2023年浙江省嘉兴市、舟山市中考数学试卷

这是一份2023年浙江省嘉兴市、舟山市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）的立方根是
A．B．2C．D．不存在
2．（3分）如图的几何体由3个同样大小的正方体搭成，它的俯视图是
A．B．C．D．
3．（3分）在下面的调查中，最适合用全面调查的是
A．了解一批节能灯管的使用寿命
B．了解某校803班学生的视力情况
C．了解某省初中生每周上网时长情况
D．了解京杭大运河中鱼的种类
4．（3分）美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是
A．B．C．D．
5．（3分）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，现以原点为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形△，则顶点的坐标是
A．B．C．D．
6．（3分）下面四个数中，比1小的正无理数是
A．B．C．D．
7．（3分）如图，已知矩形纸片，其中，，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，如图④．则的长为
A．B．C．D．
8．（3分）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
9．（3分）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点．若四边形的面积为6，则的面积为
A．12B．14C．18D．24
10．（3分）如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是
A．B．
C．D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算： ．
12．（4分）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ．
13．（4分）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．
14．（4分）如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上．已知，则的度数是 ．
15．（4分）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为 ．
16．（4分）一副三角板和中，，，，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点（如图，此时线段的长是 ．现将绕点按顺时针方向旋转（如图，边与相交于点，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）（1）解不等式：．
（2）已知，求的值．
18．（6分）小丁和小迪分别解方程过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“”；若错误，请在框内打“”，并写出你的解答过程．
19．（6分）如图，在菱形中，于点，于点，连结．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
20．（8分）观察下面的等式：，，，，
（1）写出的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
21．（8分）小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了，，三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：
（1）数据分析：
①求款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数；
②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按的比例统计，求款新能源汽车四项评分数据的平均数．
（2）合理建议：
请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由．
22．（10分）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．
（1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图，此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到，参考数据：，，，，，
23．（10分）在二次函数中．
（1）若它的图象过点，则的值为多少？
（2）当时，的最小值为，求出的值；
（3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围．
24．（12分）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点（其中点在圆内，且，．
（1）在图1中用尺规作出弦与点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结，猜想：当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出的长度；
（3）如图2，延长至点，使得，连结，的平分线交的延长线于点，点为的中点，连结．若，求证：．
2023年浙江省嘉兴市、舟山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（3分）的立方根是
A．B．2C．D．不存在
【分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案．
【解答】解：的立方根是，
故选：．
2．（3分）如图的几何体由3个同样大小的正方体搭成，它的俯视图是
A．B．C．D．
【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的俯视图即可．
【解答】解：这个组合体的俯视图为：
故选：．
3．（3分）在下面的调查中，最适合用全面调查的是
A．了解一批节能灯管的使用寿命
B．了解某校803班学生的视力情况
C．了解某省初中生每周上网时长情况
D．了解京杭大运河中鱼的种类
【分析】根据全面调查的适用范围作出判断即可．
【解答】解：．了解一批节能灯管的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故选项不符合题意；
．了解某校803班学生的视力情况，应采用全面调查的方式，故选项符合题意；
．了解某省初中生每周上网时长情况，应采用抽样调查的方式，故选项不符合题意；
．了解京杭大运河中鱼的种类，应采用抽样调查的方式，故选项不符合题意；
故选：．
4．（3分）美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
5．（3分）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，现以原点为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形△，则顶点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：与△位似，△与的相似比为，
