2023年四川省巴中市中考数学试卷

这是一份2023年四川省巴中市中考数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列各数为无理数的是
A．0.618B．C．D．
2．（4分）如图所示图形中为圆柱的是
A．B．
C．D．
3．（4分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
4．（4分）下列说法正确的是
A．多边形的外角和为
B．
C．
D．可能性很小的事情是不可能发生的
5．（4分）一次函数的函数值随增大而减小，则的取值范围是
A．B．C．D．
6．（4分）某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是
A．传B．承C．文D．化
7．（4分）若满足，则代数式的值为
A．5B．7C．10D．
8．（4分）如图，是的外接圆，若，则
A．B．C．D．
9．（4分）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为
A．6B．8C．12D．16
10．（4分）如图，在中，，，、分别为、中点，连接、相交于点，点在上，且，则四边形的面积为
A．B．C．D．
11．（4分）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
当代数式的值为1时，则的值为
A．2B．C．2或4D．2或
12．（4分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，，，则下列结论正确的个数为
①．
②．
③当线段长取最小值时，则的面积为2．
④若点，则．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将正确答案直接写在答题卡相应的位置上）
13．（3分）在0，，，四个数中，最小的实数是 ．
14．（3分）已知为正整数，点在第一象限中，则 ．
15．（3分）这组数据1，3，5，2，8，13的中位数是 ．
16．（3分）关于的分式方程有增根，则 ．
17．（3分）如图，已知正方形和正方形，点在上，与交于点，，正方形的边长为8，则的长为 ．
18．（3分）规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”．例如：函数与互为“函数”．若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共84分．请将解答过程写在答题卡相应的位置上）
19．（16分）（1）计算：．
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值，其中的值是方程的根．
20．（10分）如图，已知等边，，为中点．以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．过点作交射线于点，连接、．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，求的面积．
21．（10分）2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书．某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查，将调查结果的数据分成、、、、五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．
（1）求统计图表中 ， ．
（2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为 ．
（3）该校每月末从每个班读书时间在等级的学生中选取2名学生参加读书心得交流会，九年级某班共有3名男生1名女生的读书时间在等级，现从这4名学生中选取2名参加交流会，用画树状图或列表的方法求该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的概率．
22．（10分）如图，已知等腰，，以为直径作交于点，过作于点，交延长线于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用表示）．
23．（12分）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，的横坐标为，的纵坐标为．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式的解集．
（3）将直线向上平移个单位，交双曲线于、两点，交坐标轴于点、，连接、，若的面积为20，求直线的表达式．
24．（12分）综合与实践．
（1）提出问题．如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点．
①的度数是 ．
② ．
（2）类比探究．如图2，在和中，，且，，连接、并延长交于点．
①的度数是 ；
② ．
（3）问题解决．如图3，在等边中，于点，点在线段上（不与重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，为的中点，为的中点．
①说明为等腰三角形．
②求的度数．
25．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
（3）若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．
2023年四川省巴中市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题号的答案标号涂黑）
1．（4分）下列各数为无理数的是
A．0.618B．C．D．
【分析】明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．
【解答】解：，
；；均为有理数，是无理数．
故选：．
2．（4分）如图所示图形中为圆柱的是
A．B．
C．D．
【分析】根据圆柱的特点进行判断即可．
【解答】解：由圆柱的特征可知，选项是圆柱．
故选：．
3．（4分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的乘法、合并同类项、完全平方公式、绝对值的性质计算，判断即可．
【解答】解：、与，不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
、，计算正确，符合题意；
、，故本选项计算错误，不符合题意；
、当时，，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：．
4．（4分）下列说法正确的是
A．多边形的外角和为
B．
C．
D．可能性很小的事情是不可能发生的
【分析】根据多边形的外角和等于，提公因式法分解因式，科学记数法的方法以及随机事件的定义逐一分析解答即可．
【解答】解：、多边形的外角和等于，故选项符合题意；
、，故选项不符合题意；
、，故选项不符合题意；
、可能性很小的事情是有可能发生的，故选项不符合题意．
故选：．
5．（4分）一次函数的函数值随增大而减小，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据一次函数的函数值随增大而减小得到，从而求出的取值范围．
【解答】解：一次函数的函数值随增大而减小，
，
，
故选：．
6．（4分）某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是
A．传B．承C．文D．化
【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，结合展开图很容易找到与“红”字所在面相对的面上的汉字．
【解答】解：根据图示知：“传”与“文”相对；
