2024年辽宁省大连市部分学校九年级下学期九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 甲袋大米的和乙袋大米的相比较，（ ）
A. 甲袋大米的重B. 乙袋大米的重
C. 一样重D. 无法比较
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了百分数的乘法．熟练掌握一个数的百分数等于这个数与百分数的乘积是解题的关键．
根据百分数的乘法运算以及甲、乙袋大米的重量未知，可知无法比较重量，然后作答即可．
【详解】解：甲袋大米的为甲袋大米的重量与的乘积，乙袋大米的为乙袋大米的重量与的乘积，
∵甲、乙袋大米的重量未知，
∴无法比较重量，
故选：D．
2. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分完全重合，称这个图形为轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
根据轴对称图形的概念，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够互相重合，逐一进行判断即可．
【详解】A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3. 如图是正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“学”字一面相对面上的字是（ ）
A. 核B. 心C. 素D. 养
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点即可得到答案．
【详解】解：由正方体的展开图的特点可知“数”与“素”相对，“学”与“心”相对，“核”与“养”相对，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式等计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂乘除法指数是相加减，积的乘方和幂的乘方指数是相乘．
5. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】根据根的判别式计算判断即可．
【详解】∵，
∴，
故方程没有实数根，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．
6. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
【详解】解：解方程去分母，两边同乘后的式子为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
7. 一次函数，当，时，它的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意易得，一次函数的图象经过第二、四象限，当，则，可知一次函数的图象经过第一、二、四象限，进而问题可求解．
【详解】解：由，一次函数的图象经过第二、四象限，当，则，故一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故选D．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
8. 《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据单价总价数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设用6210文能买x株椽，
由题意得：，
故选：C．
9. 如图，线段DE交线段BC于点E，AB∥CD，若∠1=40°，∠3=60°，则∠2等于（ ）
A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°
【答案】B
【解析】
【分析】由平行线的性质求出，再由三角形的外角性质求出∠2即可.
【详解】∵AB∥CD,
∴∠1=∠C,
∵∠1=40°,
∴∠C=40°
∵∠3=∠C+∠2,
∴∠2=∠3-∠C,
∵∠3=60°,
∴∠2=60°-40°=20°.
故选：B.
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，求出∠C=30°是解题的关键.
10. 如图，在中，分别以，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，连接，交于点P．若，的周长为，则的长为（ ）
A 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等直接求解即可得到答案；
【详解】解：由作图可得，
垂直平分，
∴，
∵，的周长为，
∴，
∴，
故选：B．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平方差公式的在计算中的应用，掌握平方差公式即可解题．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 学习电学知识后，小婷同学用四个开关，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于______．
【答案】##
【解析】
【分析】画树状图展示所有种等可能的结果，再找出小灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有种，
∴小灯泡发光的概率，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
13. 如图，已知点的坐标为， 点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为6，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据平移的性质可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，设点的坐标为，则，，然后根据平行四边形的面积公式可得，由此即可得．
【详解】解：由平移的性质得：，
四边形是平行四边形，
设点的坐标为，
点的坐标为，
，，
又四边形的面积为6，
，即，
解得，
则点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、点坐标与图形，熟练掌握平移的性质是解题关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段交于点，且，则的面积为______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，连接，根据反比例函数系数k的几何意义得到，再利用三角形面积公式得到，即可得出答案．
