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2024春八年级数学下册第19章四边形综合素质评价试卷附解析（安徽专版沪科版）
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这是一份2024春八年级数学下册第19章四边形综合素质评价试卷附解析（安徽专版沪科版），共14页。
第19章综合素质评价一、选择题 (本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1．已知多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形的边数是( )A．9 B．10 C．11 D．122．某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是( ) A．正三角形 B．长方形 C．正八边形 D．正六边形 3．下列四个命题中不正确的是( )A．对角互补的平行四边形是矩形 B．有两边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的菱形是正方形4.如图，乐乐用边长为1的正方形做了一副七巧板，并将这副七巧板拼成一只小猫，则阴影部分的面积为( )A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,5) D．eq \f(2,3)5．【原创题】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC＋BD＝30 cm，△OAB的周长是23 cm，则EF的长为 ( )A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm 6．【母题：教材P98习题T11】有两张宽为2，长为8的矩形纸片按如图方式叠放在一起，使重叠的部分构成一个菱形，则该菱形的周长是( )A．17 B．15 C．13 D．117. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先使活动学具成为图①所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝5 cm，接着使活动学具成为图②所示正方形，则图②中对角线AC的长为( )A．5 cm B． 5 eq \r(2) cm C．10 cm D．15 cm8. 如图，矩形ABCD的面积为28，对角线交于点O，以AB，AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，对角线交于点O2……以此类推，则平行四边形AO6C7B的面积为( )A．eq \f(7,8) B．eq \f(7,16) C．eq \f(7,32) D．eq \f(7,64)9．【2022·宁波】如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点，若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为( )A．2 eq \r(2) B．3 C．2 eq \r(3) D．4 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上不与A，C重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG.有下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG； ③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3.其中正确的结论有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．平行四边形ABCD中，有两个内角的比为1：2，则这个平行四边形中较小的内角是________．12．设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是8 cm，CD与EF的距离是3 cm，则AB与EF的距离等于________cm.13．如图，四边形ABCD为菱形，点A，B，C，D在坐标轴上，A(eq \r(5)，0)，AB＝3，则菱形ABCD的面积等于________．14．已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(20，0)，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点C向点B 运动．设动点P的运动时间为t秒．(1)当t＝________时，四边形PODB是平行四边形；(2)在线段PB上有一点M，且PM＝10，当P运动________秒时，四边形OAMP的周长最小．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF.求证：(1)△BOE≌△DOF；(2)四边形ABCD是平行四边形．16．如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，求线段AC的长．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，在▱ABCD中，E为对角线AC延长线上的一点．(1)若四边形ABCD是菱形，求证：BE＝DE.(2)写出(1)的逆命题，并判断其是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例．18．【2023·济宁节选】如图，BD是矩形ABCD的对角线．(1)作线段BD的垂直平分线；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)(2)设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF，判断四边形BEDF的形状，并说明理由．