浙江省宁波市惠贞书院2024届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

这是一份浙江省宁波市惠贞书院2024届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了 的相反数是，5×10-5C，000085=8， 下列因式分解正确的是等内容，欢迎下载使用。
答卷时间：120分钟 满分：120分
一．选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2C. D.
答案：D
解析：解：因为-+＝0，
所以-的相反数是．
故选：D．
2. 如图是由四个相同的小正方体堆砌而成的几何体，从正面看到该几何体的形状图是（ ）．
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：从正面看几何体得到的平面图形有上下两层，上层有一个小正方形，下层有三个并排的小正方形，上层一个小正方形在下层左端的小正方形上，故D正确；
故选：D．
3. 新冠疫苗载体腺病毒的直径约为0.000085毫米，将数0.000085用科学记数法表示为（ ）
A. 85×10-6B. 8.5×10-5C. 8.5×10-6D. 0.85×10-4
答案：B
解析：解： 0.000085=8.5×10-5，
故选：B.
4. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解：A．，故选项A中计算正确，符合题意；
B．，故选项B中计算错误，不符合题意；
C．，故选项C中计算错误，不符合题意；
D．，故选项D中计算错误，不符合题意，
故选：A．
5. 用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ）
A. 两个锐角都大于45°B. 有一个锐角小于45°
C. 两个锐角都小于45°D. 有一个锐角大于45°
答案：A
解析：解：至少有一个锐角不大于的反面为：两个锐角都大于45°；
故选A．
6. 如图，在中，为边的中点，为边的中点，连接，交于点．，则四边形的面积为（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 4.5
答案：B
解析：解：为边的中点，为边的中点，
，
为边的中点，为边的中点，
点为的重心，
，
，
，
四边形的面积．
故选：B．
7. 如图，为的直径，半径的垂直平分线交于点C，D，交于点E，若，则的长为（ ）
A. B. 4C. D. 6
答案：C
解析：解：如图，连接．
为的直径，，
，
是半径的垂直平分线，
，，
，
，
故选C．
8. 2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地展应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解：由题意得：，
故选：A．
9. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（，）的图像上，为轴上的一点，的面积为6，则k的值是（ ）．
A. 6B. 12C. 24D. 36
答案：C
解析：解：如图，连接，，设的高为h
∵与x轴相切于点B，为的直径，
∴，,
∴、的高为，
∴,
∵，
∴，
∴,
∵，且反比例函数图像在一象限，
∴．
故选：C．
10. 如图1，正方形纸片的边长为2，翻折，使两个直角的顶点重合于对角线上一点分别是折痕（如图2）．设，给出下列判断：①当时，点是正方形的中心；②当时，；③当时，六边形面积的最大值是3；④当时，六边形周长的值不变．其中正确的选项是（ ）
A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③
答案：C
解析：解：正方形纸片，翻折，使两个直角顶点重合于对角线上一点，
∴和等腰直角三角形，
∴当时，重合点P是的中点，
∴点P是正方形的中心，故①正确；
正方形纸片，翻折，使两个直角顶点重合于对角线上一点，
∴，
，
，
，
即，
．
同理，．
，故②错误；
六边形面积正方形的面积的面积的面积，
∵，
∴六边形面积为：

