2024学年辽宁省鞍山市立山区九年级下学期2月联考（二模）数学试题（原卷版+解析版）

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（本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟）
温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，答案要求见答题卡，否则不给分．
第一部分选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的知识点是根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟练掌握利用判别式判断一元二次方程根的方法．
利用根的判别式对方程根进行判断即可求解：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根．
【详解】解：一元二次方程中，，，，
，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
2. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】从上往下看得到的图形就是俯视图，可得答案．
【详解】解：根据题意得：
这个几何体的俯视图是： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上往下看得到的图形就是俯视图．
3. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解．
【详解】解：
移项得，
两边同时加上，即
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
4. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可．
【详解】解：由题意可设，
∴；
故选D．
5. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余田的面积为468列出方程即可．
【详解】解：设入口的宽度为x m，由题意得：
（30-2x）（20-x）=468．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
6. 如图，在中，弦，点C是圆上一点且，则的直径为（ ）

A. 3B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的定义．先由圆周角定理求出的度数，再由判断出是等腰直角三角形，据此计算可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∴的直径为6．
故选：D．
7. 已知A为二次函数图象上两点，且<<1，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数解析式得到函数图象的性质，开口向下，在对称轴左边，y随着x的增大而增大，从而得到因变量的大小关系．
【详解】解：二次函数的对称轴是直线，且开口向下，在对称轴左边，y随着x的增大而增大，
∵<<1，
∴，即．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据顶点式得出函数图象的性质．
8. 已知点和关于原点对称，则的值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了关于原点对称的点坐标的关系，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．根据这一条件就可以转化为方程问题解决，就可以得到关于，的方程，从而求得，的值．
根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是”这一结论求得，的值，再进行计算．
【详解】解：根据题意得：，，
解得：，．
则．
故选：A．
9. 二次函数的图象与x轴交于、两点，则关于x的方程的根为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键．
【详解】解：二次函数的图象与x轴交于、两点，
方程的根为，，
故选：D．
10. 如图，小明站在原点处，从离地面高度为的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则的值可以是（ ）
A. 7B. 9C. 10D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式，建立直角坐标系是解题的关键，根据点的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，的值，进而得到的取值范围，从而得到答案．
【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：，
∴，
∴解析式为：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：，
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，
∴其最大高度为：，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：，
∴对称轴为：，
∵点的坐标为，则点的坐标为，
∵圆柱形的高为，
当时，则，
解得：或（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，
∵筐底面半径为，直径为，，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，
∴，
∴选项B，满足，
故选：D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 如图，在中，，，，则______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形和直角三角形性质，能求出的长是解此题的关键．
根据三角函数值求出，，根据勾股定理求出，即可解答．
【详解】解：过点A作于D，

∵，
∴，则，，
在中，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴．
故答案为：．
12. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，得到共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光有2种等可能性，根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图得
，
由树状图得共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光应同时闭合，，故有2种等可能性，所以概率为．
故答案为：
【点睛】本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键．
13. 如图，，分别与切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接、，求出圆心角的度数，根据弧长公式，即可求解，
本题考查了切线的性质，弧长公式，解题的关键是：熟练掌握弧长公式．
【详解】解：连接、，