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至点F，使BF＝BE，连接EC并延长至点G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF.(1)若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；(2)求证：四边形AFHD为平行四边形．20.【2023·石家庄模拟】如图，欢欢和乐乐分别站在正方形广场ABCD的顶点A和顶点C处，欢欢以2 m/s的速度走向终点D，途中位置记为点P；乐乐以3 m/s的速度走向终点B，途中位置记为Q.假设两人同时出发，当其中一人到达终点时结束运动．已知正方形边长为 80 m，点E在AB上，AE＝60 m．记三角形AEP的面积为S1，三角形BEQ的面积为S2.设出发时间为t s.(1)他们出发多少秒后S1＝S2?(2)是否存在这样的时刻t，使得S1＋S2＝2 300 m2？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．六、(本题满分12分)21．【2023·合肥包河大地中学】如图，在△ABC中，点O是AC边的中点，过点O作BC的平行线交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证：EO＝FO；(2)求证：四边形CEAF是矩形；(3)若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，求四边形ABCF的面积．七、(本题满分12分)22．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，∠B＝60°.动点E，F分别从点B，D同时出发以1 cm/s的速度运动．动点E沿边BC向终点C运动，动点F沿边DA向终点A运动，设点E的运动时间为t s.(1)判断四边形AECF的形状并说明理由；(2)当t＝________时四边形AECF是矩形；(3)是否存在某个时刻，四边形AECF是菱形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．八、(本题满分14分)23．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形性质探究：如图①，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；问题解决：如图②，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．试说明：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图③，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点．(1)试探索AC与MN的数量关系，并说明理由；(2)若AC＝2，求AB＋CD的最小值． 答案一、1．D 【点拨】∵多边形的每一个内角都等于150°，∴每一个外角都等于30°，根据多边形外角和等于360°可知，边数为12.2．C 【点拨】正八边形的内角为180°－eq \f(360°,8)＝135°，所以不能使用单一的正八边形进行密铺．3．B 4．A 【点拨】由题图易得阴影部分的面积是大正方形面积的四分之一.5．D 【点拨】根据平行四边形对角线互相平分可知，AO＝OC，BO＝OD.∵AC＋BD＝30 cm，∴OA＋OB＝15 cm.又∵△OAB的周长是23 cm，∴AB＝8 cm.∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，即EF∥AB，EF＝eq \f(1,2)AB＝4 cm.6．A 【点拨】如图，设AB＝x，EB＝8－x，AE＝2，则由勾股定理得x2＝(8－x)2＋22，解得x＝eq \f(17,4)，∴C菱形＝eq \f(17,4)×4＝17.7．B 【点拨】如图①，图②中，连接AC.在图①中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝AC＝5 cm.在图②中，∵四边形 ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∴AC＝eq \r(AB 2＋BC 2)＝5eq \r(2) cm.8．C 【点拨】设矩形ABCD的面积为S，根据题意得：S▱AOC1B＝eq \f(1,2)S矩形ABCD＝eq \f(1,2)S，S▱AO1C2B＝eq \f(1,2)S▱AOC1B＝eq \f(1,4)S＝eq \f(S,22)，…，S▱AOn－1CnB＝eq \f(S,2n).∴S▱AOnCn＋1B＝eq \f(S,2n＋1).∴S▱AO6C7B＝eq \f(S,27)＝eq \f(28,27)＝eq \f(7,32).9．D 【点拨】∵D是斜边AC的中点， F为CE的中点，DF＝2，∴AE＝2DF=4. ∵AE=AD, ∴AD=4. 在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，∴BD＝eq \f(1,2)AC＝AD＝4，故选D.10．C 【点拨】①连接BE，交FG于点O，延长DE交FG于点M，交AB于点H，如图．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴四边形EFBG为矩形．∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD，∠BAC＝∠DAC＝45°.在△ABE和△ADE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AE，,∠BAE＝∠DAE，,AB＝AD，))∴△ABE≌△ADE(SAS)．