“承”与“色”相对；
“红”与“化”相对．
故选：．
7．（4分）若满足，则代数式的值为
A．5B．7C．10D．
【分析】首先将已知条件转化为，再利用提取公因式将转化为，然后整体代入即可得出答案．
【解答】解：，
，
．
故选：．
8．（4分）如图，是的外接圆，若，则
A．B．C．D．
【分析】由圆周角定理求得的度数，再根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理可得结论．
【解答】解：连接，
，
，
，
．
故选：．
9．（4分）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为
A．6B．8C．12D．16
【分析】设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据等量关系：底面数量侧面数量的2倍，列出方程组即可．
【解答】解：设用张卡纸做侧面，用张卡纸做底面，
由题意得，，
解得，
用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个．
故选：．
10．（4分）如图，在中，，，、分别为、中点，连接、相交于点，点在上，且，则四边形的面积为
A．B．C．D．
【分析】连接，由、分别为、中点，可得，，即得，故，，可得，故，又，，可得，从而，
【解答】解：连接，如图：
、分别为、中点，
是的中位线，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
四边形的面积为，
故选：．
11．（4分）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
当代数式的值为1时，则的值为
A．2B．C．2或4D．2或
【分析】观察题中的图表，表示出，根据已知代数式的值为1，确定出的值即可．
【解答】解：根据题意得：，
，
，
开四次方得：或，
解得：或4．
故选：．
12．（4分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，，，则下列结论正确的个数为
①．
②．
③当线段长取最小值时，则的面积为2．
④若点，则．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由题意，将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解．
【解答】解：由题意得，满足方程；，满足方程．
依据根与系数的关系得，，，，，
①、②正确．
由两点间距离公式得，．
当时，最小值为4．
．
③正确．
由题意，，，
．
当时，；当是，与不垂直．
④错误．
故选：．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．将正确答案直接写在答题卡相应的位置上）
13．（3分）在0，，，四个数中，最小的实数是 ．
【分析】先计算，然后根据实数的大小比较法则比较各个实数即可得出最小的实数．
【解答】解：，
，
即，
最小的实数是，
故答案为：．
14．（3分）已知为正整数，点在第一象限中，则 1 ．
【分析】根据平面直角坐标系中第一象限内的点的横、纵坐标都为正数，得到，即可求出的取值范围，再根据为正整数即可得到的值．
【解答】解：点在第一象限，
，
，
又为正整数，
．
故答案为：1．
15．（3分）这组数据1，3，5，2，8，13的中位数是 4 ．
【分析】先将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为1，2，3，5，8，13，
所以这组数据的中位数为，
故答案为：4．
16．（3分）关于的分式方程有增根，则 ．
【分析】先去分母，再根据增根的意义列方程求解．
【解答】解：方程两边同乘得：，
由题意得：是该整式方程的解，
，
解得：，
故答案为：．
17．（3分）如图，已知正方形和正方形，点在上，与交于点，，正方形的边长为8，则的长为 10 ．
【分析】根据同角的余角相等可得，进而得到，在中，，于是可求得，，在中，，于是可求得，在中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：四边形、均为正方形，
，
，
，
，
，
正方形的边长为8，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，．
故答案为：10．
18．（3分）规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”．例如：函数与互为“函数”．若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为 或 ．
【分析】根据关于轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求出它的“函数”图象与轴的交点坐标．
【解答】解：当时，函数解析式为，
它的“函数”解析式为，它们的图象与轴都只有一个交点，
它的“函数”图象与轴的交点坐标为；
当时，此函数为二次函数，
若二次函数的图象与轴只有一个交点，
则二次函数的顶点在轴上，
即，
解得，
二次函数的解析式为，
它的“函数”解析式为，
令，
则，
解得，
二次函数的“函数”图象与轴的交点坐标为，
综上，它的“函数”图象与轴的交点坐标为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7个小题，共84分．请将解答过程写在答题卡相应的位置上）
19．（16分）（1）计算：．
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值，其中的值是方程的根．
【分析】（1）根据绝对值的定义，负整数指数幂，特殊角的三角函数，计算即可；
（2）根据不等式组的解法解不等式组即可；
（3）根据整式的混合运算化简后代入的值计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）解不等式①得，；
解不等式②得，，
原不等式组的解集为；
（3）
，
解方程得，，
，
，
，
原式．
20．（10分）如图，已知等边，，为中点．以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．过点作交射线于点，连接、．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，求的面积．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到是的中点，求得是等边三角形，得到，由作图知，平分，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到，，，根据菱形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：是等边三角形，
，，
，
，
为中点．
，
，
是等边三角形，
，
由作图知，平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：是等边三角形，，
，，，
，
，
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
，
．
21．（10分）2023年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书．某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查，将调查结果的数据分成、、、、五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．
（1）求统计图表中 6 ， ．
（2）已知该校共有2800名学生，试估计该校每周读书时间至少3小时的人数为 ．
