2023年湖南省湘潭市中考数学试卷

这是一份2023年湖南省湘潭市中考数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻．观察下列汉字，其中是轴对称图形的是
A．爱B．我C．中D．华
2．（3分）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
3．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
4．（3分）某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为
A．95分B．94分C．92.5分D．91分
5．（3分）如图，菱形中，连接，，若，则的度数为
A．B．C．D．
6．（3分）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作 轴于点，轴于直，若四边形的面积为2．则的值是
A．2B．C．1D．
7．（3分）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为
A．B．C．D．
8．（3分）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为千米时，则可列方程为
A．B．
C．D．
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上)
9．（3分）下列选项中正确的是
A．B．C．D．
10．（3分）2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目．为了解某校九年级男生投掷实心球水平，随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如表所示的频数分布表并绘制了扇形图：
则下列说法正确的是
A．样本容量为50
B．成绩在米的人数最多
C．扇形图中类对应的圆心角为
D．成绩在米的频率为0.1
11．（3分）如图，是的直径，为弦，过点的切线与延长线相交于点，若，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
12．（3分）如图，抛物线与轴交于点，则下列结论中正确的是
A．B．C．D．
三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分。请将答案写在答题卡相应的位置上）
13．（3分）数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有 ．（写出一个即可）
14．（3分）已知实数，满足，则 ．
15．（3分）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为1，则的长为 ．
16．（3分）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（见图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 ．
四、解答题（本大题共10个小题，共72分.解客应写出文字说明、证明过程或资算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上）
17．（6分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
19．（6分）在中，，是斜边上的高．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
20．（6分）为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：（合唱社团）、（硬笔书法社团）、（街舞社团）、（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．
21．（6分）教育部正式印发《义务教育劳动课程标准年版）》．劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中．某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）
1 5 4 1 3 2 3 4
整理数据：
分析数据：
请结合以上信息回答下列问题：
（1） ，并补全频数分布直方图；
（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若，则 ， ；
（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．
22．（6分）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射．某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元件．
（1）设每件玩具售价为元，全部售完的利润为元．求利润（元关于售价（元件）的函数表达式；
（2）当售价定为60元件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
23．（8分）如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转得到△．
（1）反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过、两点，求该一次函数的表达式．
24．（8分）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点处．
问题解决：
（1）求该盛水筒从处逆时针旋转到处时，的度数；
（2）求该盛水筒旋转至处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据，
25．（10分）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点，以为边长向外作正方形，将正方形绕点顺时针旋转．
特例感知：（1）当在上时，连接，相交于点，小红发现点恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点，如图②．根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形绕点顺时针旋转，连接，点是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．
26．（10分）如图，二次函数 的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
2023年湖南省湘潭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）
1．（3分）中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻．观察下列汉字，其中是轴对称图形的是
A．爱B．我C．中D．华
【分析】根据轴对称图形的概念判断．
【解答】解：、汉字“爱”不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、汉字“我”不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、汉字“中”是轴对称图形，故本选项符合题意；
、汉字“华”不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2．（3分）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式的有意义，被开方数不小于0，进而得出答案．
【解答】解：式子在实数范围内有意义，则，
解得：．
故选：．
3．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，无法合并，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意．