，
∴六边形面积的最大值为3，故③正确；
当时，
，
六边形的周长为



，故④正确；
∴正确的是①③④，故C正确．
故选：C．
二．填空题（每小题4分，共24分）
11. 若，则______．
答案：3
解析：解： ，
故答案为：3．
12. 甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均数和标准差统计如下表，如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加初中数学竞赛，那么应选______同学．
答案：乙
解析：由于乙的标准差较小、平均数较大，故选乙．
故答案为：乙．
13. 如图，有一张四边形纸片，已知，小丽和小明各做了如图操作，则小丽所画面积最大扇形的弧长是______，小明所画面积最大扇形的弧长是______（结果保留）．
答案： ①. ②.
解析：解：小明的最大的扇形，如图所示：
∵
∴
∴
∵
∴
则小丽的扇形的圆心角为，半径为，
∴扇形的弧长为：
弧的长为
故答案为：①；②
14. 如图，在菱形中，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为________．
答案：##
解析：解：如图，连接，作于点H，
∵四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
解得，
∵于点F，于点G，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
∴的最小值为，
故答案为：．
15. 放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，为固定点，，在点处分别装上画笔．
画图：现有一图形，画图时固定点，控制点处的笔尖沿图形的轮廓线移动，此时点处的画笔便画出了将图形放大后的图形．
原理：
若连接，，可证得以下结论：
①和为等腰三角形，则（______）；
②四边形为平行四边形；
③，于是可得三点在一条直线上；
④当时，图形是以点为位似中心，把图形放大为原来的______倍得到的．
答案： ①. ## ②.
解析：解：连接，，如图，
①∵，，
∴，
∴和是等腰三角形，
∴，，
∴，，
②∵，，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵，
∴，，三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：，
又，且，
∴，
即：当时，图形是以点为位似中心，把图形放大为原来的倍得到的．
故答案为：；．
16. 如图，有一张平行四边形纸条，，，，点E，F分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点C，D分别落在点，上．当点恰好落在边上时，线段的长为___________．在点F从点B运动到点C的过程中，若边与边交于点M，则点相应运动的路径长为___________．
答案： ①. ②.
解析：解：（1）当点恰好落在边上时，如图：
∵平行四边形纸条，，，，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴，，，，
∴，
∴，
过点作于点，
则：，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）当点与点重合时，此时最短，如图：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同（1）法可得：，
设，则：，
在中，，即：，
解得：，
∴，
∴；
当点在上时，此时与重合，最大，
由（1）可知，，
∴点运动的路径长为．
故答案为：．
三．解答题（本题有8小题，共66分）
17. （1）解方程：；
（2）解不等式组：．
答案：（1），（2）
解析：解：（1）
或，
解得：；
（2）
由得：；
由得：；
原不等式组的解集为：．
18. 如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中以线段为腰画一个等腰直角三角形．所画的面积为______．
（2）在图②中以线段为直角边画一个直角三角形，使的面积为3．
答案：（1）图见解析，5
（2）见解析
【小问1详解】
解：如图所示，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
的面积为；
故答案为：5；
【小问2详解】
解：如图所示，
∵，
∴，
∴，即，
∵的面积为5，
∴的面积为3．
19. 学校为了解全校名学生双休日在家最爱选择的电视频道情况，问卷要求每名学生从“新闻，体育，电影，科教，其他”五项中选择其一，随机抽取了部分学生，调查结果绘制成未完成的统计图表如下：
求调查的学生人数及统计图表中的值；
求选择其他频道在统计图中对应扇形的圆心角的度数；
求全校最爱选择电影频道的学生人数.
答案：（1）9,36 （2）21.6° （3）180人
解析：解：调查的学生人数为（人）
选择其他频道的人数（人）
选择科教频道的百分数
选择其他频道在统计图中对应扇形的圆心角的度数为
全校最爱选择电影频道的学生人数约为
（人）
20. 为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将的自来水加入到饮水机中，先加热到．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为，则水温下降到后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温与通电时间之间的函数关系如图所示．
（1）水温从加热到，需要______；请直接写出加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式：______；
（2）观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是______函数，并尝试求该函数的解析式；
（3）已知冲泡奶粉的最佳温度在左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为．现将的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？
答案：（1）4；；
（2）反，
（3）14分钟．
【小问1详解】
解：由图可得：水温从加热到，需要，
设加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式为：，
故答案为：4，；
【小问2详解】
解：观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是反函数，
设在水温下降过程中，与的函数关系为，
将代入解析式得：，
解得：，
在水温下降过程中，与的函数关系为：，
故答案为：反；
【小问3详解】
解：由题意得：在中，当时，，
解得：，
从加入自来水开始，需要等待的时间为：，
则从加入自来水开始，需要等待14分钟时间才可以接水冲泡奶粉．
21. 如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线 AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证∶BE=DE；
（2）如图2过点E作EF⊥DE，交边 BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证∶矩形DEFG是正方形；
②若正方形 ABCD的边长为9，CG=3，求正方形 DEFG的边长．
答案：（1）见解析 （2）①见解析；②
【小问1详解】
∵在正方形中，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
①如图，作于点P，于点Q，
∵在正方形中，
∴，
∴和均为等腰直角三角形，由勾股定理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
②∵在正方形，正方形中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形，
根据勾股定理得，
∴，
∴，即正方形边长为．
22. 水乡建湖小桥多．桥的结构多为弧形的桥拱，弧形桥拱和平静的水面构成了一个美丽的弓形（图①）．我校数学兴趣小组同学研究如何测量圆弧形拱桥中桥拱圆弧所在圆的半径问题，将桥拱记为弧，弦为水平面，设弧所在圆的半径为，建立了数学模型，得到了多个方案．

（1）如图②，从点A处测得桥拱上点处的仰角为，，则= ．（用含的代数式表示）
（2）如图③，在实地勘测某座拱桥后，同学们记录了下列数据：，米，求半径（结果精确到）．（参考数据：）
（3）如图④，在弧上任取一点（不与重合），作于点D，若，，，求的值．
答案：（1）
（2）米
（3）
【小问1详解】
如图，设圆的圆心为点O，连接，
∵，
∴，

∴是等边三角形，
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
如图，设圆的圆心为点O，作圆的直径，连接,
根据题意，得，，

∵，
∴，
∴（米）．
【小问3详解】
如图，设圆圆心为点O，作圆的直径，连接,
根据题意，得，，

∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
23. 已知为的外接圆，．

（1）如图1，连接交于点，过作的垂线交延长线于点．
①求证：平分；
②设，请用含的代数式表示；
（2）如图2，若，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想三者之间的数量关系并给予证明．
答案：（1）①见解析；②
（2），证明见解析
【小问1详解】
解：①连接，
则，
在和中，
，
∴，
∴，即平分；

②∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
即，
化简得：；
【小问2详解】
，，三者之间的数量关系为：．理由：
延长交于点，连接，，如图，

，，
．
，．
．
．
与关于对称，
，
，
．
．
．
即．
，
，即．
和中，
，
．
．
．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．
①求PE+EG的最大值；
②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．
答案：（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）①；②-1或
【小问1详解】
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3；
【小问2详解】
①当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
过点E作EK⊥y轴于点K，
∵EG⊥AC，
∴∠KEG＝∠KGE＝45°，
∴EG＝＝EK＝OD，
设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），
∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴PE+EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
由题意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣＜0，﹣1＜0，
当m＝﹣时，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值为；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N，
∵EK⊥y轴，PD⊥x轴，∠KEG＝45°，
∴∠DEG＝∠DNE＝45°，
∴DE＝DN．
∵∠KGE＝∠ONG＝45°，
∴OG＝ON，
∵y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴MF＝1，
∵∠KGF＝45°，
∴GF＝＝MF＝，
∵∠FDG＝45°，
∴∠FDN＝∠DEG．
又∵∠DGF＝∠EGD，
∴△DGF∽△EGD，
∴＝，
∴DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，
在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|，
OD＝﹣m，
在Rt△ODG中，
∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9，
∴5m2+12m+9＝﹣2m，
解得m1＝﹣1，m2＝．
甲
乙
丙
丁
平均数
78
92
92
85
标准差
7.5
6
7
6
频道
新闻
体育
电影
科教
其他
人数