2−14x+48=0的根，则这个三角形的周长为( )
A. 11B. 17C. 17或19D. 19
10.如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为( )
A. 3cmB. 2cmC. 2 3cmD. 4cm
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知正方形对角线的长为4，则这个正方形的边长为______．
12.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是______．
13.方程(x+5)(x−7)=−26，化成一般形式是______．
14.若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围为______．
15.如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF.下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③S△FGC=910.其中正确的有______(填写序号)．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解下列方程：2x(x−1)=x−1．
17.(本小题8分)
如图，已知E是正方形ABCD的边BC上的任意一点，BF⊥AE，垂足为G，交CD于点F.求证：AE=BF．
18.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求对角线AC？
19.(本小题9分)
阅读材料：
∵ax2+bx+c=0(a≠0)有两根分别为x1=−b+ b2−4ac2a，x2=−b− b2−4ac2a，
∴x1+x2=−2b2a=−ba，x1x2=b2−(b2−4ac)4a2=ca．
利用此知识解决下列问题：
已知x1，x2是方程x2−x−1=0的两根，不解方程求下列式子的值：
(1)(x1+1)(x2+1)；
(2)x12+x22．
20.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
(1)求证：CE=AD；
(2)当D为AB的中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由．
21.(本小题9分)
为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2018年投资100万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2020年投资121万元．
(1)求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；
(2)从2018年到2020年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元．
22.(本小题12分)
如图，在△ABC中，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
(1)求证：AE=DF．
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
(3)当t= ______时，△DEF为直角三角形．
23.(本小题12分)
如图，正方形ABCD中，点P是线段BD上的动点，
(1)当PE⊥AP交BC于E时，
①如图1，求证：PA=PE．
②如图2，连接AC交BD于点O，交PE于点F，试探究线段PA2、PO2、PF2之间用等号连接的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，已知M为BC的中点，PQ为对角线BD上一条定长线段，若正方形边长为4，随着P的运动，CP+QM的最小值为3 2，求线段PQ的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是二元二次方程，故本选项错误；
B、整理为x2+x−3=0，是关于x的一元二次方程，故本选项正确；
C、a=0时，是关于x的一元一次方程，故本选项错误；
D、分母上有未知数，不是整式方程，故本选项错误．
故选：B．
根据一元二次方程必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意得m2−9=0，
解得m=±3．
故选：C．
根据常数项的定义得到m2−9=0，然后利用平方根的定义得到m的值．
本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】
解：在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴AB= AC2+BC2= 82+62=10，
∵点D为斜边AB上的中点，
∴CD=12AB=12×10=5，
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：∵x=3.24时，ax2+bx+c=−0.02；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是3.24故选：B．
根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=−0.02；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c=0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是3.24本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
5.【答案】C
【解析】解：∵方程(k−1)x2+3x+k2−1=0为一元二次方程，
∴k−1≠0，
∴k≠1．
将x=0代入(k−1)x2+3x+k2−1=0，得：k2−1=0，
解得k1=−1，k2=1(不合题意，舍去)．
故选：C．
根据一元二次方程的定义可得出k−1≠0，进而可得出k≠1，将x=0代入原方程可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，结合k≠1即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入x=0求出k的值是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的中位线定理，菱形的性质，以及矩形的判定，连接四边形的中点得到的四边形的形状主要与原四边形的对角线的关系有关，原四边形的对角线相等，则得到的四边形是菱形，原四边形对角线互相垂直，则得到的四边形是矩形，连接任意四边形的四条边的中点得到的四边形都是平行四边形．
作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形EFGH是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得EF⊥FG，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．
【解答】
解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF/​/AC且EF=12AC，
同理，GH/​/AC且GH=12AC，
∴EF/​/GH且EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又根据三角形的中位线定理，EF/​/AC，FG/​/BD，
∴EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故选：C．
7.【答案】D
【解析】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，
例如等腰梯形，一组对边平行，另一组对边相等，不是平行四边形，
故本选项为假命题；
B、对角线相等的四边形不一定是矩形，
例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，
故本选项为假命题；
C、两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，
如图所示：AC⊥BD，但四边形ABCD不是菱形，本选项为假命题；
D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，
