2024年陕西省中考数学模拟试卷38

这是一份2024年陕西省中考数学模拟试卷38，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 比-3大5的数是（ ）
A.-15 B。-8 C。2 D。8
2.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1=30°，则∠2的度数为
A.10° B。15°
C。20° D。30°
3.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AD∥BCB．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝DCD．AC⊥BD
5.如图，在△ABC中，CA = CB = 4，cs C =，则 sinB的值为（ ）
A．B．
C．D．
6.在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
7.量角器测角度时摆放的位置如图所示，在中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（ ）
A．60°B．70°
C．80°D．85°
8.若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.计算的结果为 ．
如图表示互为相反数的两个点是 。
11.如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD= ．
（11题图） （12题表）
12.小红在练习仰卧起坐，本月日至日的成绩与日期具有如上表关系：小红的仰卧起坐成绩y与日期之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 ．
如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为 。
三、解答题（共 13 小题，计 81 分．解答应写出过程）
14. 计算：
15.化简：，
16.解不等式组：
17.如图，点M和点N在∠AOB内部．请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
18.如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．
19.如图1，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段，线段在网格线上，
画出线段关于线段所在直线对称的线段 (点分别为的对应点)；
将线段，绕点，顺时针旋转得到线段，画出线段．
20.某市少年宫为小学生开设了绘画、音乐、舞蹈和跆拳道四类兴趣班，为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制了一幅不完整的统计表
请你根据统计表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ ，b＝ ；
（2）王姝和李要选择参加兴趣班，若他们每人从A、B、C、D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一类的概率．
21.2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70）
22.在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）甲车行驶速度是___________千米1时，B，C两地的路程为___________千米；
（2）求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．
23.为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中．现有A、B两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿．检察人员从两家分别抽取100个鸡腿，然后再从中随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：克）如表：
（1）根据表中数据，求A加工厂的10个鸡腿质量的中位数、众数、平均数；
（2）估计B加工厂这100个鸡腿中，质量为75克的鸡腿有多少个？
（3）根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？
24.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠CBD；
（2）若BC＝4，CD＝4，求⊙O的半径。
如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

26.【问题】
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．
【探究发现】
（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
【数学思考】
（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程；
【拓展引申】
（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM＝BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若AC＝BC＝4，请你直接写出BQ的最大值．
2024 年陕西省中考数学模拟试卷
一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 比-3大5的数是（ ）
A.-15 B。-8 C。2 D。8
【答案】C
【解析】列式子计算：-3+5=2，故选C
【知识点】有理数加法
2.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1=30°，则∠2的度数为
A.10° B。15° C。20° D。30°
【答案】B
【解析】由平行线的性质可得∠1的内错角也为30°，再用45°减去30°即得∠2度数，故选B.
【知识点】平行线的性质；等腰直角三角形的性质
3.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A选项和不是同类项不能合并，错误；B选项正确；C选项，错误；D选项错误
【知识点】幂的运算
4.四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AD∥BCB．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝DCD．AC⊥BD
【答案】B
【解析】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；故选：B．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
5.如图，在△ABC中，CA = CB = 4，cs C =，则 sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路分析】过点A作AD⊥BC于点D，先利用csC 求CD，再借助勾股定理求AD、AB，最后求sinB．
【解题过程】过点A作AD⊥BC于点D，∵csC=，AC=4，∴CD=1，∴BD=3，AD=，在Rt△ABD中，AB=，∴sinB=，故选D.
【知识点】锐角三角函数；勾股定理
6.在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】根据方程或方程组得到A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，解得，，
∴A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，∴△AOB的面积＝3×2＝3，故选：B．
【点睛】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．
7.量角器测角度时摆放的位置如图所示，在中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（ ）
A．60°B．70°C．80°D．85°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，∴∠A＝∠B＝(180°﹣140°)＝20°，
∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出，再求出抛物线的对称轴，利用二次根式的对称性，即可得到答案．
【解析】解：根据题意，把点、、代入，则
，消去c，则得到，解得：，
∴抛物线的对称轴为：，
∵与对称轴的距离最近；与对称轴的距离最远；抛物线开口向上，∴；故选：D．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出抛物线的对称轴进行解题．
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9.计算的结果为________．
【答案】
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算即可求得答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
如图表示互为相反数的两个点是 。
【答案】点A与点D
【分析】根据一个数的相反数定义求解即可．
【解析】解：在-3，-1,2,3中，3和-3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．故为：点A与点D．
【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
11.如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．
【答案】
【解析】在Rt△ABC中，AB==5，由射影定理得，AC2=AD·AB，∴AD==，故答案为：．
12.小红在练习仰卧起坐，本月日至日的成绩与日期具有如下关系：
小红的仰卧起坐成绩y与日期之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________．
【答案】y=3x+37．
【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．
【解析】解：设该函数表达式为y=kx+b，根据题意得：，解得，
∴该函数表达式为y=3x+37．故答案为：y=3x+37．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．
如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为 。
【答案】
【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，，
，，
，，，
，，
又，，，
，，，，同理可证，，
，，，，故为：
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键．
三、解答题（共 13 小题，计 81 分．解答应写出过程）
14. 计算：
【答案】
【思路分析】利用零指数幂，负整数指数幂立方根，平方根可求解.
