2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学试卷

这是一份2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2的绝对值是
A．B．C．D．2
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
3．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是
A．B．C．D．
4．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：
则这10名运动员成绩的中位数是
A．B．C．D．
6．（3分）如图，直线，被射线，所截，，若，则的度数为
A．B．C．D．
7．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是
A．了解某种灯泡的使用寿命
B．了解一批冷饮的质量是否合格
C．了解全国八年级学生的视力情况
D．了解某班同学中哪个月份出生的人数最多
8．（3分）某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车的速度是，所列方程正确的是
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧以为边作菱形，点在射线上．设点的运动时间为，菱形与 的重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）截止到2023年4月底，我国网络覆盖全国所有地级（以上）市、县城城区，移动电话用户达到634000000户，将数据634000000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）分解因式： ．
13．（3分）如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ．
14．（3分）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．
16．（3分）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ．
17．（3分）如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ．
18．（3分）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中．
20．（12分）6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中；（合格）．并将统计结果绘制成如图两幅统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生共有 名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒10盒，种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进种礼品盒6盒，种礼品盒5盒，共花费1200元．
（1）求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元；
（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进种礼品盒多少盒？
22．（12分）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点，，，，在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到．
（参考数据：，，
五、解答题（满分12分）
23．（12分）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台与销售单价（元之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，是的直径，点，在上，，点在线段的延长线上，且．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点，重合），连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点．
（1）如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系；
（2）如图2，当点在线段上时，求证：；
（3）连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段，为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；
（3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）2的绝对值是
A．B．C．D．2
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：，
．
故选：．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
3．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
【解答】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：．
4．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【分析】先根据合并同类项法则，同底数幂的除法，完全平方公式和幂的乘方与积的乘方进行计算，再得出选项即可．
【解答】解：．和不能合并了，故本选项不符合题意；
．，故本选项符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
故选：．
5．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：
则这10名运动员成绩的中位数是
A．B．C．D．
【分析】根据中位数的定义，结合图表信息解答．
【解答】解：中位数是按从小到大排列后第5，第6两个数的平均数作为中位数，
故这组数据的中位数．
故选：．
6．（3分）如图，直线，被射线，所截，，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，得出，由，得出，即可得答案．
【解答】解：如图：
，
，
，
，
，
，
故选：．
7．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是
A．了解某种灯泡的使用寿命
B．了解一批冷饮的质量是否合格
C．了解全国八年级学生的视力情况
D．了解某班同学中哪个月份出生的人数最多
【分析】普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【解答】解：、了解某种灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查方式，故此选项不符合题意；
、了解一批冷饮的质量是否合格，适宜采用抽样调查方式，故此选项不符合题意；
、了解全国八年级学生的视力情况，适宜采用抽样调查方式，故此选项不符合题意；
、了解某班同学中哪个月份出生的人数最多，适宜采用全面调查方式，故此选项符合题意；
故选：．
8．（3分）某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车的速度是，所列方程正确的是
A．B．
C．D．
【分析】此题求速度，有路程，所以要根据时间来列等量关系．因为他们同时到达目的地，所以此题等量关系为：慢车所用时间快车所用时间．
【解答】解：设慢车的速度为，
根据题意可列方程为：．
故选：．
9．（3分）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为
A．B．C．D．
【分析】由角平分线的性质定理推出，由勾股定理求出的长，由的面积的面积的面积，得到，因此，即可求出的长，得到的长．
【解答】解：作于，
由题意知平分，
，
，
，，，
，
的面积的面积的面积，
，
，
，
．
故选：．
10．（3分）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧以为边作菱形，点在射线上．设点的运动时间为，菱形与 的重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是
A．
B．
C．
D．
【分析】先证明菱形是边长为，一个角为的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解．
【解答】解：作于点，作于点，
由题意得，，
，
，
是线段的垂直平分线，
，
，，
，，
当点运动到直线上时，
此时，是等边三角形，
，；
当点、运动到与点，重合时，
，；
当点运动到与点重合时，
，；
当时，，
当时，如图，作于点，交于点，
则，，，
，
当时，如图，作于点，
则，，
，
综上，与之间函数关系的图象分为三段，当时，是开口向上的一段抛物线，当时，是开口向下的一段抛物线，当时，是开口向上的一段抛物线，
只有选项符合题意，
故选：．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）截止到2023年4月底，我国网络覆盖全国所有地级（以上）市、县城城区，移动电话用户达到634000000户，将数据634000000用科学记数法表示为 ．
【分析】将634000000写成，进而写成即可．
【解答】解：，
故答案为：．
12．（3分）分解因式： ．
【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：
．
故答案为：．
13．（3分）如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ．
【分析】根据几何概率的求法：落在阴影区域的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：总面积为9个大小相等的等边三角形的面积，其中阴影区域面积为5个大小相等的等边三角形的面积，