∴BE＝DE.∴DE＝FG.①正确；②∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE.由①知OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE.∴∠OFB＝∠ADE.∵∠BAD＝90°，∴∠ADE＋∠AHD＝90°.∴∠OFB＋∠AHD＝90°.∴∠FMH＝90°.∴DE⊥FG.②正确；③由②知∠OFB＝∠ADE，即∠BFG＝∠ADE.③正确．④∵E为AC上的一动点，根据垂线段最短，可知当DE⊥AC时，DE最小．∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°.∴AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝4 eq \r(2).∴DE＝eq \f(1,2)AC＝2 eq \r(2).由①知FG＝DE，∴FG的最小值为2 eq \r(2).④错误. 综上，正确的结论为①②③.二、11．60° 【点拨】由题意可知，平行四边形ABCD的邻角互补，对角相等．∵两个内角的比为 1∶2，则该两个角为相邻角，∴180°÷3＝60°，较小的内角为60°.12．5或11 【点拨】如图①所示，AB与EF的距离是11 cm，如图②所示，AB与EF的距离是5 cm.13．4 eq \r(5) 【点拨】如图，∵A(eq \r(5)，0)，∴OA＝eq \r(5).∵四边形ABCD为菱形，点A，B，C，D 在坐标轴上，AB＝3，∴OC＝OA＝eq \r(5)，OB＝OD，AC⊥BD.∴AC＝OA＋OC＝2 eq \r(5)，∠AOB＝90°.∴在Rt△AOB中，由勾股定理得OB＝eq \r(AB2－OA2)＝eq \r(32－(\r(5))2)＝2.∴BD＝OB＋OD＝4.∴菱形ABCD的面积 S＝eq \f(1,2)·BD·AC＝eq \f(1,2)×4×2 eq \r(5)＝4 eq \r(5).14．(1)5 (2)2.5【点拨】(1)∵四边形OABC为矩形，A(20，0)，C(0，8)，∴BC＝OA＝20，AB＝OC＝8.∵点D是OA的中点，∴OD＝eq \f(1,2)OA＝10.由运动知，PC＝2t，∴BP＝BC－PC＝20－2t.∵四边形PODB是平行四边形，∴PB＝OD＝10，解得t＝5.∴当t的值为5时，四边形PODB是平行四边形．(2)如图所示，连接DM，由(1)知，OD＝AD=10.∵PM＝10，∴OD＝PM.∵BC∥OA，∴四边形OPMD是平行四边形．∴OP＝DM.∵四边形OAMP的周长为OA＋AM＋PM＋OP＝20＋AM＋10＋DM＝30＋AM＋DM，∴当AM＋DM最小时，四边形OAMP的周长最小．作点A关于BC的对称点E，连接DE交BC于点M.∴AB＝EB，当点M在M＇处时，AM+DM最小.∵BC∥OA，∴BM＝eq \f(1,2)AD＝5.∴PC＝BC－BM－PM＝20－10－5＝5，即2t＝5，解得t＝2.5.三、15．【证明】(1)在△BOE和△DOF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠1＝∠2，,OB＝OD，,∠BOE＝∠DOF，))∴△BOE≌△DOF(ASA)．(2)∵△BOE≌△DOF，∴OE＝OF.∵AE＝CF，∴AE＋OE＝CF＋OF，即AO＝CO.∵OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．16．【解】∵∠AEB＝90°，D是边AB的中点，AB＝6，∴DE＝eq \f(1,2)AB＝3.∵EF＝1，∴DF＝DE＋EF＝3＋1＝4.∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，∴DF是△ABC的中位线．∴AC＝2DF＝8.四、17．(1)【证明】连接BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO=OD.∴直线EO是△BDE的边BD的垂直平分线，∴BE＝DE. (2)【解】逆命题为“若BE=DE，则四边形ABCD是菱形”，它是真命题.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD.又∵BE=DE，OE=OE，∴△DOE△BOE.∴∠DOE=∠BOE.又∵∠DOE+∠BOE=180°，∴∠DOE=90°.∴EO⊥BD，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形.18．【解】(1)所作线段BD的垂直平分线如图所示. (2)四边形BEDF是菱形．理由如下：如图，设BD与EF交于点O，∵EF是BD的垂直平分线，OB=OD，BE=DE.∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD//BC，∴∠EDO =∠FBO.∵∠EOD=∠FOB， ∴△EOD△FOB，∴ED=FB，∴四边形 BEDF 是平行四边形∵ BE = ED，∴四边形 BEDF是菱形.五、19．(1)【解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC.∴∠CDE＝180°-∠BAE＝180°-70=110°，∴∠DEC＝180°-∠DCE-∠CDE＝50°．(2)【证明】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD = BC，AD // BC.∵BF=BE，CG=CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC // FG，BC =eq \f(1,2)FG. ∴AD // FG.