故选：．
4．（3分）某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为
A．95分B．94分C．92.5分D．91分
【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出她的最终得分．
【解答】解：由题意可得，
（分，
即她的最后得分为94分，
故选：．
5．（3分）如图，菱形中，连接，，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据菱形的性质和平行线的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
，
故选：．
6．（3分）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作 轴于点，轴于直，若四边形的面积为2．则的值是
A．2B．C．1D．
【分析】依据题意，根据四边形面积与反比例函数的关系即可得解．
【解答】解：由题意，设，
．
又，
．
故选：．
7．（3分）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为
A．B．C．D．
【分析】根据圆锥的侧面展开图中弧的长等于圆锥底面周长即可得出答案．
【解答】解：这个圆锥的侧面展开图中的长为．
故选：．
8．（3分）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为千米时，则可列方程为
A．B．
C．D．
【分析】设大巴车的平均速度为千米时，则小车的平均速度为千米时，根据题意列出方程即可．
【解答】解：设大巴车的平均速度为千米时，则小车的平均速度为千米时，
根据题意可得：．
故选：．
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上)
9．（3分）下列选项中正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据算术平方根、绝对值、相反数的含义和求法，以及零指数幂的运算方法，逐项判断即可．
【解答】解：，
选项符合题意；
，
选项符合题意；
，
选项符合题意；
，
选项不符合题意．
故选：．
10．（3分）2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目．为了解某校九年级男生投掷实心球水平，随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如表所示的频数分布表并绘制了扇形图：
则下列说法正确的是
A．样本容量为50
B．成绩在米的人数最多
C．扇形图中类对应的圆心角为
D．成绩在米的频率为0.1
【分析】把各类频数相加可得样本容量；根据分布表可得成绩在米的人数最多；用乘类所占比例可得扇形图中类对应的圆心角度数；用类的频数除以样本容量可得成绩在米的频率．
【解答】解：样本容量为：，故选项符合题意；
成绩在米的人数最多，故选项不符合题意；
扇形图中类对应的圆心角为：，故选项符合题意；
成绩在米的频率为：，故选项不符合题意．
故选：．
11．（3分）如图，是的直径，为弦，过点的切线与延长线相交于点，若，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
【分析】利用圆周角定理即可判断；根据切线的性质即可判断；利用等腰直角三角形的性质即可判断；利用直角三角形斜边中线的性质即可判断．
【解答】解：、是的直径，
，
，故正确；
、是的直径，是的切线，
，
，故正确；
、，，
，
，故错误；
、，，
，
，
，故正确．
故选：．
12．（3分）如图，抛物线与轴交于点，则下列结论中正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据图象的开口方向可判断选项；根据图象与轴的交点位置，可判断选项；根据抛物线和轴交点个数可判断；：根据的函数值的情况，可判断选项．
【解答】解：、由函数图象得，抛物线开口方向向下，故，故错误；
、图象与轴的交点在原点上方，故，故正确；
、因为抛物线和轴有两个交点，故，故正确；
、当时，，故正确．
故选．
三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分。请将答案写在答题卡相应的位置上）
13．（3分）数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有 0（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【分析】数轴上到原点的距离小于的点所表示的数为与之间的所有数，然后写出其中的一个整数即可．
【解答】解：数轴上到原点的距离小于的点所表示的数为与之间的所有数，
则其中的整数为0（答案不唯一），
故答案为：0（答案不唯一）．
14．（3分）已知实数，满足，则 ．
【分析】根据偶次幂及绝对值的非负性求得，的值，然后代入中计算即可．
【解答】解：，，，
，，
，，
则，
故答案为：．
15．（3分）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为1，则的长为 1 ．
【分析】根据角平分线的性质得到点到的距离．
【解答】解：由作图知平分，
，点到的距离为1，
．
故答案为：1．
16．（3分）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（见图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 2 ．
【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得的长，即可求解．
【解答】解：如图所示，
依题意，，，
图中阴影部分的面积为，
故答案为：2．
四、解答题（本大题共10个小题，共72分.解客应写出文字说明、证明过程或资算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上）
17．（6分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】先解不等式组求得其解集，然后在数轴上表示其解集即可．
【解答】解：，
由①得，
则，
由②得，
则，
故原不等式组的解集为：，
在数轴上表示其解集如下：
18．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数据进行计算即可．
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
19．（6分）在中，，是斜边上的高．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据已知条件得出，又为公共角，于是得出；
（2）根据相似三角形的性质即可求出的长．
【解答】（1）证明：是斜边上的高，
，
，
，
又为公共角，
；
（2）解：由（1）知，
，
，
．
20．（6分）为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：（合唱社团）、（硬笔书法社团）、（街舞社团）、（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．
【分析】（1）列举出所有的可能结果即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小宇和小江选到相同社团的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）所有的可能结果共有6种，分别为：、、、、、；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小宇和小江选到相同社团的结果有3种，
他俩选到相同社团的概率为．
