2023年黑龙江省龙东地区中考数学试卷

这是一份2023年黑龙江省龙东地区中考数学试卷，共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
2．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
3．（3分）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是
A．4B．5C．6D．7
4．（3分）已知一组数据1，0，，5，，2，的平均数是1，则这组数据的众数是
A．B．5C．和5D．1和3
5．（3分）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是
A．B．C．或D．
6．（3分）已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是
A．B．C．且D．且
7．（3分）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购，，三种图书，种每本30元，种每本25元，种每本20元，其中种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有
A．5种B．6种C．7种D．8种
8．（3分）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点．若，则的值是
A．B．C．D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标中，矩形的边．，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是
A．B．C．，D．，
10．（3分）如图，在正方形中，点，分别是，上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到，交于点，对角线交于点，连接，，，，下列结论正确的是
①；②；③若，则四边形是菱形；④当点运动到的中点，；⑤．
A．①②③④⑤B．①②③⑤C．①②③D．①②⑤
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为 ．
12．（3分）在函数中，自变量的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在矩形中，对角线，相交于点，试添加一个条件 ，使得矩形为正方形．
14．（3分）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是 ．
15．（3分）关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是 ．
16．（3分）如图，是的直径，切于点，交于点，连接，若，则 ．
17．（3分）已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是 ．
18．（3分）如图，在中，，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值是 ．
19．（3分）矩形中，，，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，若是直角三角形，则点到直线的距离是 ．
20．（3分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在直线上，顶点在轴上，垂直轴，且，顶点在直线上，；过点作直线的垂线，垂足为，交轴于，过点作垂直轴，交于点，连接，得到第一个△；过点作直线的垂线，垂足为，交轴于，过点作垂直轴，交于点，连接，得到第二个△；如此下去，，则
△的面积是 ．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：，其中．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．，．
（1）将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△，请画出△；
（2）请画出关于轴对称的△；
（3）将△绕着原点顺时针旋转，得到△，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留．
23．（6分）如图，抛物线与轴交于，两点．交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（7分）某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按：优秀，：良好，：合格，：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）这次学校抽查的学生人数是 ；
（2）将条形图补充完整；
（3）扇形统计图中组对应的扇形圆心角度数是 ；
（4）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．
25．（8分）已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中的值是 ；
（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式；
（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距．
26．（8分）如图①，和是等边三角形，连接，点，，分别是，和的中点，连接，．易证：．
若和都是等腰直角三角形，且，如图②；若和都是等腰三角形，且，如图③；其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
27．（10分）2023年5月30日上午9点31分，神州十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进，两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫多10元，用500元购进款和用400元购进款的文化衫的数量相同．
（1）求款文化衫和款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求值．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作轴的垂线，交对角线于点，直线分别交轴和轴于点和点，动点从点以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．两点同时出发，设运动时间为秒．
（1）求直线的解析式；
（2）连接，求的面积与运动时间的函数关系式；
（3）点在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
2023年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【分析】分别对四个选项进行分析．
【解答】解：，所以错误；
，所以错误；
，所以正确；
，所以错误．
故选：．
2．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可得到答案．
【解答】解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
、，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故、不符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意．