∵点H为FG的中点，∴FH=eq \f(1,2)FG，∴BC = FH，∴AD = FH，∴四边形 AFHD 是平行四边形.20．【解】(1)由题易得，0≤t<eq \f(80,3).∵AB = 80 m， AE =60m，∴BE=AB -AE=20m.由题意得AP=2t m， BQ = (80 - 3t) m. ∵S1＝S2， ∠A = ∠B =90°，∴eq \f(1,2)AE·AP＝eq \f(1,2)BE·BQ，∴eq \f(1,2)×60×2t＝eq \f(1,2)×20×(80－3t)，解得t＝eq \f(80,9)，符合题意，∴他们出发eq \f(80,9)s后S1＝S2.(2)不存在，理由如下：若S1＋S2＝2 300 m2，则eq \f(1,2)×60×2t＋eq \f(1,2)×20×(80－3t)＝2 300，解得t＝50(不符合题意，舍去)．∴不存在这样的时刻t，使得S1＋S2＝2 300 m2.六、21．(1)【证明】∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠FCH.∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，故 ∠OEC＝∠OCE.∴OE＝OC.∵CF平分∠ACH，∴∠OCF＝∠FCH，故∠OCF＝∠OFC.∴OF＝OC.∴OE＝OF.(2)【证明】由(1)得EO＝FO＝CO.又∵O是AC的中点，∴AO＝CO.∴四边形CEAF是平行四边形．∵EO＝FO＝CO，∴EO＝FO＝AO＝CO.∴EF＝AC.∴四边形CEAF是矩形．(3)【解】∵四边形CEAF是矩形，AE＝3，EC＝4，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，AF＝EC＝4，CF＝AE＝3.∴AC＝eq \r(AE2＋CE2)＝5.又∵AB＝12，BC＝13，∴AB2＋AC2＝132＝BC2.∴∠BAC＝90°.则四边形ABCF的面积＝eq \f(1,2)AB·AC＋eq \f(1,2)AF·CF＝eq \f(1,2)×12×5＋ eq \f(1,2)×3×4＝36.七、22．【解】(1)四边形AECF是平行四边形，理由如下：由题意得BE＝DF＝t×1＝t (cm).由平行四边形ABCD可知，AD∥BC，AD＝BC，∴AF＝CE＝(6－t) cm，∴四边形AECF为平行四边形．(2)2 【点拨】当AE⊥BC时，平行四边形AECF是矩形．∵AE⊥BC，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝eq \f(1,2)AB＝2 cm.∴t＝2，∴当t＝2时，四边形AECF是矩形，故答案为2.(3)存在．如图，过点A作AG⊥BC于点G，当AE＝EC时，平行四边形AECF是菱形，由(1)得BE＝tcm，CE=(6－t)cm，∴AE=CE=(6－t)cm.易知BG＝2 cm，AG＝2eq \r(3)cm，在Rt△AGE中，AE2＝AG2＋GE2，∴AE2=(2eq \r(3))2+( t－2)2.∴(6－t)2＝(2eq \r(3))2＋(t－2)2，解得t＝eq \f(5,2)，∴当t＝eq \f(5,2)时，四边形AECF是菱形．八、23．【解】概念理解：D性质探究：①AC＝BD，②AC⊥BD.问题解决：如图①，取四边形BCGE各边中点分别为M，N，R，L，并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于点P，连接BG交CE于点K.∵四边形BCGE各边中点分别为M，N，R，L，∴MN，NR，RL，LM分别是△BCG，△CEG，△BGE，△CEB的中位线．∴MN∥BG，MN＝eq \f(1,2)BG，RL∥BG，RL＝eq \f(1,2)BG，RN∥CE，RN＝eq \f(1,2)CE，ML∥CE，ML＝eq \f(1,2)CE.∴MN∥RL，MN＝RL，RN∥ML，RN＝ML.∴四边形MNRL是平行四边形．∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，∴AE＝AB，AG＝AC，∠EAB＝∠GAC＝90°.又∵∠BAC＝∠BAC.∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAG.在△EAC和△BAG中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AB，,∠EAC＝∠BAG,AC＝AG，))，∴△EAC≌△BAG(SAS)．∴CE＝BG，∠AEC＝∠ABG.又∵RL＝eq \f(1,2)BG，RN＝eq \f(1,2)CE，∴RL＝RN.∴▱MNRL是菱形．∵∠EAB＝90°，∴∠AEP＋∠APE＝90°.又∵∠AEC＝∠ABG，∠APE＝∠BPK，∴∠ABG＋∠BPK＝90°.∴∠BKP＝90°.又∵MN∥BG，ML∥CE，∴∠LMN＝90°.∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”．拓展应用：(1)MN＝eq \f(\r(2),2)AC.理由如下：如图②，分别作AD，BC的中点E，F并顺次连接EN，NF，FM，ME.又∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，∴四边形ENFM是正方形．∴FM＝FN，∠MFN＝90°.∴MN＝eq \r(FM2＋FN2)＝eq \r(2FM2)＝eq \r(2)FM.∵M，F分别是AB，BC的中点，∴FM＝eq \f(1,2)AC.∴MN＝eq \f(\r(2),2)AC.(2)如图②，连接BD交AC于点O，连接OM，ON，当点O在MN上(即M，O，N共线)时，OM＋ON最小，最小值为MN的长，∴OM＋ON≥MN，∴2(OM＋ON)≥2MN，由性质探究知：AC⊥BD，又∵M，N分别是AB，CD的中点，∴AB＝2OM，CD＝2ON，∴2(OM＋ON)＝AB＋CD.∴AB＋CD≥2MN.由拓展应用(1)知：MN＝eq \f(\r(2),2)AC.又∵AC＝2，∴MN＝eq \r(2).∴AB＋CD的最小值为2 eq \r(2).
