2023年四川省广元市中考数学试卷

这是一份2023年四川省广元市中考数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）的相反数是
A．B．C．D．2
2．（3分）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
3．（3分）某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是
A．B．C．D．
4．（3分）某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：
下列说法错误的是
A．众数是1B．平均数是4.8C．样本容量是10D．中位数是5
5．（3分）关于的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
6．（3分）如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数是
A．B．C．D．
7．（3分）如图，半径为5的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为
A．B．C．D．
8．（3分）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深与注水量的函数关系的大致图象是
A．B．
C．D．
9．（3分）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程10千米的普通道路，路线包含快速通道，全程7千米，走路线比路线平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线和路线的平均速度分别是多少？设走路线的平均速度为千米小时，依题意，可列方程为
A．B．
C．D．
10．（3分）已知抛物线，，是常数且过和两点，且，下列四个结论：
①；
②；
③若抛物线过点，则；
④若关于的方程有实数根，则，其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）
11．（4分）若式子有意义，则实数的取值范围是 ．
12．（4分）广元市聚焦“1345”发展战略和“十四五”规划，牢牢牵住重点项目建设“牛鼻子”，《2023年广元市重点项目名单》共编列项目300个，其中生态环保项目10个，计划总投资约45亿元，将45亿这个数据用科学记数法表示为 ．
13．（4分）如图，，直线与直线，分别交于，两点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，分别交直线，于点，，连接，若，则的度数为 ．
14．（4分）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 ．
16．（4分）如图，，半径为2的与角的两边相切，点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为，，设，则的取值范围是 ．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分）
17．（6分）计算：．
18．（8分）先化简，再求值；，其中，．
19．（8分）如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形．
（1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）；
（2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．
20．（9分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：
（1）求第四小组的频数，并补全频数分布直方图；
（2）若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校学生共有1260人，请估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；
（3）若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分，现要从这4人中随机抽取2人去参加学校组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是男生的概率．
21．（9分）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底水平距离为60米的处，测得塔顶部的仰角，风叶的视角．
（1）已知，两角和的余弦公式为：，请利用公式计算；
（2）求风叶的长度．
22．（10分）某移动公司推出，两种电话计费方式．
（1）设一个月内用移动电话主叫时间为，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式，方式的计费金额关于的函数解析式；
（2）若你预计每月主叫时间为，你将选择，哪种计费方式，并说明理由；
（3）请你根据月主叫时间的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
24．（10分）如图，为的直径，为上一点，连接，，过点作的切线交延长线于点，于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25．（12分）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且
．
（1）若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长；
（3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
（3）如图2，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
2023年四川省广元市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意.每小题3分，共30分）
1．（3分）的相反数是
A．B．C．D．2
【分析】根据相反数的定义进行判断即可．
【解答】解：的相反数是，
故选：．
2．（3分）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据合并同类项法则，平方差公式，同底数幂的乘法，单项式除以单项式的法则，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：与不是同类项，不能进行加减计算，故错误；
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可知：，故错误；
，故错误；
根据平方差公式可得：，故正确．
故选：．
3．（3分）某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是
A．B．C．D．
【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从左面看去，一共两列，左边有1个小正方形，右边有2个小正方形，结合四个选项选出答案．
【解答】解：从左面看去，一共两列，左边有1个小正方形，右边有2个小正方形，左视图是：
．
故选：．
4．（3分）某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：
下列说法错误的是
A．众数是1B．平均数是4.8C．样本容量是10D．中位数是5
【分析】根据众数的定义对选项进行判断；根据平均数的计算方法对选项进行判断；根据样本容量的定义对选项进行判断；根据中位数的定义对选项进行判断．
【解答】解：．这组数据的众数为6，所以选项符合题意；
．这组数据的平均数为，所以选项不符合题意；
．样本容量为10，所以选项不符合题意；
．这组数据的中位数为5，所以选项不符合题意．
故选：．
5．（3分）关于的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【分析】先确定、、的值，在计算即可．
【解答】解：，，，
，
方程没有实数根．
