2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷

这是一份2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）的相反数是
A．B．9C．D．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
3．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
4．（3分）如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是
A．B．C．D．
5．（3分）如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是
A．2B．3C．4D．5
6．（3分）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是
A．B．且C．D．且
7．（3分）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是
A．B．C．D．
8．（3分）如图，在正方形中，，动点，分别从点，同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点
运动的路程为，的面积为，下列图象中能反映与之间函数关系的是
A．B．
C．D．
9．（3分）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有
A．5种B．6种C．7种D．8种
10．（3分）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③；
④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，，均在该二次函数图象上，则．
其中正确结论的个数是
A．4B．3C．2D．1
二、填空题。（每小题3分，满分21分）
11．（3分）中国经济韧性强、潜力大、活力足．据文化和旅游部统计，2023年春节假期全国国内旅游出游达到308000000人次，同比增长了．将308000000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件： ，使四边形成为菱形．
13．（3分）在函数 中，自变量的取值范围是 ．
14．（3分）若圆锥的底面半径长，母线长，则该圆锥的侧面积为 ．（结果保留
15．（3分）如图，点在反比例函数图象的一支上，点在反比例函数图象的一支上，点，在轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数的值为 ．
16．（3分）矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为 ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，连接，过点作于点，过点作 轴于点；过点作于点，过点作 轴于点；过点作于点，过点作 轴于点；；按照如此规律操作下去，则点的坐标为 ．
三、解答题。（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（1）计算：；
（2）分解因式：．
19．（5分）解方程：．
20．（8分）为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：组“”； 组“ “；组“ “；组“ “；组“ “．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是 ，本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？
21．（10分）如图，在中，，平分交于点，点是斜边上一点，以为直径的经过点，交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．（结果保留
22．（10分）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1），两地之间的距离是 千米， ；
（2）求线段所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
23．（12分）综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系： ， ；
（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系： ；
（4）实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则 ．
24．（14分）综合与探究：
如图，抛物线上的点，坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，点为轴负半轴上一点，且，连接，．
（1）求点的坐标及抛物线的解析式；
（2）点是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点的坐标；
（3）点是线段（包含点，上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，若以点，，为顶点的三角形与相似，请直接写出点的坐标；
（4）将抛物线沿轴的负方向平移得到新抛物线，点的对应点为点，点的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，的最小值为 ．
2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．（3分）的相反数是
A．B．9C．D．
【分析】符号不同，但绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．
【解答】解：的相反数是9，
故选：．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形定义和轴对称图形的定义对几个图形进行分析．
【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意；
、是轴对称图形，是中心对称图形，所以符合题意．
故选：．
3．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】利用合并同类项法则，幂的乘方，单项式乘单项式法则将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：．，
则不符合题意；
．，
则不符合题意；
．，
则符合题意；
．，
则不符合题意；
故选：．
4．（3分）如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】依据，即可得到，再根据，即可得出从．
【解答】解：如图，，
，
又，
，
故选：．
5．（3分）如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是
A．2B．3C．4D．5
【分析】先得出从左面看得到的图形，然后根据面积公式即可求出左视图的面积．
【解答】解：从左边看，共有2层，底层有3个正方形，上层中间有1个正方形，共4个正方形，
因为棱长为1，所以面积为4，
故选：．
6．（3分）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是