∵，分别与切于点，，
∴，，
∴，
在四边形中，，
∴，
故答案为：．
14. 如图，矩形中，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数的图象交边于点D，交边于点E，连接，，，若，且，，则k的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】证明，得出，设，则，设，则，设，则，得出，，根据点E与点D在反比例函数上，得出，求出，得出，根据，求出，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，设，则，设，则，
∴，，
∵点E与点D在反比例函数上，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，数形结合．
15. 如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点A，E，F，G按顺时针排列）．当正方形中的某一顶点落在直线．上时（不与点D重合），则正方形的面积为______．
【答案】20或80
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，正方形面积等，证明三角形全等是解决问题的关键．
分两种情况：当点F在直线上时，过点F作，交的延长线于M，可得是等腰直角三角形，得出，再证得，利用勾股定理可得：，正方形的面积为20；当点G在直线上时，过点G作，交的延长线于M，同理可求得答案．
【详解】当点F在直线上时，过点F作，交的延长线于M，
则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴正方形的面积为20．
当点G在直线上时，过点G作，交的延长线于M，如图，
同理可得：，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
中，，
∴正方形的面积为80．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：
（2）已知关于x的一元二次方程有实数根，若两根为，且，求m的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了特殊的三角函数值和根的判别式，正确进行二次根式的运算和解一元二次方程是关键．
（1）首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的运算即可．
（2）由方程有两个相等的实数根可得，设，，为一元二次方程两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：或3，再根据情况选出最终的结果．
【详解】解：（1）原式
（2）依题意可知该一元二次方程有实数根，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设，，为一元二次方程两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，
∴，即，
解得或3，
∵，
∴．
17. 在菱形中，为对角线，分别为边上的点，射线交的延长线于点，射线交的延长线于点，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，先根据菱形的性质得到，再利用，得到，可判断即可求证，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解题的关键．
【详解】证明：四边形为菱形，
，即，
，
，
，，
，
，
．
18. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是___________；
（2）在一次购物中，小明和小刚都想从“A：微信”、“B：支付宝”和“C：银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用列表或画树状图方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）根据题意列出表格，再根据概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，
故答案为；
【小问2详解】
解：所有可能出现的结果列表如下：
由表可知共有9种可能出现的结果，其中选择方式相同的有3种，
【点睛】此题主要考查概率，解题的关键是根据题意列出表格，再利用概率公式求解．
19. 图1，图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：，，，，，，，．请根据以上信息，解决下列问题．（结果精确到，参考数据：，，）
（1）求点D到所在直线的距离．
（2）求的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1) 过点D作于点N，交AE的延长线于点M，交BC的延长线于点P，过点C作于点H，通过解直角三角形及矩形的性质，即可求解；
(2)利用解直角三角形即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点D作于点N，交AE的延长线于点M，交BC的延长线于点P，过点C作于点H．
在中，
，，
．
在中，
，，
．
，，
四边形和四边形为矩形，
；
【小问2详解】
解：在中，
，，
．
，
在中， ，，
．
．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．
20. 某品牌钢笔进价为每支20元，经销商小周在销售中发现，每月销售量y（支）与销售单价x（元）之间满足一次函数，在销售中销售单价不低于进价．而每支钢笔的利润不高于进价的，设小周每月获得利润为w（元）．
（1）若小周某月获得的利润达到2000元，此时的销售单价为多少元？
（2）当销售单价定为每支多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少元？
【答案】（1）30元 （2）当销售单价定为每支32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用：
（1）根据利润单件利润销售量列出方程求解即可；
（2）根据利润单件利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意得，
整理得：
解得，
又，即，
，
答：想要某月获得的利润达到2000元，销售单价为30元．
【小问2详解】
解：由题意得
，
，，
当时，w随x的增大而增大，
当时，W最大
答：当销售单价定为每支32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元．
21. 如图，在中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角，以及同角的余角相等，证明，即可得证；
（2）由已知条件可得，然后利用勾股定理计算即可求解．
【小问1详解】
如图，连接，
，
．
，
．
，
．
又，
，
，即，
．
是半径，
是的切线．
【小问2详解】
解：连接，
为的直径，
，
，
，
在中
，，
，
在中
解得：，
【点睛】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形行，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22. 【发现问题】
一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．
【提出问题】
碗体（碗体的厚度忽略不计）上一点到碗底内部所在平面的距离与这一点到碗的中轴线（面碗的上、下两个底面圆的圆心所在直线）m的距离之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径cm，碗底直径cm，面碗的边沿上一点B到桌面EF的距离cm，碗足高cm．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以直线m为y轴的平面直角坐标系（如图3），从而求出y与x的关系式．
【解决问题】
（1）请你帮助小丽求出y与x的关系式；
（2）小丽向空面碗中倒入一些水，当水面宽度为时，求此时面碗中水的深度；
（3）小丽将（2）中面碗中的水倾倒至如图4所示，水面刚好与重合，直接写出此时面碗中水的最大深度．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际问题，解直角三角形，掌握待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，一元二次方程和二次函数的关系是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把自变量代入求出函数值即可解题；
（3）先求出直线的解析式，然后分和两种情况，分别利用解直角三角形解题即可．
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式为，
∵点B的坐标为，点D的坐标为，
∴代入得：，解得，
∴；
【小问2详解】
解：当时，，
∴此时面碗中水的深度为；
【小问3详解】
解：设的解析式为，把点和代入得：
，解得，
∴，
当时，如图，过点D作于点G，设与y轴交于点H，
∴则点的坐标为，
∴，
∴，，
∴面碗中水的最大深度；
当时，作与抛物线有且只有一个交点且平行于的直线交y轴于点N，过H作交平行线于点P，
则设的解析式为，
则有唯一解，即，
∴，解得，
∴点N的坐标为，
∴，
又∵，
∴，
∴这时最大深度为；
综上所述，时面碗中水的最大深度为．
23. 数学课上，王老师提出问题：如图，已知中，是边上中线，．探究边和的数量关系；同学们以小组为单位，在经历独立思考、小组讨论、汇报展示后，归纳得到以下种不同的方法．
方法（倍延中线）：如图，延长至点，使，连接．利用全等和等腰三角形的判定证出；
方法（利用角平分线性质）：如图，过点分别作于点，于点，利用角平分线性质和全等证出；
方法（平移）：如图，将沿射线方向平移得到，连接，设与交于点，利用全等或相似证出．
（1）特例感知：请完成方法（图）的探究过程；
（2）思维迁移：
如图，已知中，是边上的两点，且，连接，．猜想边和的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用：
如图，已知点是 内一点，连接，，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2），理由见解析；
（3）．
【解析】
【分析】（）证明，得到，进而可证明，得到，，由得到，推导出，，即得到，，即可证明；
（）．将沿直线方向平移到，连接，设交于点，同（）方法证明和，即可求证；
（）将沿方向平移到，连接，设与交于点，可得四边形为平行四边形，得到，，证明，得到即可求解．
【小问1详解】
证明：∵平移，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
即，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图，将沿直线方向平移到，连接，设交于点，
平移，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
即，
；
【小问3详解】
解：如图，将沿方向平移到，连接，设与交于点，
平移，
，，，，，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
．
【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等角对等边，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
A
A