【详解】解：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：12．
15. 如图，在四边形ABCD中，，，，，现给出以下结论：①△ABC可能是等腰三角形，②△BCD可能是等腰三角形，③△ACD可能是直角三角形，④线段AC，BD不可能互相垂直．其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】可根据三角形三边关系得出AC、BD的取值范围和等腰三角形的定义可判断①②，再根据勾股定理可判断③④．
【详解】解：①在△ABC中，由AB=1，BC=9得：8在△ADC中，由AD=6，CD=8得：2∴8当AC=9时，AC=BC，△ABC是等腰三角形，故①正确；
②在△ABD中，由AB=1，AD=6得：5在△BCD中，由BC=9，CD=8得：1∴5∴BD≠CD，BD≠BC，△BCD不可能为等腰三角形，故②错误；
③∵8∴AC＞CD＞AD，
∴∠DAC≠90°，∠ACD≠90°，
当∠ADC=90°时，由AD2+CD2=AC2得AC=10，但AC<10，
∴∠ADC≠90°，
∴△ACD不可能为直角三角形，
故③错误；
④如果线段AC、BD互相垂直，设交点为O，根据勾股定理，
由OA2+OB2=AB2，OD2+OC2=CD2，得OA2+OB2+OC2+OB2=AB2+CD2=1+64=65，
由OC2+OB2=BC2，OA2+OD2=AD2，得OA2+OD2+OC2+OB2=AD2+BC2=36+81=117，
∵65≠117，
∴线段AC、BD不可能互相垂直，故④正确，
综上，正确的是①④，
故答案为：①④．
【点睛】本题考查三角形的三边关系、勾股定理、等腰三角形的定义、不等式的解集，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算下列各题
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算负整数指数幂，零指数幂，再根据含乘方有理数混合计算法则求解即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，含乘方的有理数混合计算，平方差公式和完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
17. 考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；
（4）根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数．
【答案】（1）一共抽查的学生50人；（2）补图见解析；（3）“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为72°；（4）该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数为120人．
【解析】
【详解】分析：
（1）由统计图中的信息可知，调查中属于A类的学生有8人，占被调查总数的16%，由此即可计算出被调查学生的总数；
（2）由B类学生占被调查学生的30%，结合（1）中所求得的被调查学生的总数即可求得B类学生的人数，由此即可补全条形统计图了；
（3）由调查中属于C类的有10人结合（1）中所得的被调查学生的总数即可求得C类学生占总数的百分比，由此即可求得扇形统计图中C类学生所对应的圆心角的度数了；
（4）由调查中属于D类的有12人结合（1）中所得的被调查学生的总数即可求得D类学生占被调查学生总数的百分比，结合全校九年级共有500学生即可求得全校采用“听音乐”分式的学生的人数了.
详解：
（1）由题意可得，一共抽查的学生人数为：8÷16%=50人；
（2）由题意可得，参加“体育活动”的人数为：50×30%=15，
补全条形统计图如下图所示：
（3）“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为：360°××100%=72°；
（4）该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数为：500××100%=120人．
18. 某单位党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让他们栽植．已知每棵甲种树苗的价格比乙种树苗贵10元，用800元购买甲种树苗的棵数恰好与用600元购买乙种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）春节过后，党支部决定再次购买甲、乙两种树苗共100棵，用于对本村道路的绿化．此时，甲种树苗的售价比上次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变．如果这次购买两种树苗的总费用不超过3200元，那么他们最多可购买多少棵甲种树苗？
【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格为30元
（2）他们最多可购买33棵甲种树苗
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的实际应用．
（1）设甲种树苗每棵价格是元，根据每棵甲种树苗的价格比乙种树苗贵10元，用800元购买甲种树苗的棵数恰好与用600元购买乙种树苗的棵数相同，列出分式方程即可；
（2）设他们可购买棵甲种树苗，根据购买两种树苗的总费用不超过3200元，列出不等式，进行求解即可．
找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
【小问1详解】
解：设甲种树苗每棵的价格是元，则：乙种树苗每棵的价格为元，
由题意，得：，解得：；
经检验：是原方程的解，
，
答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格为30元．
【小问2详解】
设他们可购买棵甲种树苗，则购买棵乙种树苗，
由题意，得：，
解得：，
∴他们最多可购买33棵甲种树苗．
19. 于年举办的杭州亚运会的吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件元的价格出售．从月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示．