A．B．且C．D．且
【分析】解含参的分式方程，结合已知条件及分式有意义的条件求得的取值范围即可．
【解答】解：将分式方程两边同乘，去分母可得：，
移项，合并同类项得：，
原分式方程的解是负数，
，且，
解得：且，
故选：．
7．（3分）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有6种，
刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是，
故选：．
8．（3分）如图，在正方形中，，动点，分别从点，同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点
运动的路程为，的面积为，下列图象中能反映与之间函数关系的是
A．B．
C．D．
【分析】根据点的运动情况，写出每种情况和之间的函数关系式，即可确定图象．
【解答】解：时，在上，在上，依题意可知：
设，
，
；
该二次函数图象开口向上，
当时，二次函数的最小值为6；
当或4时，二次函数的最大值为8；
故选：．
9．（3分）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有
A．5种B．6种C．7种D．8种
【分析】设截成的导线根，截成的导线根，根据“长度为的导线”列出二元一次方程，求正整数解即可．
【解答】解：设截成的导线根，截成的导线根，
根据题意得，
，
，
，
是正整数，
的值为1，2，3，4，5，6，7，
即截取方案共有7种．
故选：．
10．（3分）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③；
④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，，均在该二次函数图象上，则．
其中正确结论的个数是
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据图象特征可判断①，根据对称轴可判断②，根据抛物线与轴的交点即对称轴确定抛物线与轴的另一个交点后可判断③，将方程的解看做与的交点可判断④，由点，，关于直线对称可判断⑤．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
对称轴在轴右侧，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故①正确，
，
，故②错误，
抛物线与轴的一个交点为，对称轴为，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，
，故③正确，
方程的解可看做与的交点，
，
当过抛物线顶点时，两函数只有一个交点，即方程有两个相等的实数根，故④错误，
点，，关于直线对称，
，故⑤正确．
故选：．
二、填空题。（每小题3分，满分21分）
11．（3分）中国经济韧性强、潜力大、活力足．据文化和旅游部统计，2023年春节假期全国国内旅游出游达到308000000人次，同比增长了．将308000000用科学记数法表示为 ．
【分析】本题主要根据科学记数法的定义来解答．
【解答】解：，
故答案为：．
12．（3分）如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件： 或 或 等） ，使四边形成为菱形．
【分析】根据或或或，证得四边形是平行四边形，再根据可证得四边形是菱形；根据，证得，得到，，可证得四边形是菱形．
【解答】解：当添加“”时，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
当添加：“”时，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
当添加“”时，
，，
，
，，
四边形是菱形；
当添加：“”时，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
故答案为：（或或或等．
13．（3分）在函数 中，自变量的取值范围是 且 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不能为0即可求得答案．
【解答】解：已知函数为，
则，且，
解得：且，
故答案为：且．
14．（3分）若圆锥的底面半径长，母线长，则该圆锥的侧面积为 6 ．（结果保留
【分析】解析圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积
故答案为：．
15．（3分）如图，点在反比例函数图象的一支上，点在反比例函数图象的一支上，点，在轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数的值为 ．
【分析】由正方形的面积可求，的长度，从而可求出，两点的横坐标，结合长度列出关于的方程，即可求解．
【解答】解：正方形的面积为9，
，
，，，，
，
解得．
故答案为：．
16．（3分）矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为 或 ．
【分析】分点在点右边与左边两种情况，分别画出图形，根据勾股定理，锐角三角函数即可求解．
【解答】解：设，交于点，
将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，
，，
四边形是矩形，
，
，，
又，
，
，
①当点在点的右侧时，如图所示，
，，
，
中，
，
，
，
，
，
；
当点在点的左侧时，如图所示，
，，，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，连接，过点作于点，过点作 轴于点；过点作于点，过点作 轴于点；过点作于点，过点作 轴于点；；按照如此规律操作下去，则点的坐标为 ， ．
【分析】根据题意，结合图形依次求出，， 的坐标，再根据其规律写出 的坐标即可．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，
是等腰直角三角形，，
，
△ 是等腰直角三角形，
同理可得：△，△均为等腰直角三角形，
，
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：，，，，，
由此可推出：点的坐标为，，
故答案为：，．
三、解答题。（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（1）计算：；
（2）分解因式：．
【分析】（1）根据绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
19．（5分）解方程：．
【分析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为，再利用积为0的特点求解即可．
【解答】解：，
，
或，
，．
20．（8分）为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：组“”； 组“ “；组“ “；组“ “；组“ “．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 50 ，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是 ，本次调查数据的中位数落在 组内；
（3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？