已知：四边形ABCD，AC=BD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
求证：四边形ABCD为正方形，
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形为平行四边形，又AC=BD，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为正方形，则本选项为真命题，
故选：D．
A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定为平行四边形，例如等腰梯形满足一组对边相等，另一组对边平行，但不是平行四边形；
B、对角线相等的四边形不一定为矩形，例题等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，应改为对角线相等的平行四边形为矩形；
C、对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，例如：画出图形，如图所示，AC与BD垂直，但是显然ABCD不是菱形，应改为对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，根据题意画出相应的图形，如图所示，根据对角线互相平分，得到四边形为平行四边形，再由平行四边形的对角线相等，得到平行四边形为矩形，最后根据矩形的对角线互相垂直得到矩形为正方形．
此题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，以及菱形的判定，判断一个命题为假命题，只需举一个反例即可；判断一个命题为真命题，必须经过严格的证明．熟练掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定是解本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：方程整理得：x2−4x=5，
配方得：x2−4x+4=9，即(x−2)2=9．
故选：B．
方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：解方程x2−14x+48=0得第三边的边长为6或8，
依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，
2，8，9能构成三角形，∴三角形的周长=2+8+9=19.故选D．
易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOB是等边三角形是解题的关键．
根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=12AC，再根据邻角互补求出∠AOB的度数，然后得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．
【解答】
解：在矩形ABCD中，AO=BO=12AC=4cm，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°−120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4cm．
故选：D．
11.【答案】2 2
【解析】解：如图：
由已知得：正方形ABCD中，BD=4，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=AD= 22BD=2 2．
故答案为：2 2．
画出图形，由等腰直角三角形性质即可得答案．
本题考查正方形性质，解题的关键是掌握正方形对角线将正方形分成两个等腰直角三角形及等腰直角三角形三边的关系．
12.【答案】16
【解析】解：在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形．
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴BD=AB=2AE=2EF=2×2=4，
∴菱形ABCD的周长=4AB=16，
故答案为：16．
根据题意可知△ABD是等边三角形，再根据中位线定理易求BD的长，据此可得出结论．
本题考查了三角形中位线及菱形的性质，根据题意得出△ABD是等边三角形是解题的关键．
13.【答案】x2−2x−9=0
【解析】解：方程(x+5)(x−7)=−26，
去括号得：x2−7x+5x−35=−26，
故化成一般形式是：x2−2x−9=0．
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)，首先把方程左边的两式相乘，再移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可．
去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
14.【答案】m>94
【解析】解：∵方程x2−3x+m=0没有实数根，
∴Δ=(−3)2−4m<0，
解得：m>94．
故答案为：m>94．
根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可求出m的取值范围．
本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．
15.【答案】①③
【解析】解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，
∴DE=13×3=1，CE=3−1=2，
∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，
∴AB=AF=AD，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
AG=AGAB=AF，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3−x，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，
即(1+x)2=(3−x)2+22，
解得，x=32，
∴CG=3−32=32，
∴BG=CG=32，
即点G是BC中点，故①正确；
∵tan∠AGB=ABBG=332=2，
∴∠AGB≠60°，
∴∠CGF≠180°−60°×2≠60°，
又∵BG=CG=FG，
∴△CGF不是等边三角形，
∴FG≠FC，故②错误；
△CGE的面积=12CG⋅CE=12×32×2=32，
∵EF：FG=1：32=2：3，
∴S△FGC=32+3×32=910，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③．
故答案为：①③．
先求出DE、CE的长，再根据翻折的性质可得AD=AF，EF=DE，∠AFE=∠D=90°，再利用“HL”证明Rt△ABG和Rt△AFG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=FG，再设BG=FG=x，然后表示出EG、CG，在Rt△CEG中，利用勾股定理列出方程求出x=32，从而可以判断①正确；根据∠AGB的正切值判断∠AGB≠60°，从而求出∠CGF≠60°，△CGF不是等边三角形，FG≠FC，判断②错误；先求出△CGE的面积，再求出EF：FG，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边长的比求解即可得到△FGC的面积，判断③正确．
本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据各边的熟量关系利用勾股定理列式求出BG=FG的长度是解题的关键，也是本题的难点．
16.【答案】解：移项，得：2x(x−1)−(x−1)=0
则(x−1)(2x−1)=0
则x−1=0或2x−1=0
解得：x1=1，x2=12．
【解析】首先移项，把方程的右边化成0，左边分解因式，即可化成两个一元一次方程，即可求解．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，正确理解因式分解法的基本思想是化成一元一次方程．
17.【答案】解：∵BF⊥AE，
∴∠EAB+∠GBA=90°，
∵∠GBA+∠FBC=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中，
∠EAB=∠FBCAB=BC∠EBA=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，