故选：．
6．（3分）如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】先由平角定义求得，再利用圆周角定理可求．
【解答】解：，
，
，
故选：．
7．（3分）如图，半径为5的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为
A．B．C．D．
【分析】先连接，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形的面积，然后代入数据计算即可．
【解答】解：连接，如图所示，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，和全等，
，
故选：．
8．（3分）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深与注水量的函数关系的大致图象是
A．B．
C．D．
【分析】依据题意，从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，再从函数的图象上看，即可得解．
【解答】解：依据题意，从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．
则注入的水量随水深的变化关系为：先慢再快，最后又变慢．
那么从函数的图象上看，
对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合．
、对应的图象中间没有变化，只有符合条件．
故选：．
9．（3分）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程10千米的普通道路，路线包含快速通道，全程7千米，走路线比路线平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线和路线的平均速度分别是多少？设走路线的平均速度为千米小时，依题意，可列方程为
A．B．
C．D．
【分析】根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线的平均速度为千米时，利用时间路程速度，结合走路线比走路线全程少用10分钟，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【解答】解：走路线的平均车速比走路线能提高，且走路线的平均速度为千米时，
走路线的平均速度为千米时．
根据题意得：．
故选：．
10．（3分）已知抛物线，，是常数且过和两点，且，下列四个结论：
①；
②；
③若抛物线过点，则；
④若关于的方程有实数根，则，其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据题意得出开口向下，对称轴在轴的右侧，即可判，，则；
②根据对称轴是直线，计算，由抛物线，，是常数），过，得到，即可得到；
③由待定系数法确定抛物线，根据题意抛物线为，即可得出，则，根据，即可得出关于的不等式，解得即可；
④抛物线，，是常数且与直线有交点，即可得出，求得．
【解答】解：抛物线，，是常数），过，两点，且，
对称轴，
对称轴在轴右侧，
，
，
，，
，
故①错误；
，，
，
抛物线，，是常数），过，
，
，
故②正确；
抛物线，，是常数），过，点，
，
解得，
抛物线，
抛物线，，是常数且过和两点，
，
，
，
，
，
，
，
故③正确；
若关于的方程有实数根，
抛物线，，是常数且与直线有交点，
，
，
故④错误．
故选：．
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）
11．（4分）若式子有意义，则实数的取值范围是 ．
【分析】根据记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
12．（4分）广元市聚焦“1345”发展战略和“十四五”规划，牢牢牵住重点项目建设“牛鼻子”，《2023年广元市重点项目名单》共编列项目300个，其中生态环保项目10个，计划总投资约45亿元，将45亿这个数据用科学记数法表示为 ．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
【解答】解：45亿．
故答案为：．
13．（4分）如图，，直线与直线，分别交于，两点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，分别交直线，于点，，连接，若，则的度数为 ．
【分析】由作图可知垂直平分线段，推出，再利用等腰三角形的三线合一的性质以及平行线的性质求解．
【解答】解：由作图可知垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．（4分）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 21 ．
【分析】根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项．
【解答】解：找规律发现的第三项系数为；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
不难发现的第三项系数为，
因为第八行为，
展开式的第三项的系数是，
第八行从左到右第三个数为为21．
故答案为：21．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 ， ．
【分析】设，结合，两点的坐标利用两点间的距离可得，，，，通过解直角三角形可得，过点作轴交的延长线于点，利用平行线的性质可得，，列比例式再代入计算可求解值，进而可求解．
【解答】解：设，
，
点，点，
，，，，
在中，，，
，
过点作轴交的延长线于点，
，，
，，
，，
，
，
解得（舍去）或，
，，
故答案为：，．
16．（4分）如图，，半径为2的与角的两边相切，点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为，，设，则的取值范围是 ．
【分析】设半径为2的与角的两边相切于，，连接，，延长交于，求得，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，如图1，延长交于，推出与是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，，求得，当与相切且点在圆心的右侧时，有最大值，连接，则四边形是正方形，根据正方形的性质得到，求得；如图2，当与相切且点在圆心的，左侧时，有最小值，同理可得，于是得到结论．
【解答】解：设半径为2的与角的两边相切于，，连接，，延长交于，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
如图1，延长交于，
，，
，
，
，
与是等腰直角三角形，
，，
，
当与相切且点在圆心的右侧时，有最大值，
连接，
则四边形是正方形，
，
；
如图2，当与相切且点在圆心的，左侧时，有最小值，
同理可得，
故的取值范围是，
故答案为：．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分）
17．（6分）计算：．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
18．（8分）先化简，再求值；，其中，．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
当，时，
原式．
19．（8分）如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形．
（1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）；
（2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．
【分析】（1）由平行四边形的判定可得；
（2）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）如图①以为对角线，如图②以为对角线，如图③以为对角线；
（2），，
，
，
如图①所示：四边形是矩形，则其对角线的长为4；