故选：．
3．（3分）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是
A．4B．5C．6D．7
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：从俯视图可得最底层有4个小正方体，由左视图可得第二层最少有1个小正方体，最多有3个小正方体，
所以组成该几何体所需小正方体的个数最少是5个．
故选：．
4．（3分）已知一组数据1，0，，5，，2，的平均数是1，则这组数据的众数是
A．B．5C．和5D．1和3
【分析】先根据算术平均数的定义列出关于的方程，解之求出的值，从而还原这组数据，再利用众数的概念求解可得．
【解答】解：数据1，0，，5，，2，的平均数是1，
，
解得，
则这组数据为1，0，，5，5，2，，
这组数据的众数为和5，
故选：．
5．（3分）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是
A．B．C．或D．
【分析】设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
小路的宽是．
故选：．
6．（3分）已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是
A．B．C．且D．且
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程的解是非负数，得到，且，
解得：且，
故选：．
7．（3分）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购，，三种图书，种每本30元，种每本25元，种每本20元，其中种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有
A．5种B．6种C．7种D．8种
【分析】当购买5本种图书时，设购买本种图书，本种图书，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，可得出当购买5本种图书时，有3种采购方案；当购买6本种图书时，设购买本种图书，本种图书，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，可得出当购买6本种图书时，有3种采购方案，进而可得出此次采购的方案有6种．
【解答】解：当购买5本种图书时，设购买本种图书，本种图书，
根据题意得：，
，
又，均为正整数，
或或，
当购买5本种图书时，有3种采购方案；
当购买6本种图书时，设购买本种图书，本种图书，
根据题意得：，
，
又，均为正整数，
或或，
当购买6本种图书时，有3种采购方案．
此次采购的方案有（种．
故选：．
8．（3分）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点．若，则的值是
A．B．C．D．
【分析】设出的坐标，通过对称性求出点的坐标，进而求出的坐标，即可用表示出线段和的长度，结合已知面积即可列出方程求出．
【解答】解：设与轴的交点为，，则，，由题意知，
，即是线段的中点，过作于点，
，，
，轴，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
9．（3分）如图，在平面直角坐标中，矩形的边．，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是
A．B．C．，D．，
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△，求出，连接，设与交于，然后求出，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：矩形的边．，
，，，
，
，
，
△，
，
将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，
，，
，
（负值舍去），
，
连接，设与交于，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
由折叠知，，，
，
，
，
解得，
，，
故选：．
10．（3分）如图，在正方形中，点，分别是，上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到，交于点，对角线交于点，连接，，，，下列结论正确的是
①；②；③若，则四边形是菱形；④当点运动到的中点，；⑤．
A．①②③④⑤B．①②③⑤C．①②③D．①②⑤
【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，对每个选项的结论逐一判断，即可解答．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
故①正确；
将沿翻折，得到，
，
，
．
故②正确；
当时，，
，
，即，，在同一直线上，
，
，
由翻折的性质可得：，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，故③正确；
当点运动到的中点，如图，
设正方形的边长为，则，
在中，
，
，，
，
，
．
，，
，
，
，，
，．
，
在中，
，
故④错误；
，
，
，．
，
根据翻折的性质可得：，
，，
，
故⑤正确．
综上分析可知，正确的是①②③⑤．
故选：．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（3分）据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为 ．
【分析】科学记数法的表示形式为“”的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数．据此解答即可．
【解答】解：5699万．
故答案为：．
12．（3分）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【分析】因为二次根式的被开方数要为非负数，即，解此不等式即可．
【解答】解：根据题意得：，解得：．
故答案为：．
13．（3分）如图，在矩形中，对角线，相交于点，试添加一个条件 （答案不唯一） ，使得矩形为正方形．
【分析】根据正方形的判定方法添加即可．
【解答】解：．
理由：四边形是矩形，
又，
四边形是正方形．
或四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
故答案为：（答案不唯一）．
14．（3分）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是 ．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中恰好是一红一白的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好是一红一白的结果有12种，
恰好是一红一白的概率是，
故答案为：．
15．（3分）关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是 ．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得的取值范围．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有3个整数解，
不等式组的3个整数解为、、，
，
．
故答案为：．