第19章综合素质评价一、选择题 (本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1．已知多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形的边数是( )A．9 B．10 C．11 D．122．某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是( ) A．正三角形 B．长方形 C．正八边形 D．正六边形 3．下列四个命题中不正确的是( )A．对角互补的平行四边形是矩形 B．有两边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的菱形是正方形4.如图，乐乐用边长为1的正方形做了一副七巧板，并将这副七巧板拼成一只小猫，则阴影部分的面积为( )A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,5) D．eq \f(2,3)5．【原创题】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC＋BD＝30 cm，△OAB的周长是23 cm，则EF的长为 ( )A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm 6．【母题：教材P98习题T11】有两张宽为2，长为8的矩形纸片按如图方式叠放在一起，使重叠的部分构成一个菱形，则该菱形的周长是( )A．17 B．15 C．13 D．117. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先使活动学具成为图①所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝5 cm，接着使活动学具成为图②所示正方形，则图②中对角线AC的长为( )A．5 cm B． 5 eq \r(2) cm C．10 cm D．15 cm8. 如图，矩形ABCD的面积为28，对角线交于点O，以AB，AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，对角线交于点O2……以此类推，则平行四边形AO6C7B的面积为( )A．eq \f(7,8) B．eq \f(7,16) C．eq \f(7,32) D．eq \f(7,64)9．【2022·宁波】如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点，若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为( )A．2 eq \r(2) B．3 C．2 eq \r(3) D．4 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上不与A，C重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG.有下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG； ③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3.其中正确的结论有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．平行四边形ABCD中，有两个内角的比为1：2，则这个平行四边形中较小的内角是________．12．设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是8 cm，CD与EF的距离是3 cm，则AB与EF的距离等于________cm.13．如图，四边形ABCD为菱形，点A，B，C，D在坐标轴上，A(eq \r(5)，0)，AB＝3，则菱形ABCD的面积等于________．14．已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(20，0)，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点C向点B 运动．设动点P的运动时间为t秒．(1)当t＝________时，四边形PODB是平行四边形；(2)在线段PB上有一点M，且PM＝10，当P运动________秒时，四边形OAMP的周长最小．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF.求证：(1)△BOE≌△DOF；(2)四边形ABCD是平行四边形．16．如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，求线段AC的长．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，在▱ABCD中，E为对角线AC延长线上的一点．(1)若四边形ABCD是菱形，求证：BE＝DE.(2)写出(1)的逆命题，并判断其是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例．18．【2023·济宁节选】如图，BD是矩形ABCD的对角线．(1)作线段BD的垂直平分线；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)(2)设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF，判断四边形BEDF的形状，并说明理由．