21．（6分）教育部正式印发《义务教育劳动课程标准年版）》．劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中．某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）
1 5 4 1 3 2 3 4
整理数据：
分析数据：
请结合以上信息回答下列问题：
（1） 1 ，并补全频数分布直方图；
（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若，则 ， ；
（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．
【分析】（1）根据各组频数之和等于样本容量可求出的值，进而补全频数分布直方图；
（2）根据众数的定义确定的值，再由平均数、中位数确定的值即可；
（3）求出样本中“学生在这一周劳动时间不少于3小时学生”所占的百分比，进而估计总体中“学生在这一周劳动时间不少于3小时学生”所占的百分比，由频率进行计算即可．
【解答】解：（1），补全频数分布直方图如下：
（2）样本中1、3、4都出现2次，若这组数据的众数是4，因此漏掉的两个数中必有一个是4，而，因此，
这10个数的中位数是3.5，平均数是3.4，因此漏掉的另一个数是7，即，
故答案为：4，7；
（3）（人，
答：该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数大约有1400人．
22．（6分）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射．某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元件．
（1）设每件玩具售价为元，全部售完的利润为元．求利润（元关于售价（元件）的函数表达式；
（2）当售价定为60元件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
【分析】（1）根据每件的利润件数总利润求解即可；
（2）设该商店继续购进了件航天模型玩具，根据资助经费恰好10000元，列方程，求解即可．
【解答】解：（1）；
（2）设该商店继续购进了件航天模型玩具，
，
解得，
答：该商店继续购进了4000件航天模型玩具．
23．（8分）如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转得到△．
（1）反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过、两点，求该一次函数的表达式．
【分析】（1）根据旋转的性质得出的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）作轴于．证明，推出，，求出点坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
【解答】解：（1）点的坐标是，点的坐标是，点为中点，
，，
，
将绕着点逆时针旋转得到△，
，
反比例函数的图象经过点，
，
该反比例函数的表达式为；
（2）作轴于．
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
设一次函数的解析式为，
把，代入得，，
解得，
该一次函数的表达式为．
24．（8分）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点处．
问题解决：
（1）求该盛水筒从处逆时针旋转到处时，的度数；
（2）求该盛水筒旋转至处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据，
【分析】（1）求出筒车每秒转过的度数，再根据周角的定义进行计算即可；
（2）根据直角三角形的边角关系分别求出、即可．
【解答】解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒．所以每秒转过，
；
（2）如图，过点、点分别作的垂线，垂足分别为点、，
在中，，米，
（米．
在中，，米，
（米，
（米，
即该盛水筒旋转至处时到水面的距离约为0.3米．
25．（10分）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点，以为边长向外作正方形，将正方形绕点顺时针旋转．
特例感知：（1）当在上时，连接，相交于点，小红发现点恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点，如图②．根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形绕点顺时针旋转，连接，点是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．
【分析】（1）延长，交于，可推出，，从而，进而得出，进一步得出结论；
（2）延长，交的延长线于点，设和交于点，同理（1）可证得，从而，从而得出点和点重合，进一步得出结论；
（3）延长至，是，连接，延长和，交于点，，从而，，所以，可推出，进而推出，，，进而推出，进一步得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
延长，交于，
四边形和四边形是正方形，
，，，，，
，，
，，，
，
，
，
，
，
点是的中点；
（2）如图2，
是等腰直角三角形，理由如下：
延长，交的延长线于点，设和交于点，
四边形和四边形是正方形，
，，，，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
点和点重合，即：与的交点恰好也是中点，
，，
，，
是等腰直角三角形；
（3）如图3，
仍然是等腰直角三角形，理由如下：
延长至，是，连接，延长和，交于点，
，，
，
，，
，
四边形和四边形是正方形，
，，，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形．
26．（10分）如图，二次函数 的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据，可得到的距离等于到的距离，进而作出两条的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解；
（3）根据题意，求得当是直角三角形时的的值，进而观察图象，即可求解，分和两种情况讨论，分别计算即可求解．
【解答】解：将点，代入，则
，
解得，
抛物线解析式为；
（2），
顶点坐标为，
当时，，
解得：，，
，则，
，则，
是等腰直角三角形，
，
到的距离等于到的距离，
，，设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
如图所示，过点作的平分线，交抛物线于点，
设的解析式为，将点代入得，
，
解得：，
直线的解析式为，
解得：或，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，且，
如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线 上，
是等腰直角三角形，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得： 或，
或，
综上所述，， 或；
（3）①当时，如图所示，过点作 交 于点，当点与点重合时，是直角三角形，当 时，是直角三角形，
设交于点，
直线的解析式为，
则，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
设，则，，
，
，
解得： （舍去）或，
，
是锐角三角形，
；
当时，如图所示，
同理可得，
即，
解得： （舍去）或，
由（2）可得时，
．
综上所述，当是锐角三角形时，
或．
类别
成绩
频数
2
6
25
12
5
时间段
人数
3
6
统计量
平均数
中位数
众数
数据
3.4
3.5
4
类别
成绩
频数
2
6
25
12
5
时间段
人数
3
6
统计量
平均数
中位数
众数
数据
3.4
3.5
4