16．（3分）如图，是的直径，切于点，交于点，连接，若，则 34 ．
【分析】根据切线的性质可得，然后利用圆周角定理可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
【解答】解：切于点，
，
，
，
，
故答案为：34．
17．（3分）已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是 12 ．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到，解得，然后利用勾股定理计算圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
所以圆锥的高．
故答案为：12．
18．（3分）如图，在中，，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值是 ．
【分析】线段为定值，点到距离最大时，的面积最大，画出图形，即可求出答案．
【解答】解：线段为定值，
点到的距离最大时，的面积有最大值．
在中，，是的中点，
，，，
，
过点作交的延长线于点，
，
点的在以为圆心，长为半径的圆上，
，
点到的距离最大值为，
，
故答案为：．
19．（3分）矩形中，，，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，若是直角三角形，则点到直线的距离是 6或或 ．
【分析】由折叠的性质可得点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，延长交圆的另一侧于点，则此时是直角三角形，易得点到直线的距离；当过点的直线与圆相切于点时，是直角三角形，分两种情况讨论即可求解．
【解答】解：由题意矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，
可知点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，
如图1，延长交的另一侧于点，则此时是直角三角形，
点到直线的距离为的长度，即；
当过点的直线与圆相切于点时，是直角三角形，分两种情况：
①如图2，过点作交于点，交于点，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，，，
由勾股定理可得，
，
，
到直线的距离；
②如图3，过点作交于点，交于点，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，，，
由勾股定理可得，
，
，
到直线的距离；
综上，点到直线的距离是6或或，
故答案为：6或或．
20．（3分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在直线上，顶点在轴上，垂直轴，且，顶点在直线上，；过点作直线的垂线，垂足为，交轴于，过点作垂直轴，交于点，连接，得到第一个△；过点作直线的垂线，垂足为，交轴于，过点作垂直轴，交于点，连接，得到第二个△；如此下去，，则
△的面积是 ．
【分析】解直角三角形得出，，求出，证明△，△，得出，，总结得出，从而得出．
【解答】解：，
，，
轴，
点的横坐标为，
直线，
点的纵坐标为，
，
，
直线，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，，
轴，轴，
，，
轴，轴，轴，
，
，，
，
，，
，
，
△，
同理△，
，，
，
．
故答案为：．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：，其中．
【分析】利用分式的运算法则先化简分式，再代入特殊角的函数值确定，最后利用二次根式的性质得结论．
【解答】解：原式
．
当时，
原式
．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．，．
（1）将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△，请画出△；
（2）请画出关于轴对称的△；
（3）将△绕着原点顺时针旋转，得到△，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留．
【分析】（1）根据平移的性质得出对应点的位置，画出平移后的图形即可；
（2）利用轴对称的性质得出对应点的位置，画出图形即可；
（3）根据题意画出旋转后的图形，先求得：，，，再利用线段在旋转过程中扫过的面积，即可求得答案．
【解答】解：（1）如图所示，△即为所求；
（2）如图所示，△即为所求；
（3）将△绕着原点顺时针旋转，得到△，如图，连接交于，连接交于，
，，，
，，，
，
由旋转得：，，，，，
△△，
，
线段在旋转过程中扫过的面积．
23．（6分）如图，抛物线与轴交于，两点．交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把，两点，代入抛物线，解方程组即可得到抛物线的解析式；
（2）分别求得、、的坐标，与的解析式；作轴交于，设点的横坐标为，分别求得点坐标为与点坐标为，；然后利用列方程解答即可．
【解答】解：（1）由抛物线与轴交于，两点，代入抛物线得：
，
解得：；
抛物线的解析式为；
（2）存在，理由如下：
，，
，
抛物线与轴交于点，
令，则，
点坐标为，，
，
；
作轴交于，如图：
设的解析式为：，将、代入得：
，
解得：，
的解析式为：；
设点的横坐标为，则，
则的横坐标为：，解得：，
，；
，
，
解得：或3；
点纵坐标为：；或（3）（3），
点的坐标为或．
24．（7分）某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按：优秀，：良好，：合格，：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）这次学校抽查的学生人数是 40人 ；
（2）将条形图补充完整；
（3）扇形统计图中组对应的扇形圆心角度数是 ；
（4）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．
【分析】（1）用等级的人数除以等级的人数所占的百分比即可得到总人数；
（2）用（1）的结论分别减去其它三个等级的人数可得等级的人数，进而补全条形图；
（3）用乘组所占比例可得答案；
（4）全校2200人乘样本中不合格的人数所占比例即可得到结论．
【解答】解：（1）这次学校抽查的学生人数是：（人，
故答案为：40人；
（2）等级的人数为：（人，
补全条形图如下：
（3），
故答案为：90；
（4）（人，
答：估计该校不合格的人数约220人．
25．（8分）已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中的值是 120 ；
（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式；
（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距．
【分析】（1）由图象知，，设直线的解析式为，把代入，解方程即可得到结论；
（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，可得此时出租车距离乙地为，把代入求得货车装完货物时，，，根据货车继续出发后与出租车相遇，可得出租车的速度货车的速度），根据直线的解析式为，可得出租车的速度为，于是得到相遇时，货车的速度为故可设直线的解析式为，将代入求得，于是得到直线的解析式为，故货车装完货物后驶往甲地的过程中，于是得到结论；