如图②所示：，连接，过点作于点，
则，，
；
如图③所示：过点作，交延长线于，连接，
，
由题意可得：，，
，
20．（9分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：
（1）求第四小组的频数，并补全频数分布直方图；
（2）若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校学生共有1260人，请估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；
（3）若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分，现要从这4人中随机抽取2人去参加学校组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是男生的概率．
【分析】（1）先利用第二次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出第四小组的频数，然后补全频数分布直方图；
（2）用1260乘以样本中第5组和第6组的频率即可；
（3）画树状图为展示所有12种等可能的结果，再找出两名都是男生的结果数．然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）调查的总人数为（人，
所以第四小组的频数为，
补全频数分布直方图为：
（2）（人，
所以估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数294人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中两名都是男生的结果数为6，
所以所选2人都是男生的概率．
21．（9分）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底水平距离为60米的处，测得塔顶部的仰角，风叶的视角．
（1）已知，两角和的余弦公式为：，请利用公式计算；
（2）求风叶的长度．
【分析】（1）根据两角和的余弦公式把角分成两个特殊角和，根据特殊角的锐角三角函数值代入求值即可；
（2）过点作于，先判断是等腰三角形，然后解直角三角形的方法先求出的长，再求出的长即可．
【解答】解：（1）由题意得：；
（2）由题意得：，米，
米，，
，
又．
，
米，
如图，过点作于，
在中，，米，
米，
米，
在中，，
，米，
米．
22．（10分）某移动公司推出，两种电话计费方式．
（1）设一个月内用移动电话主叫时间为，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式，方式的计费金额关于的函数解析式；
（2）若你预计每月主叫时间为，你将选择，哪种计费方式，并说明理由；
（3）请你根据月主叫时间的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
【分析】（1）设方式的计费金额（元，方式的计费金额（元，根据表格即可得出和的函数解析式；
（2）将分别代入（1）中求得的函数解析式中，在比较大小即可得到结果；
（3）令，求出此时的值，再以此分析即可求解．
【解答】解：（1）设方式的计费金额（元，方式的计费金额（元，
根据表格数据可知，当时，；当时，；
当时，；当时，；
综上，，；
（2）选择方式计费，理由如下：
当每月主叫时间为时，
，
，
，
选择方式计费；
（3）令，得，
解得：，
当时，，
当时，方式更省钱；
当，方式和的付费金额相同；
当，方式更省钱．
24．（10分）如图，为的直径，为上一点，连接，，过点作的切线交延长线于点，于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到；
（2）过作于，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义得到，根据平行线的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过作于，
为的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得，
故的长为．
25．（12分）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且
．
（1）若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长；
（3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．
【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）求出，延长交于点，在 中，由直角三角形的性质求得，，进而求得的长，根据 的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求出案．
（3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，，同（1）可得，求出的长，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点，， 三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作于点，由直角三角形的性质分别求得，，然后求出，最后根据正切的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）在中，，在中，，，
，，，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）在，，，，
，，
延长交于点，如图所示，
，，
，
由（1）可得，
，
，
在中，，
，
，
，
即；
（3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，，
同（1）可得，
，
，
，
在中，，，
在以为圆心，为半径的圆上运动，
当点，，三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，
在中，，
，，
，
，
，
，
过点作于点，
，，
，
，
，
中，．
26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
（3）如图2，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）求出抛物线的对称轴为直线，设对称轴与轴交于点，过点作于点，证明，设，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，当点与点重合时，可得或；
（3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，可得，，即可求解．
【解答】解：（1）将点，，代入得：
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）点，，
抛物线的对称轴为直线，
设直线与轴交于点，过点作于点，
当在轴上方时，如图：
以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
，
，，
，
，，
设，则，，
，
点在抛物线上，
，
解得：（舍去）或，
；
当在轴下方时，如图：
同理可得，，，
设，则，
把代入得：
，
解得（舍去）或，
；
当点与点重合时，如图所示，
，是等腰直角三角形，且，
，
此时，
由对称性可得，点也满足条件，
综上所述，或或；
（3）为定值6，理由如下：
设，直线的解析式为，的解析式为，
点，，，
，，
解得：，，
直线的解析式为，的解析式为，
在中，令得，
，
在中，令得，
，
在抛物线上，
，
，
为定值6．
每周课外阅读时间（小时）
2
4
6
8
学生数（人
2
3
4
1
计费方式
月使用费元
主叫限定时间
主叫超时费（元
被叫
78
200
0.25
免费
108
500
0.19
免费
每周课外阅读时间（小时）
2
4
6
8
学生数（人
2
3
4
1
计费方式
月使用费元
主叫限定时间
主叫超时费（元
被叫
78
200
0.25
免费
108
500
0.19
免费