【解题过程】
解：=1-4+3
=
【知识点】零次幂、负整数指数幂、二次方根、三次方根
15.化简：，
【答案】
【思路分析】根据分式的混合运算法则，先算括号里面的，先通分，化为同分母分式相加减，然后在和后面的分式约分即可.
【解题过程】
解：原式=
=
=
=
【知识点】分式的混合运算
16.解不等式组：
【答案】1≤x＜3
【分析】分别求出两个不等式的解，再取公共部分，即可求解．
【详解】
，
又①得：x≥1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解为：1≤x＜3．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程以及一元一次不等式组，掌握直接开平方法以及解不等式组的基本步骤，是解题的关键．
17.如图，点M和点N在∠AOB内部．请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
【思路分析】∠AOB的角平分线上的点到角两边的距离相等，到点M和N的距离相等的点在线段MN的垂直平分线上；
【解题过程】

画出∠AOB的角平分线，画出线段MN的垂直平分线，两者的交点就得到P点．
【知识点】角平分线的判定和画法；垂直平分线的判定和画法；
18.如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．
【答案】详见解析
【分析】根据ABBD，DEBD，ACCE，可以得到， ，，从而有，可以验证和全等，从而得到AB=CD．
【详解】证明：∵，， ∴
∴， ∴
在和中∴≌故．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角之间的关系是解题的关键．
19.如图1，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段，线段在网格线上，
画出线段关于线段所在直线对称的线段 (点分别为的对应点)；
将线段，绕点，顺时针旋转得到线段，画出线段．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）先找出A，B两点关于MN对称的点A1，B1，然后连接A1B1即可；
（2）根据旋转的定义作图可得线段B1A2．
【详解】（1）如图所示，即为所作；
（2）如图所示，即为所作．
【点睛】本题主要考查作图-旋转与轴对称，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称的定义与性质．
20.某市少年宫为小学生开设了绘画、音乐、舞蹈和跆拳道四类兴趣班，为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制了一幅不完整的统计表
请你根据统计表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ ，b＝ ；
（2）王姝和李要选择参加兴趣班，若他们每人从A、B、C、D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一类的概率．
【思路分析】（1）由统计表知，喜欢B类的频数是18，对应的频率是0.30，所以a＝18÷0.30＝60，b＝15÷60＝0.25．
【解题过程】解：（1）a＝60，b＝0.25；（2）见下表
（3）如下表：
由上表得，共有16种等可能的情况，其中两人恰好选中同一类的情况有4种，所以两人恰好选中同一类的概率是．
【知识点】统计表；概率
21.2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【思路分析】作CE⊥AB于E，根据矩形的性质得到CE＝AB＝20，CD＝BE，根据正切的定义求出AE，结合图形计算即可．
【解题过程】解：作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形，
∴CE＝AB＝20，CD＝BE，
在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，
∴AB＝DB＝20，
在Rt△ACE中，tan∠ACE=AECE，
∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14，
∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6，
答：起点拱门CD的高度约为6米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
22.在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）甲车行驶速度是___________千米1时，B，C两地的路程为___________千米；
（2）求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．
【答案】（1）60；360；（2）；（3）小时或小时或5小时或6小时或小时.
【分析】（1）根据F点坐标可求出甲车速度，根据M纵坐标可得B，C两地之间距离；
（2）根据甲车比乙车晚1.5小时到达C地得出点E坐标，再求出点N坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）根据运动过程，分五种情况讨论：①在乙车到B地之前时，②当乙在B地停留时，③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，④当乙车追上甲车并超过15km时，⑤当乙车回到C地时，甲车距离C地15千米时.
【解析】解：（1）由题意可得：F（10，600），
∴甲车的行驶速度是：600÷10=60千米/时，M的纵坐标为360，
∴B，C两地之间的距离为360千米，故答案为：60；360；
（2）∵甲车比乙车晚1.5小时到达C地，∴点E（8.5，0），
乙的速度为360×2÷（10-0.5-1.5）=90千米/小时，则360÷90=4，∴M（4，360），N（4.5，360），
设NE表达式为y=kx+b，将N和E代入，，解得：，
∴y（千米）与x（小时）之间的函数关系式为：；
（3）设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是15千米，
①在乙车到B地之前时，600-S甲-S乙=15，即600-60x-90x=15，解得：x=；
②∵（600-360）÷60=4小时，360÷90=4小时，∴甲乙同时到达B地，
当乙在B地停留时，15÷60+4=小时；
③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，15÷（90-60）+4.5=5小时；
④当乙车追上甲车并超过15km时，（30+15）÷（90-60）+4.5=6小时；
⑤当乙车已经回到C地时，甲车距离C地15千米时，（600-15）÷60=小时.