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至点F，使BF＝BE，连接EC并延长至点G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF.(1)若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；(2)求证：四边形AFHD为平行四边形．20.【2023·石家庄模拟】如图，欢欢和乐乐分别站在正方形广场ABCD的顶点A和顶点C处，欢欢以2 m/s的速度走向终点D，途中位置记为点P；乐乐以3 m/s的速度走向终点B，途中位置记为Q.假设两人同时出发，当其中一人到达终点时结束运动．已知正方形边长为 80 m，点E在AB上，AE＝60 m．记三角形AEP的面积为S1，三角形BEQ的面积为S2.设出发时间为t s.(1)他们出发多少秒后S1＝S2?(2)是否存在这样的时刻t，使得S1＋S2＝2 300 m2？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．六、(本题满分12分)21．【2023·合肥包河大地中学】如图，在△ABC中，点O是AC边的中点，过点O作BC的平行线交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证：EO＝FO；(2)求证：四边形CEAF是矩形；(3)若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，求四边形ABCF的面积．七、(本题满分12分)22．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，∠B＝60°.动点E，F分别从点B，D同时出发以1 cm/s的速度运动．动点E沿边BC向终点C运动，动点F沿边DA向终点A运动，设点E的运动时间为t s.(1)判断四边形AECF的形状并说明理由；(2)当t＝________时四边形AECF是矩形；(3)是否存在某个时刻，四边形AECF是菱形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．八、(本题满分14分)23．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形性质探究：如图①，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；问题解决：如图②，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．试说明：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图③，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点．(1)试探索AC与MN的数量关系，并说明理由；(2)若AC＝2，求AB＋CD的最小值． 答案一、1．D 【点拨】∵多边形的每一个内角都等于150°，∴每一个外角都等于30°，根据多边形外角和等于360°可知，边数为12.2．C 【点拨】正八边形的内角为180°－eq \f(360°,8)＝135°，所以不能使用单一的正八边形进行密铺．3．B 4．A 【点拨】由题图易得阴影部分的面积是大正方形面积的四分之一.5．D 【点拨】根据平行四边形对角线互相平分可知，AO＝OC，BO＝OD.∵AC＋BD＝30 cm，∴OA＋OB＝15 cm.又∵△OAB的周长是23 cm，∴AB＝8 cm.∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，即EF∥AB，EF＝eq \f(1,2)AB＝4 cm.6．A 【点拨】如图，设AB＝x，EB＝8－x，AE＝2，则由勾股定理得x2＝(8－x)2＋22，解得x＝eq \f(17,4)，∴C菱形＝eq \f(17,4)×4＝17.7．B 【点拨】如图①，图②中，连接AC.在图①中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝AC＝5 cm.在图②中，∵四边形 ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∴AC＝eq \r(AB 2＋BC 2)＝5eq \r(2) cm.8．C 【点拨】设矩形ABCD的面积为S，根据题意得：S▱AOC1B＝eq \f(1,2)S矩形ABCD＝eq \f(1,2)S，S▱AO1C2B＝eq \f(1,2)S▱AOC1B＝eq \f(1,4)S＝eq \f(S,22)，…，S▱AOn－1CnB＝eq \f(S,2n).∴S▱AOnCn＋1B＝eq \f(S,2n＋1).∴S▱AO6C7B＝eq \f(S,27)＝eq \f(28,27)＝eq \f(7,32).9．D 【点拨】∵D是斜边AC的中点， F为CE的中点，DF＝2，∴AE＝2DF=4. ∵AE=AD, ∴AD=4. 在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，∴BD＝eq \f(1,2)AC＝AD＝4，故选D.10．C 【点拨】①连接BE，交FG于点O，延长DE交FG于点M，交AB于点H，如图．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴四边形EFBG为矩形．∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD，∠BAC＝∠DAC＝45°.在△ABE和△ADE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AE，,∠BAE＝∠DAE，,AB＝AD，))∴△ABE≌△ADE(SAS)．∴BE＝DE.∴DE＝FG.①正确；②∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE.