重庆市第十一中学校2024届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)

这是一份重庆市第十一中学校2024届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了作图请一律用2B铅笔完成等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成：
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列式子中是分式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：、是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
、分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：．
2. 古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 估计的值在（ ）．
A. 1到2之间B. 2到3之间C. 3到4之间D. 4到5之间
答案：D
解析：解：原式，
，
，
，
，
故选：D．
5. 下列命题正确的是( )
A. 正方形对角线相等且互相平分B. 对角互补的四边形是平行四边形
C. 矩形的对角线互相垂直D. 一组邻边相等的四边形是菱形
答案：A
解析：A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；
B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；
C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；
D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．
故选：A．
6. 如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：解：，
当时，，故A不合题意；
当时，，故C不合题意；
当时，，故D不合题意；
故选：B．
7. 甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距；②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在追上乙车．正确的有（ ）

A. ①②B. ①③C. ②④D. ①④
答案：D
解析：解：由图象知：
①A，B两城相距，故此项正确；
②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是，故此项错误；
③乙车先出发，才到达B城，甲车后出发，就到达B城，故此项错误；
④两车在时，行驶路程一样，即甲车在追上乙车，故此项正确．
综上，①④说法正确，
故选：D．
8. 冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其以国宝熊猫为原型设计创作，将熊猫憨态可掬的形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技的特点，一经开售供不应求．已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个．若2月5日和6日较前一天的增长率均为，则满足的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：解：根据题意可得：
2月5日的销量为：，
2月6日的销量为：，
，
故选：D．
9. 如图以直角三角形的斜边为边在三角形的同侧作正方形．设正方形的中心为O，连接AO，如果，．则正方形的面积为（ ）
A. 18B. 32C. 34D. 50
答案：C
解析：解：如图，记与交点为M，在上截取，连接，
在正方形中，，，
∵，，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
故选：C．
10. 对于实数、，定义，则结论正确的有（ ）
；
；
若，是方程的两个根，则或；
若，是方程的两个根，，则的值为或．
A. 个B. 个C. 个D. 个
答案：C
解析：解：，故正确；
当时，即时，
，
当时，即时，
，
∴，故错误；
∵，是方程的两个根，
∴，，
当时，，
当时，，故正确；
∵，是方程两个根，
∴，，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
综上可知：正确，
故选：．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：________.
答案：9
解析：，，
原式.
故答案为：9.
12. 一元二次方程的两根分别为：___________，___________．
答案： ①. ②.
解析：
，
即：，，
∴，，
故答案为：，．
13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m．

答案：
解析：解：∵和均为直角
∴，
∴，
∴
∵，
∴,
故答案为：．
14. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个．

答案：10
解析：解：根据题意可得：
∵正五边形的一个外角，
∴，
∴，
∴共需要正五边形的个数（个），
故答案为：10．

15. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______．

答案：15
解析：解：如图，

由题意可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为15．
16. 如图，正方形中，点分别是边，边上的两点，连接、、，其中，则线段____．

答案：
解析：如图，过作于点，

∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
∴，
故答案为：．
17. 若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为___________．
答案：15
解析：解：，
不等式组整理得：，
故不等式组的解集为，
不等式组至少有两个正整数解，
，解得；
，
分式方程去分母得：，
解得：，且，
即，
∵分式方程有正整数解，
∴或或，
又∵，
∴或，
∴符合条件的所有整数a的和为：．
故答案为：15．
18. 对任意的四位数m，若千位数字与十位数字之和减去百位数字与个位数字之和的差等于9，将m的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数s，将m的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数t，记，若为整数，则称数m为“重九数”，______，若“重九数”（，，c，，a，b，c，d为整数）是7的倍数，则满足条件的n的最大值是______．
答案： ①. 10 ②. 9891
解析：解：（1）．
故答案为：10．
（2）由题意得：
，
的结果为整数，
为整数，
故是9的整数倍，
同理是9的整数倍，
当时，符合上述要求，但不满足是7的倍数，故舍去，
当时，符合上述要求，但不满足是7的倍数，故舍去，
当时，符合上述要求，但不满足是7的倍数，故舍去，
当时，符合上述要求，但不满足是7的倍数，故舍去，
当时，符合上述要求，并且满足是7的倍数，故．
故答案为：9891．
三、解答题：（本大题8个小题，19题各8分；20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 计算：
（1）
（2）
答案：（1）；
（2）
小问1解析：
解：原式=
；
小问2解析：
原式
．
20. 如图，菱形中，对角线、交于点，平分交于点．
（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线，交于．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接、．证明：四边形为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形是菱形
∴，，，，．
∴， ① ，
∵平分， ② ，
∴，，
∴ ③
在与中，
∴，∴ ④
∴，∴
又∵ ⑤ ，∴四边形是平行四边形
又∵，∴四边形是菱形．
答案：（1）见解析 （2）；平分；；；
小问1解析：
解：如图所示，即为所求；
小问2解析：
证明：∵四边形是菱形
∴，，，，．
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
故答案为：；平分；；；．
21. 年月日是第个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，分及以上为优秀，共分成四组，：；：，并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在组中的数据为：
九年级抽取的学生竞赛成绩为：．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：___________，___________，___________；
（2）根据上述数据，你认为该校八、九年级中，哪个年级校园安全知识掌握更好，请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校八、九年级共人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到分及以上的学生人数．
答案：（1），，；
（2）九年级成绩更好；理由：九年级的众数和中位数以及优秀率都比八年级的高；
（3）人．
小问1解析：
八年级名学生的成绩从小到大排列，排在中间的这个数为，
故中位数，
九年级的竞赛成绩最多的是，出现次，因此众数是，即，
九年级的竞赛成绩中及以上的人数有 (人)，
∴九年级的优秀率为，即，
故答案为：，，；
小问2解析：
九年级成绩更好；
理由：九年级的众数和中位数以及优秀率都比八年级的高；
小问3解析：
(人)．
答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到 分及以上的学生人数约人．
22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作交BC于点E，点F在BC的延长线上，且，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接AC，若，，，求EC和AC的长．
答案：（1）见解析；
（2）EC的长为8，AC的长为4．
小问1解析：
证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，AD＝BC，
∴ADEF，AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；
小问2解析：
解：如图，连接AC，
∵四边形AEFD是矩形，
∴AE＝DF＝4，∠AEC＝∠F＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠EAC+∠ACE＝∠ACE+∠DCF＝90°，
∴∠EAC＝∠DCF，
∴△AEC∽△CFD，
∴ ，
∴，
∴EC＝8，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，AE＝4，EC＝8，
，
∴．
故EC的长为8，AC的长为4．
23. 加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．年将基地内的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经测算种植甲种蔬菜总成本元，种植乙种蔬菜总成本元，其中甲种蔬菜种植面积为乙种蔬菜面积的，并且每平方米的乙的种植成本比甲的种植成本倍少元．
（1）则甲、乙两种蔬菜种植成本（元/）？
（2）学校计划今后在基地内，均按（）中的种植方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当为何值时，年的总种植成本为元？
答案：（1）元，元；
（2）．
小问1解析：
设甲种蔬菜的种植成本为元，则乙种蔬菜的种植成本为元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴乙种蔬菜的种植成本为（元），
答：甲、乙两种蔬菜的种植成本分别为元，元；
小问2解析：
年甲种蔬菜种植成本为（元），
∴年甲种蔬菜种植成本为，
整理得：，
解得：，(不符合题意，舍去)
答：当为时，年的总种植成本为元．
24. 如图，在菱形中，，动点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动，到达点停止运动，过点作，设点的运动时间为，点到的距离为．