与△位似比为，
点的坐标为，
点的坐标为，即，
故选：．
6．（3分）下面四个数中，比1小的正无理数是
A．B．C．D．
【分析】无理数即无限不循环的小数，结合实数比较大小的方法进行判断即可．
【解答】解：．，
，
即，且是正无理数，
则符合题意；
．是负数，
则不符合题意；
．是分数，不是无理数，
则不符合题意；
．，
，
则不符合题意；
故选：．
7．（3分）如图，已知矩形纸片，其中，，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，如图④．则的长为
A．B．C．D．
【分析】过点作于点，根据勾股定理求得，由折叠可知，，，进而得出，，利用等角的余角相等可得，则，于是可得，由等腰三角形的性质可得，易证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，过点作于点，
四边形为矩形，，，
，，
在中，，
根据折叠的性质可得，，，，，
，
为等腰三角形，，
，
，
，
为等腰三角形，，
，
，
，，
，
，
，即，
，
．
故选：．
8．（3分）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系．
【解答】解：反比例函数，
该函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，
点，，均在反比例函数的图象上，
，
故选：．
9．（3分）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点．若四边形的面积为6，则的面积为
A．12B．14C．18D．24
【分析】连接，根据三角形重心的性质可知：在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．
【解答】解：如图，连接．
点是的重心，点是边的中点，
在上，，
，
，
，
，
，
，
，
设的面积为，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为6，
，
，
的面积为9，
的面积是18．
故选：．
10．（3分）如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是
A．B．
C．D．
【分析】根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案．
【解答】解：当水的深度未超过球顶时，
水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽，
所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢；
当水的深度超过球顶时，
水槽中能装水的部分宽度不再变化，
所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化．
综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升．
故选：．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）计算： 2023 ．
【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解．
【解答】解：的相反数是2023，
故，
故答案为：2023．
12．（4分）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： （答案不唯一）． ．
【分析】根据题意，可以写出分解因式中含有的一个多项式，本题答案不唯一，符合题意即可．
【解答】解：，
符合条件的一个多项式是，
故答案为：（答案不唯一）．
13．（4分）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．
【分析】直接根据概率公式求解即可．
【解答】解：从这三张卡片中随机挑选一张，是“琮琮”的概率是，
故答案为：．
14．（4分）如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上．已知，则的度数是 ．
【分析】连接，，根据切线的性质得到，求得，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接，，
，分别与相切于点，，
，
，
，
，
故答案为：．
15．（4分）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为 ．
【分析】设母鸡有只，小鸡有只，根据“一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡”，列出方程组，即可求解．
【解答】解：根据题意得：．
故答案为：．
16．（4分）一副三角板和中，，，，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点（如图，此时线段的长是 ．现将绕点按顺时针方向旋转（如图，边与相交于点，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 ．
【分析】如图1，过点作于，则，由等腰直角三角形性质可得，进而得出，利用解直角三角形可得，建立方程求解即可得出答案；如图2，以为圆心，为半径作圆，当绕点旋转时，交于，连接，过点作于，过点作于，则，点的运动轨迹为，点的运动轨迹为线段，因此在旋转到的过程中，线段扫过的面积为，再利用等腰直角三角形性质、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式即可求得答案．
【解答】解：如图1，过点作于，则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在中，，
，
，
即，
；
如图2，以为圆心，为半径作圆，当绕点旋转时，交于，连接，过点作于，过点作于，
则，点的运动轨迹为，点的运动轨迹为线段，
在旋转到的过程中，线段扫过的面积为，
，
，
，
，
在中，，，
△是等腰直角三角形，，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
；
故答案为：；．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（6分）（1）解不等式：．
（2）已知，求的值．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤进行计算即可；
（2）将原代数式化简整理后结合已知条件即可求得答案．
【解答】解：（1），
移项得：，
合并同类项得：；
（2），
．
18．（6分）小丁和小迪分别解方程过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“”；若错误，请在框内打“”，并写出你的解答过程．
【分析】根据解分式方程的步骤进行计算并判断即可．
【解答】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下：
，
两边同乘，去分母得：，
移项，合并同类项得：，
检验：将代入中可得：，