由①知OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE.∴∠OFB＝∠ADE.∵∠BAD＝90°，∴∠ADE＋∠AHD＝90°.∴∠OFB＋∠AHD＝90°.∴∠FMH＝90°.∴DE⊥FG.②正确；③由②知∠OFB＝∠ADE，即∠BFG＝∠ADE.③正确．④∵E为AC上的一动点，根据垂线段最短，可知当DE⊥AC时，DE最小．∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°.∴AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝4 eq \r(2).∴DE＝eq \f(1,2)AC＝2 eq \r(2).由①知FG＝DE，∴FG的最小值为2 eq \r(2).④错误. 综上，正确的结论为①②③.二、11．60° 【点拨】由题意可知，平行四边形ABCD的邻角互补，对角相等．∵两个内角的比为 1∶2，则该两个角为相邻角，∴180°÷3＝60°，较小的内角为60°.12．5或11 【点拨】如图①所示，AB与EF的距离是11 cm，如图②所示，AB与EF的距离是5 cm.13．4 eq \r(5) 【点拨】如图，∵A(eq \r(5)，0)，∴OA＝eq \r(5).∵四边形ABCD为菱形，点A，B，C，D 在坐标轴上，AB＝3，∴OC＝OA＝eq \r(5)，OB＝OD，AC⊥BD.∴AC＝OA＋OC＝2 eq \r(5)，∠AOB＝90°.∴在Rt△AOB中，由勾股定理得OB＝eq \r(AB2－OA2)＝eq \r(32－(\r(5))2)＝2.∴BD＝OB＋OD＝4.∴菱形ABCD的面积 S＝eq \f(1,2)·BD·AC＝eq \f(1,2)×4×2 eq \r(5)＝4 eq \r(5).14．(1)5 (2)2.5【点拨】(1)∵四边形OABC为矩形，A(20，0)，C(0，8)，∴BC＝OA＝20，AB＝OC＝8.∵点D是OA的中点，∴OD＝eq \f(1,2)OA＝10.由运动知，PC＝2t，∴BP＝BC－PC＝20－2t.∵四边形PODB是平行四边形，∴PB＝OD＝10，解得t＝5.∴当t的值为5时，四边形PODB是平行四边形．(2)如图所示，连接DM，由(1)知，OD＝AD=10.∵PM＝10，∴OD＝PM.∵BC∥OA，∴四边形OPMD是平行四边形．∴OP＝DM.∵四边形OAMP的周长为OA＋AM＋PM＋OP＝20＋AM＋10＋DM＝30＋AM＋DM，∴当AM＋DM最小时，四边形OAMP的周长最小．作点A关于BC的对称点E，连接DE交BC于点M.∴AB＝EB，当点M在M＇处时，AM+DM最小.∵BC∥OA，∴BM＝eq \f(1,2)AD＝5.∴PC＝BC－BM－PM＝20－10－5＝5，即2t＝5，解得t＝2.5.三、15．【证明】(1)在△BOE和△DOF中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠1＝∠2，,OB＝OD，,∠BOE＝∠DOF，))∴△BOE≌△DOF(ASA)．(2)∵△BOE≌△DOF，∴OE＝OF.∵AE＝CF，∴AE＋OE＝CF＋OF，即AO＝CO.∵OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．16．【解】∵∠AEB＝90°，D是边AB的中点，AB＝6，∴DE＝eq \f(1,2)AB＝3.∵EF＝1，∴DF＝DE＋EF＝3＋1＝4.∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，∴DF是△ABC的中位线．∴AC＝2DF＝8.四、17．(1)【证明】连接BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO=OD.∴直线EO是△BDE的边BD的垂直平分线，∴BE＝DE. (2)【解】逆命题为“若BE=DE，则四边形ABCD是菱形”，它是真命题.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD.又∵BE=DE，OE=OE，∴△DOE△BOE.∴∠DOE=∠BOE.又∵∠DOE+∠BOE=180°，∴∠DOE=90°.∴EO⊥BD，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形.18．【解】(1)所作线段BD的垂直平分线如图所示. (2)四边形BEDF是菱形．理由如下：如图，设BD与EF交于点O，∵EF是BD的垂直平分线，OB=OD，BE=DE.∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD//BC，∴∠EDO =∠FBO.∵∠EOD=∠FOB， ∴△EOD△FOB，∴ED=FB，∴四边形 BEDF 是平行四边形∵ BE = ED，∴四边形 BEDF是菱形.五、19．(1)【解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC.∴∠CDE＝180°-∠BAE＝180°-70=110°，∴∠DEC＝180°-∠DCE-∠CDE＝50°．(2)【证明】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD = BC，AD // BC.∵BF=BE，CG=CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC // FG，BC =eq \f(1,2)FG. ∴AD // FG.∵点H为FG的中点，∴FH=eq \f(1,2)FG，∴BC = FH，∴AD = FH，∴四边形 AFHD 是平行四边形.20．【解】(1)由题易得，0≤t<eq \f(80,3).∵AB = 80 m， AE =60m，∴BE=AB -AE=20m.