【分析】（1）根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【解答】解：（1）这次调查的样本容量是：；
组的人数为：（人，
补全条形统计图如下：
故答案为：50；
（2）组对应的圆心角的度数是：；
本次调查数据的中位数落在组，
故答案为：36；；
（3）（人，
答：估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1920人．
21．（10分）如图，在中，，平分交于点，点是斜边上一点，以为直径的经过点，交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．（结果保留
【分析】（1）连接，由，得到，由角平分线定义得到，因此推出，得到半径，即可证明问题；
（2）连接，，由，得到，由直角三角形的性质求出长，由锐角的余弦求出长，得到圆的半径长，由，推出阴影的面积扇形的面积，由扇形面积公式即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
半径于点，
是的切线；
（2）解：连接，，
，，
，，
，
，
是的直径，
，
平分，
，
在 中，，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
22．（10分）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1），两地之间的距离是 60 千米， ；
（2）求线段所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
【分析】（1）用货车的速度乘以时间可得，两地之间的距离是60千米；根据货车到达地填装货物耗时15分钟，即得；
（2）设线段所在直线的解析式为，用待定系数法可得线段所在直线的函数解析式为；
（3）求出线段的解析式为，分三种情况：当货车第一次追上巡逻车后，；当货车返回与巡逻车未相遇时，；当货车返回与巡逻车相遇后，，分别解方程可得答案．
【解答】解：（1）（千米），
，两地之间的距离是60千米；
货车到达地填装货物耗时15分钟，
，
故答案为：60，1；
（2）设线段所在直线的解析式为，将，代入得：
，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）巡逻车速度为（千米小时），
线段的解析式为，
当货车第一次追上巡逻车后，，
解得；
当货车返回与巡逻车未相遇时，，
解得；
当货车返回与巡逻车相遇后，，
解得；
综上所述，货车出发小时或 小时或小时，两车相距15千米．
23．（12分）综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系： ， ；
（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系： ；
（4）实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则 ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论；
（3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明即可得出结论；
（4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点，利用勾股定理计算出，再利用第3小题的结论得到三角形的高，的面积即可求出．
【解答】解：（1），，
理由如下：如图1所示：
和都是等腰三角形，
，，
又，
，
，
，
，
，
；
（2），，
理由如下：如图2所示：
证明：，
，
即，
又和都是等腰三角形，
，，
，
，
，，
，
；
（3），
理由如下：如图3所示：
和都是等腰三角形，
，，，
，
即：，
，
，
，，，
，
，
；
（4）如图4所示：
连接，以为直径作圆，
由题意，取满足条件的点，，则．，
，
，
连接，作于点，在上截取，
，，
，
，，
，
由（3）可得：，
，
，
同理可得：，
故的面积为：或．
24．（14分）综合与探究：
如图，抛物线上的点，坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，点为轴负半轴上一点，且，连接，．
（1）求点的坐标及抛物线的解析式；
（2）点是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接，，当时，求点的坐标；
（3）点是线段（包含点，上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，若以点，，为顶点的三角形与相似，请直接写出点的坐标；
（4）将抛物线沿轴的负方向平移得到新抛物线，点的对应点为点，点的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ， ，的最小值为 ．
【分析】（1）根据点在轴负半轴且可得点的坐标为，利用待定系数法可得抛物 线的解析式为；
（2）过点作 轴于点，交线段于点，用待定系数法求得直线的解析式为 设点的横坐标为，则，，故，先求得，从而得到，解出的值，从而得出点的坐标；
（3）由可知，要使点，，为顶点的三角形与相似，则以点，，为顶点的三角形也是直角三角形，从而分和两种情况讨论，①当，可推导与点重合，，即此时符合题意，利用求抛物线与轴交点的方法可求出点的坐标；②当时，可推导，即此时符合题意，再证明，从而得到，再设点的横坐标为，则，，从而得到，解得的值，从而得到点的坐标，最后综合①②即可；
（4）设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线，将点右平移个单位长度得到点，由平移的性质可知，，，的值最小就是最小值，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．
【解答】（1）解：点在轴负半轴且，
，
将，代入，得
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，交线段于点，
设直线的解析式为，
将，代入，得
，
解得，
直线的解析式为；
设点的横坐标为，
则，，
，
，，
解得，
；
（3）在中，，以点，，为顶点的三角形与相似，
以点，，为顶点的三角形也是直角三角形，
又轴，直线交直线于点，
，即点不与点是对应点，
故分为和两种情况讨论：
①当时，由于轴，
轴，即在轴上，
又点在抛物线上，
此时点与点重合，
作出图形如下：
此时，
又，
，即此时符合题意，
令，
解得：，（舍去），
点的坐标，也即点的坐标是，；
②当时，作图如下：
轴，，
，
，
，，
，即此时符合题意，
，
，即，
，，
，
，，
设点的横坐标为，则，，
，，
，
解得：，（舍去），
点的坐标是，，
综比所述：点的坐标是，；
（4）设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线，
将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下：
由平移的性质可知，，，
的值最小就是最小值，
显然点在直线上运动，
作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，
点关于直线对称的对称的点是点，，
，
，
设直线 “的解析式是：，
将点，代入得：，
解得：，
直线的解析式是：，
令，解得：，
，，
平移的距离是，
又，
平移前的抛物线的顶点坐标是，，
新抛物线的顶点坐标为，即，，
故答案是：，，．