综上：行驶中的两车之间的路程是15千米时，出发时间为小时或小时或5小时或6小时或小时.
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用—行程问题，解题的关键是结合函数图像分析运动过程，理解各个节点的实际意义.
23.为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中．现有A、B两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿．检察人员从两家分别抽取100个鸡腿，然后再从中随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：克）如表：
（1）根据表中数据，求A加工厂的10个鸡腿质量的中位数、众数、平均数；
（2）估计B加工厂这100个鸡腿中，质量为75克的鸡腿有多少个？
（3）根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？
【答案】（1）75；75；75 （2）30个 （3）B加工厂
【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的计算公式分别进行解答即可；
（2）用总数乘以质量为75克的鸡腿所占的百分比即可；
（3）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
【详解】解：（1）把这些数从小到大排列，最中间的数是第5和第6个数的平均数，
则中位数是（克；因为75出现了4次，出现的次数最多，所以众数是75克；
平均数是：（克；
（2）根据题意得：（个，答：质量为75克的鸡腿有30个；
（3）选加工厂的鸡腿．
、平均值一样，的方差比的方差小，更稳定，选加工厂的鸡腿．
【点睛】本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉计算公式和意义是解题的关键．
24.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠CBD；
（2）若BC＝4，CD＝4，求⊙O的半径。
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得OC⊥MN，即可证得OC∥BD，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠BCO＝∠ABC，即可证得结论；
（2）连接AC，由勾股定理求得BD，然后通过证得△ABC∽△CBD，求得直径AB，从而求得半径．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵MN为⊙O的切线，
∴OC⊥MN，
∵BD⊥MN，
∴OC∥BD，
∴∠CBD＝∠BCO．
又∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC．；
（2）解：连接AC，
在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝4，
∴BD＝＝8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝，即＝，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径是5，
故答案为5．
25.如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）①，②存在，
【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；
（2）①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；
②分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．
【解析】解：（1）把代入中，
得 解得∴．
（2）设直线的表达式为，把代入．
得，解这个方程组，得 ∴．
∵点是x轴上的一动点，且轴．∴．
∴．
∵，∴此函数有最大值．又∵点P在线段上运动，且
∴当时，有最大值．
②∵点是x轴上的一动点，且轴．∴．
∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，
∵C（0，-3）∴MC= ∴整理得，
∵，∴，解得，，
∴当时，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=∴Q(0，)；
当m=时，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=∴Q(0，)；
(ii)若，如图，则有整理得，
∵，∴，解得，，
当m=-1时，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），
当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏。
26.【问题】
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．
【探究发现】
（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
【数学思考】
（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程；
【拓展引申】
（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM＝BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若AC＝BC＝4，请你直接写出BQ的最大值．
【思路分析】【探究发现】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA＝45°，由平行线的性质可得∠CBA＝∠DCB＝45°，即可证DB＝DP；
【数学思考】
（2）通过证明△CDP≌△GDB，可得DP＝DB
【拓展引申】
（3）过点M作MH⊥MN交AC于点H，通过证明△AMH≌△BNQ，可得AH＝BQ，通过证明△ACM∽△BMQ，可得ACBM=AMBQ，可得BQ=−(AM−22)24+2，由二次函数的性质可求BQ的最大值．
【解题过程】解：证明：【探究发现】
（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∵CD∥AB
∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD
∴∠DCB＝∠DBC＝45°
∴DB＝DC
即DB＝DP
【数学思考】
（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°
∴∠DCG＝∠DGC＝45°
∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，
∵∠BDP＝∠CDG＝90°
∴∠CDP＝∠BDG，且DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，
∴△CDP≌△GDB（ASA）
∴BD＝DP
【拓展引申】
（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，
∵MH⊥MN，
∴∠AMH+∠NMB＝90°
∵CD∥AB，∠CDB＝90°
∴∠DBM＝90°
∴∠NMB+∠MNB＝90°
∴∠HMA＝∠MNB，且AM＝BN，∠CAB＝∠CBN＝45°
∴△AMH≌△BNQ（ASA）
∴AH＝BQ
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB＝42，AC﹣AH＝BC﹣BQ
∴CH＝CQ
∴∠CHQ＝∠CQH＝45°＝∠CAB
∴HQ∥AB
∴∠HQM＝∠QMB
∵∠ACB＝∠HMQ＝90°
∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，
∴∠HCM＝∠HQM
∴∠HCM＝∠QMB，且∠A＝∠CBA＝45°
∴△ACM∽△BMQ
∴ACBM=AMBQ
∴442−AM=AMBQ
∴BQ=−(AM−22)24+2
∴AM＝22时，BQ有最大值为2．
【知识点】等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；二次函数的性质
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78
73
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DC
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74
74
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75