（3）该校每月末从每个班读书时间在等级的学生中选取2名学生参加读书心得交流会，九年级某班共有3名男生1名女生的读书时间在等级，现从这4名学生中选取2名参加交流会，用画树状图或列表的方法求该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的概率．
【分析】（1）先根据等级人数及其所占百分比求出样本容量，再根据各等级人数之和等于总人数可求得的值，用等级人数除以总人数看求得的值；
（2）用总人数乘以样本中、组人数和占被调查人数的比例即可得出答案；
（3）列表得出所有等可能结果，从表格中找到选出1名男生1名女生参加交流会的结果，再根据概率公式列式计算即可．
【解答】解：（1）样本容量为，
，
，即，
故答案为：6，40；
（2）估计该校每周读书时间至少3小时的人数为（人，
故答案为：1120人；
（3）根据题意列表如下：
由表格可知，共有12种等可能出现的结果，其中该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的结果有6种，
所以该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的概率为．
22．（10分）如图，已知等腰，，以为直径作交于点，过作于点，交延长线于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用表示）．
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质证明，进而可以得到结论；
（2）连接，根据勾股定理求出，根据锐角三角函数可得，然后证明是的中位线，求出，根据阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积，代入值即可．
【解答】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，
设的半径为，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，为的中点，
是的中位线，
是中点，
，
是的的直径，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积
．
23．（12分）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，的横坐标为，的纵坐标为．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式的解集．
（3）将直线向上平移个单位，交双曲线于、两点，交坐标轴于点、，连接、，若的面积为20，求直线的表达式．
【分析】（1）利用利用反比例函数中心对称性，可求出、的坐标，进而可求出反比例函数的表达式；
（2）观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集；
（3）方法一：连接，作轴于点，求得直线的解析式，根据平行线间的距离相等得出，即可求得，从而求得直线为．
方法二：连接，作轴于，求得直线的解析式，根据平行线间的距离相等得出，即可求得，，从而求得直线为．
【解答】解：（1）正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
、关于原点对称，
的横坐标为，的纵坐标为，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
，
反比例函数的表达式为；
（2）观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，
不等式的解集为或；
（3）方法一：连接，作轴于点，
在直线上，
，解得，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
，
直线为．
方法二：
连接，作轴于，
在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，，
设直线的表达式为，
代入点的坐标得，
解得，
直线为．
24．（12分）综合与实践．
（1）提出问题．如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点．
①的度数是 ．
② ．
（2）类比探究．如图2，在和中，，且，，连接、并延长交于点．
①的度数是 ；
② ．
（3）问题解决．如图3，在等边中，于点，点在线段上（不与重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，为的中点，为的中点．
①说明为等腰三角形．
②求的度数．
【分析】（1）（2）从图形可辩知，这个是手拉手全等或相似模型，按模型的相关结论解题．
（3）稍有变化，受前两问的启发，连接、完成手拉手的构造，再结合三角形中位线知识解题．
【解答】解：（1）①，
，
．
又，，
．
，
，
，
，
即：，
．
故的度数是．
②由①得，
．
故．
（2）①，，
，
又，
，
，．
，
．
，
，
．
故 的度数是．
②由①得：．
，
，且，
，
．
．
（3）①解：连接、，延长交于点，交于点．
在等边中，又于点，
为的中点，
又为的中点，为的中点，
、分别是在、的中位线，
，．
，
．
．
在和中，
，
．
．
．
为等腰三角形．
②，
，
由（1）（2）规律可知：，
，
又，，
．
25．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
（3）若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线顶点横坐标，可得出抛物线的对称轴为直线，结合点的坐标，可得出抛物线与轴另一交点的坐标，结合点的坐标，再利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；
（2）由“直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点”，可得出点，的坐标，进而可得出，的值，代入中，可得出，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为，利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，假设存在以，，，为顶点的平行四边形，设点的坐标为，点的坐标为，分为对角线、为对角线及为对角线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于的一元一次方程，解之可得出值，再将其代入点的坐标中，即可得出结论．
【解答】解：（1）抛物线的顶点横坐标为1，
抛物线的对称轴为直线．
点的坐标为，
抛物线与轴的另一交点坐标为．
将，，代入得：，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
，且，
当时，有最大值，最大值为；
（3），
抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为．
当时，，
点的坐标为，．
假设存在以，，，为顶点的平行四边形，设点的坐标为，点的坐标为．
①当为对角线时，对角线，互相平分，
，
解得：，
点的坐标为，；
②当为对角线时，对角线，互相平分，
，
解得：，
点的坐标为，；
③当为对角线时，对角线，互相平分，
，
解得：，
点的坐标为，．
综上所述，存在以，，，为顶点的平行四边形，点的坐标为，或，或，．
等级
周平均读书时间（单位；小时）
人数
4
20
15
5
等级
周平均读书时间（单位；小时）
人数
4
20
15
5
男1
男2
男3
女
男1
男2男1
男3男1
女男1
男2
男1男2
男3男2
女男2
男3
男1男3
男2男3
女男3
女
男1女
男2女
男3女