∴AE=BF．
【解析】先证明∠EAB=∠FBC，再证明△ABE≌△BCF，即可证明AE=BF．
本题考查了正方形的性质，证明△ABE≌△BCF是解题的关键．
18.【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，OB=12BD=3，OA=12AC，
∠BAO=∠DAO，
∠BAD=60°，
∴∠BAO=∠DAO=30°，
在Rt△AOB中，AB=2BO=2×3=6．
∵AB=OB2+OA2=62，
∴OA= AB2−OB2=5 3，
∴AC=2OA=6 3．
∴菱形的对角线AC=6 3．
【解析】根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出△AOB是直角三角形，再根据勾股定理即可求出AC的长．
此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，求出OA的长是解题关键．
19.【答案】解：由题意知：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，
∴x1+x2=1，x1x2=−1，
(1)(x1+1)(x2+1)
=x1x2+x1+x2+1
=−1+1+1
=1；
(2)x12+x22
=(x1+x2)2−2x1x2
=1−2×(−1)
=3．
【解析】首先通过计算得出x1+x2和x1x2，从而发现规律，然后根据规律也就是根与系数的关系对下面的式子进行变形求解．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
20.【答案】(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB=90°，
∴AC/​/DE，
∵MN/​/AB，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
(2)四边形BECD是菱形，
理由：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD/​/CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD=12AB，
∴四边形BECD是菱形．
【解析】(1)根据垂直定义可得∠ACB=∠DFB=90°，从而可得AC/​/DE，进而可得四边形ADEC是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得CE=AD，即可解答；
(2)根据线段的中点定义可得AD=BD，从而利用等量代换可得BD=CE，进而可得四边形BECD是平行四边形，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD=BD，从而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可解答．
本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定，以及菱形的判定是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为x，
根据题意得100(1+x)2=121，
解这个方程，得x1=0.1=10%，x2=−2.1 (不合题意，舍去)，
答：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为10%．
(2)根据题意得：100×(1+0.1)=110，
100+110+121=331(万元)
答：从2018年到2020年，该中学为三年新增电脑共投资331万元．
【解析】(1)设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为x，根据以后每年以相同的增长率进行投资，2020年投资121万元，列出方程，求出方程的解即可；
(2)分别求出该中学每年为新增电脑投资的钱数，再把所得的结果相加即可
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意把不合题意的解舍去．
22.【答案】52或4
【解析】(1)证明：在△DFC中，∠DFC=90°，
∠C=30°，DC=2t．
∴DF=12DC=12×2t=t，
又∵AE=1xt=t，
∴AE=DF；
(2)解：四边形AEFD能够成为菱形．理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE/​/DF，
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AB=5cm，
∴AC=2AB=10cm，
∴AD=AC−DC=(10−2t)cm，
若使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=10−2t，
解得：t=103．
即当t=103时，四边形AEFD为菱形；
(3)解：分情况讨论：
①当∠EDF=90°时，AD=2AE，即10−2t=2t，
∴t=52；
②∠DEF=90°时，AD=12AE，即10−2t=12t，
∴t=4；
③∠EFD=90°时，此种情况不存在．
故当t=52或4时，△DEF为直角三角形，
故答案为：52或4．
(1)利用已知用未知数表示出DF，AE的长，进而得出AE=DF；
(2)首先得出四边形AEFD为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出AE=AD时，求出t的值，进而得出答案；
(3)分三种情况讨论：①当∠EDF=90°时；②当∠DEF=90°时；③当∠EFD=90°时，分别分析得出即可．
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，解答本题的关键要掌握：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；解题时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
23.【答案】(1)①证明：如图1，连接PC，

在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BP=BP，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PE⊥AP，
∴∠APE=90°，
∴∠ABE+∠APE=180°，
∴∠BEP+∠BAP=180°，
∵∠BEP+∠PEC=180°，
∴∠BAP=∠PEC，
∴∠PCE=∠PEC，
∴PE=PC，
∴PA=PE；
②解：如图2，PO2(PA2+PF2)=PA2⋅PF2，理由如下：
∵PE⊥AP，
∴△APF是直角三角形，
∴PA2+PF2=AF2，
∵BD⊥AC，
∴S△APF=12PA⋅PF=12AF⋅PO，
∴PA⋅PF=AF⋅PO，
∴AF=PA⋅PFPO，
∴PA2+PF2=(PA⋅PFPO)2，
∴PO2(PA2+PF2)=(PA⋅PF)2=PA2⋅PF2，
∴PO2(PA2+PF2)=PA2⋅PF2；
(2)解：如图3，连接AC交BD于点O，
∵M为BC的中点，正方形边长为4，
∴BM=CM=2，AC=4 2，

∴BO=CO=2 2，
当点P与点O重合时，CP的最小值为CO=2 2，
∵CP+QM的最小值为3 2，
∴QM的最小值为 2，
当点P与点O重合时，QM⊥BD，如图4，

∴QM//AC，
∵M为BC的中点，
∴Q为BO的中点，
∴PQ=12BO= 2，
∴线段PQ的长为 2．
【解析】(1)①如图1，连接PC，根据正方形的性质证明△ABP≌△CBP(SAS)，可得PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后利用四边形内角和等于360°可得∠BEP+∠BAP=180°，再根据等腰三角形的性质证明PE=PC，进而可以解决问题；
②根据勾股定理和S△APF=12PA⋅PF=12AF⋅PO，进行计算即可解决问题；
(2)如图3，连接AC交BD于点O，当点P与点O重合时，CP的最小值为CO=2 2，根据CP+QM的最小值为3 2，可得QM的最小值为 2，当点P与点O重合时，QM⊥BD，如图4，所以QM/​/AC，再根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，作辅助线构建全等三角形是解题的关键．x
3.24
3.25
ax2+bx+c
−0.02
0.01