则是分式方程的解，
故原分式方程的解是．
19．（6分）如图，在菱形中，于点，于点，连结．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【分析】（1）欲证明，只需要证得即可；
（2）根据菱形的邻角互补和全等三角形的性质进行推理解答．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
，．
又于点，于点，
，
在与中，
．
．
；
（2）解：四边形是菱形，
．
而，
．
又，，
．
由（1）知，
．
．
是等边三角形．
．
20．（8分）观察下面的等式：，，，，
（1）写出的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出的结果；
（2）根据题目中给出的式子，可以得到；
（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1），
；
（2）由题意可得，
；
（3）
，
正确．
21．（8分）小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了，，三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：
（1）数据分析：
①求款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数；
②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按的比例统计，求款新能源汽车四项评分数据的平均数．
（2）合理建议：
请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由．
【分析】（1）①根据中位数的定义解答即可；②根据加权平均数的计算公式计算即可；
（2）根据加权平均数的意义解答即可．
【解答】解：（1）①款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为4667辆；
②款新能源汽车四项评分数据的平均数为（分；
（2）比如给出的权重时，、、三款汽车评分的加权平均数分别为67.8分，69.7分，65.7分，结合2023年3月的销售量，可选款．
22．（10分）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．
（1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图，此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到，参考数据：，，，，，
【分析】（1）过作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数的定义得到，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）如图2，过作的垂线分别交仰角、俯角线于．．交水平线于，根据三角函数的定义得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论．
【解答】解：（1）过作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，
在中，，
，
，，，
，
，
，
小杜最少需要下蹲厘米才能被识别；
（2）如图2，过作的垂线分别交仰角、俯角线于．．交水平线于，
在中，，
，
，，，
，
，
，
小若踮起脚尖后头顶的高度为，
小若头顶超出点的高度为：，
踮起脚尖小若能被识别．
23．（10分）在二次函数中．
（1）若它的图象过点，则的值为多少？
（2）当时，的最小值为，求出的值；
（3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围．
【分析】（1）将代入即可得；
（2）抛物线对称轴为．若，有，若，有，解方程并检验可得的值为；
（3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是．
【解答】解：（1）将代入得：
，
解得：；
（2）抛物线对称轴为．
若，当时函数取最小值，
，
解得；
若，当时函数取最小值，
，
解得（不符合题意，舍去）；
综上所述，的值为；
（3），都在这个二次函数的图象上，
二次函数的对称轴直线即为直线，
，
，
，
解得，
，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，
在中，令得，
抛物线与轴交点为，
关于对称轴直线的对称点为，
，
，
解得；
①当，都在对称轴左侧时，
随的增大而减小，且，
，
解得，
此时满足的条件为；
②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，
，
到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，
，
解得：，
此时满足的条件是，
综上所述，或．
24．（12分）已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点（其中点在圆内，且，．
（1）在图1中用尺规作出弦与点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结，猜想：当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出的长度；
（3）如图2，延长至点，使得，连结，的平分线交的延长线于点，点为的中点，连结．若，求证：．
【分析】（1）以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，与交点为，，与交点为，则，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，以为圆心，长为半径画弧与交点为，则，以为圆心，长为半径，交直线于，以，为圆心，大于长为半径画弧，交点为，连接，则，与交点为，，与交点为，即、点即为所求；
（2）如图2，连结，连接并延长交于，连结，，过作于，于，证明四边形是正方形，则可证是等腰直角三角形，则，由，可知，由是的直径，可得，则是等腰直角三角形，；
（3）如图3，延长、，交点为，由题意知是的中位线，则，，由，可得，证明，则，即，如图3，作的外接圆，延长交外接圆于点，连结、，由是的平分线，可得，则，证明，则，即，由，可得，进而结论得证．
【解答】（1）解：如图1，、点即为所求；
（2）：当弦的长度发生变化时，线段的长度不变；
如图，连结，连接并延长交于，连结，，过作于，于，则四边形是矩形，
，，
，
四边形是正方形，
，
，即，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是的直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
线段是定长，长度不发生变化，值为；
（3）证明：如图3，延长、，交点为，
，
点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，，
又，，
，
，
，
又，
，
，
即，
如图3，作的外接圆，延长交外接圆于点，连结、，
是的平分线，
，
，
，，，
，
，
，
，
．