（3）把代入，得到，求得，根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得，设在出租车返回的行驶过程中，货车出发小时，与出租车相距，此时货车距离乙地为，出租车距离乙地为，①出租车和货车第二次相遇前，相距时，②出租车和货车第二次相遇后，相距时，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）由图象知，，
设直线的解析式为，把代入得，，
解得，
直线的解析式为；把代入，得，
故答案为：120；
（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，可得此时出租车距离乙地为，
出租车距离甲地为，
把代入得，，
解得，
货车装完货物时，，，
根据货车继续出发后与出租车相遇，
可得出租车的速度货车的速度），
根据直线的解析式为，
可得出租车的速度为，
相遇时，货车的速度为，
故可设直线的解析式为，
将代入，可得，
解得，
直线的解析式为，
故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式为，
（3）把代入，可得，
解得，
，
，
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得，
，
出租车返回后的速度为，
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发小时，与出租车相距，
此时货车距离乙地为，出租车距离乙地为，
①出租车和货车第二次相遇前，相距时，可得，
解得；
②出租车和货车第二次相遇后，相距时，可得，
解得，
故在出租车返回的行驶过程中，货车出发或与出租车相距．
26．（8分）如图①，和是等边三角形，连接，点，，分别是，和的中点，连接，．易证：．
若和都是等腰直角三角形，且，如图②；若和都是等腰三角形，且，如图③；其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
【分析】如图②；连接，，，根据等腰直角三角形的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，于是得到；
如图③；连接，，，根据等腰三角形的性质得到，，，，根据相似三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，于是得到．
【解答】解：如图②；，
证明：连接，，，
和都是等腰直角三角形，且，，分别是，的中点，
，，，
，
，，
，
，
，
点，分别是，的中点，
，
；
如图③；，
证明：连接，，，
和都是等腰三角形，且，
，
点，分别是，的中点，
，，，
，，
，
，
，
点，分别是，的中点，
，
；
27．（10分）2023年5月30日上午9点31分，神州十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进，两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫多10元，用500元购进款和用400元购进款的文化衫的数量相同．
（1）求款文化衫和款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求值．
【分析】（1）设款文化衫每件元，则款文化衫每件元，利用数量总价单价，结合用500元购进款和用400元购进款的文化衫的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出款文化衫的单价，再将其代入中，可求出款文化衫的单价；
（2）设购买件款文化衫，则购买件款文化衫，利用总价单价数量，结合总价不多于14800元且不少于14750元，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，由（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同（即的值与值无关），利用一次函数的性质，可得出，解之即可得出的值．
【解答】解：（1）设款文化衫每件元，则款文化衫每件元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：款文化衫每件50元，款文化衫每件40元；
（2）设购买件款文化衫，则购买件款文化衫，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为275，276，277，278，279，280，
共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为元，则，
（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
的值与值无关，
，
．
答：的值为5．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作轴的垂线，交对角线于点，直线分别交轴和轴于点和点，动点从点以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．两点同时出发，设运动时间为秒．
（1）求直线的解析式；
（2）连接，求的面积与运动时间的函数关系式；
（3）点在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
【分析】（1）过点作于，解方程可得，然后解直角三角形求出、和的长，得到点、的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；
（2）首先证明是等边三角形，求出，然后分情况讨论：①当点在上，即时，过点作于，②当点在上，即时，过点作于，分别解直角三角形求出和，再利用三角形面积公式列式即可；
（3）分情况讨论：①当是直角边时，则，过点作于，首先求出，然后解直角三角形求出和，再利用平移的性质得出点的坐标；②当是对角线时，则，过点作于，证明，可得，然后解直角三角形求出，再利用平移的性质得出点的坐标．
【解答】（1）解：解方程得：，，
，
四边形是菱形，，
，，
，
，，
过点作于，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
代入，，，得：，
解得：
，
直线的解析式为；
（2）解：由（1）知在中，，，
，，
直线与轴交于点，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
①当点在上，即 时，
由题意得：，，
过点作于，
则，
；
②当点在上，即 时
由题意得：，，
过点作于，
则，
；
综上，；
（3）解：存在，分情况讨论：
①如图，当是直角边时，则，过点作于，
，，
，，
，
，
，，
将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，
将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，
，
，；
②如图，当是对角线时，则，过点作于，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
将点向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点，
将点向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点，
，
，；
存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形，点的坐标是 或，．