由题意得AP=2t m， BQ = (80 - 3t) m. ∵S1＝S2， ∠A = ∠B =90°，∴eq \f(1,2)AE·AP＝eq \f(1,2)BE·BQ，∴eq \f(1,2)×60×2t＝eq \f(1,2)×20×(80－3t)，解得t＝eq \f(80,9)，符合题意，∴他们出发eq \f(80,9)s后S1＝S2.(2)不存在，理由如下：若S1＋S2＝2 300 m2，则eq \f(1,2)×60×2t＋eq \f(1,2)×20×(80－3t)＝2 300，解得t＝50(不符合题意，舍去)．∴不存在这样的时刻t，使得S1＋S2＝2 300 m2.六、21．(1)【证明】∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠FCH.∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，故 ∠OEC＝∠OCE.∴OE＝OC.∵CF平分∠ACH，∴∠OCF＝∠FCH，故∠OCF＝∠OFC.∴OF＝OC.∴OE＝OF.(2)【证明】由(1)得EO＝FO＝CO.又∵O是AC的中点，∴AO＝CO.∴四边形CEAF是平行四边形．∵EO＝FO＝CO，∴EO＝FO＝AO＝CO.∴EF＝AC.∴四边形CEAF是矩形．(3)【解】∵四边形CEAF是矩形，AE＝3，EC＝4，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，AF＝EC＝4，CF＝AE＝3.∴AC＝eq \r(AE2＋CE2)＝5.又∵AB＝12，BC＝13，∴AB2＋AC2＝132＝BC2.∴∠BAC＝90°.则四边形ABCF的面积＝eq \f(1,2)AB·AC＋eq \f(1,2)AF·CF＝eq \f(1,2)×12×5＋ eq \f(1,2)×3×4＝36.七、22．【解】(1)四边形AECF是平行四边形，理由如下：由题意得BE＝DF＝t×1＝t (cm).由平行四边形ABCD可知，AD∥BC，AD＝BC，∴AF＝CE＝(6－t) cm，∴四边形AECF为平行四边形．(2)2 【点拨】当AE⊥BC时，平行四边形AECF是矩形．∵AE⊥BC，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝eq \f(1,2)AB＝2 cm.∴t＝2，∴当t＝2时，四边形AECF是矩形，故答案为2.(3)存在．如图，过点A作AG⊥BC于点G，当AE＝EC时，平行四边形AECF是菱形，由(1)得BE＝tcm，CE=(6－t)cm，∴AE=CE=(6－t)cm.易知BG＝2 cm，AG＝2eq \r(3)cm，在Rt△AGE中，AE2＝AG2＋GE2，∴AE2=(2eq \r(3))2+( t－2)2.∴(6－t)2＝(2eq \r(3))2＋(t－2)2，解得t＝eq \f(5,2)，∴当t＝eq \f(5,2)时，四边形AECF是菱形．八、23．【解】概念理解：D性质探究：①AC＝BD，②AC⊥BD.问题解决：如图①，取四边形BCGE各边中点分别为M，N，R，L，并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于点P，连接BG交CE于点K.∵四边形BCGE各边中点分别为M，N，R，L，∴MN，NR，RL，LM分别是△BCG，△CEG，△BGE，△CEB的中位线．∴MN∥BG，MN＝eq \f(1,2)BG，RL∥BG，RL＝eq \f(1,2)BG，RN∥CE，RN＝eq \f(1,2)CE，ML∥CE，ML＝eq \f(1,2)CE.∴MN∥RL，MN＝RL，RN∥ML，RN＝ML.∴四边形MNRL是平行四边形．∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，∴AE＝AB，AG＝AC，∠EAB＝∠GAC＝90°.又∵∠BAC＝∠BAC.∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAG.在△EAC和△BAG中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AB，,∠EAC＝∠BAG,AC＝AG，))，∴△EAC≌△BAG(SAS)．∴CE＝BG，∠AEC＝∠ABG.又∵RL＝eq \f(1,2)BG，RN＝eq \f(1,2)CE，∴RL＝RN.∴▱MNRL是菱形．∵∠EAB＝90°，∴∠AEP＋∠APE＝90°.又∵∠AEC＝∠ABG，∠APE＝∠BPK，∴∠ABG＋∠BPK＝90°.∴∠BKP＝90°.又∵MN∥BG，ML∥CE，∴∠LMN＝90°.∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”．拓展应用：(1)MN＝eq \f(\r(2),2)AC.理由如下：如图②，分别作AD，BC的中点E，F并顺次连接EN，NF，FM，ME.又∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，∴四边形ENFM是正方形．∴FM＝FN，∠MFN＝90°.∴MN＝eq \r(FM2＋FN2)＝eq \r(2FM2)＝eq \r(2)FM.∵M，F分别是AB，BC的中点，∴FM＝eq \f(1,2)AC.∴MN＝eq \f(\r(2),2)AC.(2)如图②，连接BD交AC于点O，连接OM，ON，当点O在MN上(即M，O，N共线)时，OM＋ON最小，最小值为MN的长，∴OM＋ON≥MN，∴2(OM＋ON)≥2MN，由性质探究知：AC⊥BD，又∵M，N分别是AB，CD的中点，∴AB＝2OM，CD＝2ON，∴2(OM＋ON)＝AB＋CD.∴AB＋CD≥2MN.由拓展应用(1)知：MN＝eq \f(\r(2),2)AC.又∵AC＝2，∴MN＝eq \r(2).∴AB＋CD的最小值为2 eq \r(2).
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