重庆市第八中学（宏帆）2023-2024学年七年级下学期3月阶段测试数学试题 （原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应选项的代号涂黑．
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
2. 若成立，则的值为（ ）
A. 3B. 6C. 9D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵
∴的值为，
故选：C．
3. 下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方差公式的结构特点逐项判断即得答案；平方差公式是.
【详解】解：A、，能运用平方差公式进行运算；
B、，不能运用平方差公式进行运算；
C、，能运用平方差公式进行运算；
D、，能运用平方差公式进行运算．
故选：B.
【点睛】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构特点是解题的关键.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式；根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
5. 下列变形错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式．利用完全平方公式的变形对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：C．
6. 已知，，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. 12D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟记平方差公式是解此题的关键．
根据平方差公式可将原式化为，然后将已知条件代入求值即可．
【详解】解：
，，
原式，
．
故选：D．
7. 若，则与的比值为（ ）
A. 3B. C. 5D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则，即可求解．
【详解】解：∵
∴,
∴与的比值为，
故选：A．
8. 括号内应填( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】逆用平方差公式即可求解．
【详解】∵，
∴应填：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．
9. 如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用两种方法正确的表示出阴影部分的面积，再根据图形阴影部分面积的关系，即可直观地得到一个关于a、b的恒等式．
【详解】解：方法一：阴影部分的面积为：，
方法二：阴影部分的面积为：，
所以根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是用两种方法正确的表示出阴影部分的面积．
10. 若，则的值为（ ）
A. 1B. C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】题目主要考查多项式的乘法及求代数式的值，根据多项式乘以多项式展开得出，的值，然后代入求解即可．
【详解】解：，
∴，，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11. 华为麒麟芯片采用了最新的米的工艺制程，将数用科学记数法表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000000007的左边起第一个不为零的数字7前面的0有9个，
所以0.000000007=7×10-9．
故答案为：7×10-9．
【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
13. 若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先根据多项式乘以多项式展开，将代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
14. 若10m＝5，10n＝4，则102m+n﹣1＝_____．
【答案】10
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案．
【详解】解：∵10m=5，10n=4，
∴
=25×4÷10
=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
三、解答题（15题32分，16题6分，17题6分，共44分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
15. 计算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘法，乘法公式；
（1）根据单项式乘以单项式进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以单项式进行计算即可求解；
（3）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解；
（4）根据单项式乘以多项式，完全平方公式进行计算即可求解；
（5）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．
（6）根据单项式乘以多项式，完全平方公式进行计算即可求解；
（7）根据平方差公式进行计算即可求解；
（8）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式
；
小问3详解】
解：原式；
【小问4详解】
解：原式
；
小问5详解】
解：原式
；
【小问6详解】
解：原式
；
【小问7详解】
解：原式
；
【小问8详解】
解：原式
16. 已知a＋b＝6，ab＝3，求a2＋b2和(a－b)2的值．
【答案】a2＋b2＝30，(a－b)2＝24
【解析】
【分析】根据完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2变形求解．对式子a+b=6两边平方，然后整理即可求解．
【详解】解：a2＋b2=(a+b)2−2ab=36-6=30；
(a－b)2=(a+b)2−4ab=36-12=24
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式结构以及公式的变形是解题的关键．
17. 如图，正方形的边长为，正方形的边长为．
（1）请用含，的代数式，表示图中阴影部分的面积；
（2）已知，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用，完全平方公式的变形求值；
（1）根据割补法，结合图形列式，代入数值进行计算即可求解；
（2）根据，将式子的值代入，即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
由①可得
当，时，
B卷（共50分）
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
18. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式计算即可．
【详解】原式，
故答案为：．
19. 计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+=__．
【答案】．
【解析】
【分析】根据题意把多项式（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+转化为（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+=（532﹣1）+的形式，然后再利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，
=（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，
=（532﹣1）+，
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查平方差公式的运用，根据题意添加（5﹣1）项构造成平方差公式的形式是解题的关键，注意要连续多次运用公式．
20. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了代数式的求值、完全平方公式，熟练运用完全平方公式与“整体代入”的思想是解答此题的关键．由已知可得，然后将所求代数式利用完全平方公式变形为，再将已知整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
故答案为：．
21. 已知关于的二次三项式与的积不含项，一次项系数为1，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，由题意列出算式，利用多项式乘以多项式法则计算，合并后令二次项系数为，一次项系数为1，即可求出与的值．
【详解】解：
∵积不含的项，一次项系数为1，
∴，
∴解得：．
∴
故答案为：．
22. 已知为正数，为的小数部分，且，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了完全平方公式的应用；利用已知结合完全平方公式得出的取值范围，进而求出的值，即可得出答案．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，，，
又∵，
∴，
故答案为：．
六、解答题（23题10分，24题10分，25题10分，共30分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
23. 小明用铁丝围成了如图所示的长方形甲，再把该铁丝围成了如图所示的长方形乙，它们的边长如图所示，面积分别是，．

（1）求长方形甲的面积与长方形乙的面积的差；
（2）若把该铁丝围成一个正方形，该正方形的面积为，已知，求．
【答案】（1）3 （2）10
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用、一元一次方程的应用，根据铁丝长度不变列出方程是解题的关键．
（1）设乙长方形的长为，根据铁丝长度不变列出方程求出乙长方形的长，分别求出甲，乙长方形的面积，求差即可；
（2）设正方形的边长为，根据铁丝长度不变列出方程求出正方形的边长，得到，根据，得到，整体代入到中求值即可．
【小问1详解】
解：设乙长方形的长为，
，
解得：，
，
，
；
【小问2详解】
解：设正方形边长为，
，
，
，
，
，
，
．
24. 我们知道，对于一个图形，通过不同方法计算图形面积可以得到一个数学等式．例如：通过不同方法计算图1所示的正方形的面积，可得等式，理由如下：
又
根据上述材料，解答下列问题：
（1）写出根据图2可得到的数学等式：______；
（2）已知，利用（1）中所得等式，求的值；
（3）利用材料所给方法，画图并根据图形说明等式成立．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式的应用；
（1）大正方形的面积等于9个长方形的面积和；；
（2）将（1）式子变形，代入已知条件，即可求解；
（3）材料所给方法，画图并根据图形用两种方法求得图形的面积即可求解．
【小问1详解】
大正方形的面积为，
9个长方形的面积和为，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，
大长方形的面积为，
6个长方形的面积和为，
∴．
25. 阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】
【归纳】；
【应用】计算
解：令，，
则
结合上述材料，完成下列问题：
（1）证明等式：；
（2）应用（1）中所证明等式，计算；
（3）若多项式，满足，，用一个含，的式子表示出，之间的数量关系．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
分析】本题考查了数字类规律探究；
（1）观察等式找到规律，根据规律即可求解；
（2）根据（1）的结论，令，，代入，即可求解；
（3）分别表示出，观察式子，即可求解．
【小问1详解】
解：
……
∴
【小问2详解】
计算
解：令，，
则
【小问3详解】
解：∵
∴
当时，
∵
∴
当时，
∵，
∴
∴