随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
14．（3分）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．
【分析】根据四边形的面积是四边形面积的4倍，可得四边形与四边形的位似比是，进而得出各对应点位置，进而得第一象限内点的坐标．
【解答】解：四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，
四边形与四边形的位似比是，
点，
第一象限内点的坐标为．
故答案为：．
16．（3分）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 6 ．
【分析】根据矩形面积求出面积，再利用，求出面积，利用相似求出与的比，求出面积，即可利用几何意义求出．
【解答】解：如图，延长交轴于，连接，
矩形的面积是8，
，
，
，
，
，
，
，
由几何意义得，，
，
，
故答案为：6．
17．（3分）如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ．
【分析】分两种情况，一是点在直线的下方，则，所以，则；二是点在直线的上方，则，所以，于是得到问题的答案．
【解答】解：当点在直线的下方，如图1，
，
，
，
将三角形纸片沿对折，使点落在点处，
，
，
；
当点在直线的上方时，如图2，
，
，
将三角形纸片沿对折，使点落在点处，
，
，
故答案为：或．
18．（3分）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．
【分析】连接，证明为直角三角形，根据勾股定理列出，设，则，建立关于的二次函数关系式，求出时，最小，再求出顶角是的三角形的面积即可．
【解答】解：连接，则，
，
．
，
，
是直角三角形．
设，则，，，由勾股定理得：
．
当时，有最小值．
，，
．
故答案为：．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
20．（12分）6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中；（合格）．并将统计结果绘制成如图两幅统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生共有 60 名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）由优秀的人数除以所占百分比即可；
（2）求出合格的人数，补全条形统计图即可；
（3）由该校共有学生人数乘以“良好”以上的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】（1）调查的学生共有（名；
故答案为：60；
（2）合格的人数（名，
（3）（名，
答：估计本次竞赛获得等级的学生有480名；
（4）画树状图如下：
一共有12中等可能的情况，其中一男一女的情况有8种，
所选2人恰好是一男一女的概率为．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒10盒，种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进种礼品盒6盒，种礼品盒5盒，共花费1200元．
（1）求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元；
（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进种礼品盒多少盒？
【分析】（1）设购买每盒种礼品盒要元，每盒种礼品盒要元，由题意即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该公司需要购买个种礼品盒，则购买个种礼品盒，由题意即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买每盒种礼品盒要元，每盒种礼品盒要元，由题意得，
，
解得：，
答：购买每盒种礼品盒要100元，每盒种礼品盒要120元；
（2）设需要购买个种礼品盒，则购买个种礼品盒，由题意得，
，
解得：，
答：最少需要购买15个种礼品盒．
22．（12分）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点，，，，在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到．
（参考数据：，，
【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可；
（2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．
【解答】解：（1）如图，过点作于点，由题意可知，，，，，
在中，，，
，
，
答：登山缆车上升的高度为；
（2）在中，，，
，
需要的时间
，
答：从山底处到达山顶处大约需要19.4分钟．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台与销售单价（元之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？
【分析】（1）设月销量（台与销售单价（元之间满足一次函数关系式为，把和代入解方程组即可得到结论；（2）设每月出售这种护眼灯所获的利润为元，根据题意得到二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）设月销量（台与销售单价（元之间满足一次函数关系式为，
把和代入得，
解得，
；
（2）设每月出售这种护眼灯所获的利润为元，
根据题意得，，
当护眼灯销售单价定为90元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2500元．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，是的直径，点，在上，，点在线段的延长线上，且．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得即可；
（2）根据锐角三角函数可求出半径，进而得到的长，再根据直角三角形的边角关系求出，由勾股定理求出即可．
【解答】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
又，
，
是的直径，
，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
（2）解：在中，设半径为，即，则，
，
，
，
在中，，，
，
．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点，重合），连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点．
（1）如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系；
（2）如图2，当点在线段上时，求证：；
（3）连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值．
【分析】（1）连接，由，，得，根据线段绕点逆时针旋转，得到线段，有，，可得，从而，，知是等腰直角三角形，，故；
（2）由，，为的中点，得，，证明，得，根据，即得；
（3）由，设，则，分两种情况：当在线段上时，延长交于，由，得，而四边形是矩形，有，，根据勾股定理可得，故，，即得；当在射线上时，延长交于，同理可得．
【解答】（1）解：，理由如下：
连接，如图：
，，
，
线段绕点逆时针旋转，得到线段，
，，
，
，
，，
直线，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）证明：如图，
，，为的中点，
，，
，
，
直线，直线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由，设，则，
当在线段上时，延长交于，如图：
由（2）知，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当在射线上时，延长交于，如图：
同理可得，
，
，
，
，，为的中点，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段，为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；
（3）点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；
（3）先求得直线的解析式为，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，证明，推出．，设，则，，由点在直线上，列式计算，可求得的值，利用平移的性质即可求解．
【解答】解：（1）抛物线经过点和，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）点和．
设直线的解析式为，则，
解得．
直线的解析式为，
设，且，则，
，
解析式的对称轴为，
，
，
依题意得．
解得（舍去）或．
，
（3）令，则，
解得或．
．
同理，直线的解析式为，
四边形是正方形，
，，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，如图，
，．
△．
，．
设，
，．
则，，
点在直线上，
．
解得或
当时，，，
即点与点重合，点与点重合时，四边形是正方形，此时
当时，，，，
点向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点，
则点向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点，
，，即，．
综上，点的坐标为或，．成绩
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
人数名
1
3
2
3
1
销售单价（元
50
60
70
月销量（台
90
80
70
成绩
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
人数名
1
3
2
3
1
销售单价（元
50
60
70
月销量（台
90
80
70