（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元．则售价应定为多少元？
【答案】（1）
（2）商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元，则售价应定为50元
【解析】
【分析】（1）根据表格数据，待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）根据单件的利润乘以销售量等于，列出一元二次方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：设y关于x的函数解析式为，把，；，代入可得，
解得，
即y关于x的函数解析式为；
【小问2详解】
依题意得，，
解得，（不合题意，舍去）
答：商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是元，则售价应定为元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
20. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
（1）求点A位于最高点时到地面的距离；
（2）当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度．
（考数据：）
【答案】（1）点A位于最高点时到地面的距离为米；
（2）水桶上升的高度为米．
【解析】
【分析】（1）作出如图的辅助线，在中，利用正弦函数求解即可；
（2）作出如图的辅助线，在中和在中，分别利用三角函数求出和的长即可．
【小问1详解】
解：过O作，过A作于G，
∵米，，
∴米，米，
∵，，
∴，
在中，（米），
点A位于最高点时到地面距离为（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为米；
【小问2详解】
解：过O作，过B作于C，过作于D，
∵，
∴，，
∵（米），
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
∴此时水桶B上升的高度为1.6米．
．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，读懂题意，构造直角三角形是解题的关键．
21. 如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、．

（1）求证：．
（2）若，，求的直径．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1)根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到答案；
（2）根据垂径定理得到的长，根据勾股定理计算，证明，即有，问题随之得解．
【小问1详解】
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22. 根据素材回答问题：
【答案】任务1：花圃的面积为208；任务2：图4方案的最大面积更大，为273；项目反思：图5方案最大面积更大
【解析】
【分析】任务1：根据矩形面积公式和正方形面积公式求解即可；
任务2：由图3，设，花圃面积为，则，由题意可得花圃面积，结合一次函数的性质计算该方案的最大面积；由图4，设，花圃面积为，则，由题意可得花圃面积，结二次函数的性质计算该方案的最大面积，即可获得答案；
项目反思：延长交于点，过点作于点，易得为矩形，进而可知，设，花圃面积为，则，，，由题意得列出函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：任务1：如图2，
由题意可知，则，
矩形面积为，
()，
答：花圃的面积为208；
任务2：由图3，设，花圃面积为，则，
由题意得：，
因为，
∴当时，有最大值，最大值为()；
由图4，设，花圃面积为，
则，
由题意得：，
∴当时，y有最大值为273，
所以，图4方案的最大面积更大，为273；
项目反思：如下图，

延长交于点，过点作于点，
易得为矩形，
∴，
∵，
，
设，花圃面积为，
则，，，
由题意得：，
∴当时，花圃面积有最大值，
∵，
∴图5方案最大面积更大．
【点睛】本题主要考查了矩形面积公式、一次函数的应用、二次函数的应用等知识，正确的求出函数解析式是解题的关键．
23. 【问题初探】
（1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：如图1，在和中，，且为锐角，若，求证：．
①如图2，小锋同学从，这个条件出发，想到根据“”构造全等，给出如下解题思路：在上截取，连接，将与的数量关系转化为它们所在的三角形的关系．
②如图3，小慕同学从，这个条件出发，想到作双垂直，可构造出“”全等条件，给出如下解题思路：过点A作，垂足为点M，过点D作，垂足为点N，先证明垂线段相等，将垂线段作为中间过渡量证明与所在的三角形全等，从而证明．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）赵老师发现上面两名同学都运用了转化思想，将证明两条线段的数量关系转化为证明两条线段所在三角形的关系．为了帮助同学们更好地感悟和运用转化思想，赵老师将上面的例题和解题思路进行变换，提出了下面的问题，请你解答：
如图4，在中，点E，D分别在边，上，连接，，延长至点F，使，连接，延长交于点H，若，求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在（2）的条件下，若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）对于小锋同学的解题思路，证明得到，再证明得到即可；对于小慕同学的解题思路，先证，得，再证可得；
（2）在上截取，连接，利用三角形的外角性质得到，证明得到，，利用等角对等边可证得即可；
（3）先利用三角形的内角和定理证明得到 ．再证明，根据等腰三角形的三线合一求得．利用锐角三角函数关系和勾股定理分别求得
，，设，则，，，
由求得x，则．证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：选小锋同学的解题思路，
证明：在上截取，连接．
∵，，
∴．
∴，．
∵，，
∴，∴．
选小慕同学的解题思路．
证明：过点A作，垂足为点M，过点D作，垂足为点N，
则，又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接．
∵，，，
∴
又∵，，
∴
∴，
∵，
∴
∴，即．
（3）解：在中，，
中，，
又∵，
∴．
由（2）知，，
∴，∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，∴．
∵，∴，
∴，，
设，由得，
∴，．
∵，∴，
解得，∴．
∵，
∴，，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，结合图形，得到角之间的关系是解答的关键．元
件
素材1
如图1，空地上有两条互相垂直的小路，，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，，且与的距离为10米，与的距离为8米．

素材2
现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
任务1
任务2
小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．


若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．

项目反思
如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．