（1）直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出这个函数的一条性质___________；
（3）根据函数图象直接写出不等式的解集是___________．
答案：（1），
（2）画图见解析，图象关于直线对称，
（3）或．
小问1解析：
如图，连接与交于点，
，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
∴，
同理：当在上时，
故答案为：，
小问2解析：
画图如下：

根据图象可知：图象关于直线对称，
小问3解析：
解：如图，

当时，，解得：，，解得：，
当时
∴或，
故答案为：或．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y＝kx+b（k≠0）交x轴于点C（2，0），交y轴于点D（0，1），直线l1和直线l2相交于点E，连接AD．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图2，若点M是直线l1上任意一点，且在E点的右侧，过点M作MN//y轴，交直线CD于点N，当线段MN＝6时，求△ADM的面积；
（3）如图3，将△ACD沿射线BA方向平移个单位，点D的对应点为点F，点G为CD的中点，点P为直线l：x＝﹣上任意一点，在直线l1上确定一点Q，使得以点F，G，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并任选一个点的坐标，写出求解过程．
答案：（1）
（2）△ADM的面积为
（3）Q点坐标（，），（，）或（，）
小问1解析：
解：（1）将点C（2，0），D（0，1）代入直线l2：y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线l2：．
小问2解析：
设点M（m，），
∵MN//y轴，
∴N（m，），
根据题意，得MN＝﹣（）＝，
∵MN＝6，
∴＝6，
解得m＝，
∴M（，），
设MN与x轴交于点R，
当y＝x﹣3＝0时，x＝，
∴A（，0），
当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，
∴B（0，﹣3），
∴OA＝，
∵D（0，1），
∴OD＝1，
∴，＝，
S梯形DORM＝，
∴SADM＝S梯形DORM﹣S△AOD﹣S△ARM＝．
小问3解析：
∵G为DC的中点，
∴G（，），
∵D点沿着射线BA的方向平移个单位得到F，
∴F（），
∵点P为直线l：x＝﹣上，
设P（﹣，y），
∵Q在直线l1上，
设Q（n，n﹣3），
以点F，G，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，存在以下情况：
①以FG，PQ为对角线，
得，
解得n＝，
∴Q（，），
②以FP，GQ为对角线，
得，
解得n＝，
∴Q（，），
③以FQ，GP为对角线，
得，
解得n＝，
∴Q（，）．
综上所述，Q点坐标为（，），（，）或（，）．
26. 在四边形中，，．
（1）如图，连接对角线，若，，，求；
（2）如图，在四边形中，若为的角平分线，点、分别为直线，直线上的点，连接，，，其中，求证：；
（3）在（2）的条件下，当点在直线上运动时，连接，取中点，连、，当最小时，请直接写出的值．
答案：（1）
（2）见解析 （3）
小问1解析：
如下图，过作于点，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴；
小问2解析：
如图，在线段上取点，使，连接，过点作于，过点作于，
∵，为的角平分线，，，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
小问3解析：
∵点在直线上运动时，连接，取中点，
∴点始终终在的平行于的中位线上，
如图，取线段的中点，连接，过点作的平行线，作点关于直线的对称点，连接、、，交于，交于，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当点在点时，最小，即最小，
∵根据作图，为的中位线，
∴，，，，
∴，，，
∴当点在点时，最小，
此时
．年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八
九