2023年浙江省杭州市中考数学试卷

这是一份2023年浙江省杭州市中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为
A．B．C．D．
2．（3分）
A．0B．2C．4D．8
3．（3分）分解因式：
A．B．C．D．
4．（3分）如图，矩形的对角线，相交于点．若，则
A．B．C．D．
5．（3分）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则
A．2B．3C．4D．5
6．（3分）如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．若，则
A．B．C．D．
7．（3分）已知数轴上的点，分别表示数，，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是
A．B．
C．D．
8．（3分）设二次函数，，是实数），则
A．当时，函数的最小值为
B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为
D．当时，函数的最小值为
9．（3分）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，，投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是
A．中位数是3，众数是2B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2D．平均数是3，众数是2
10．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则
A．5B．4C．3D．2
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算： ．
12．（4分）如图，点，分别在的边，上，且，点在线段的延长线上．若，，则 ．
13．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ．
14．（4分）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．
15．（4分）在“探索一次函数的系数，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：，，．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，，．分别计算，，的值，其中最大的值等于 ．
16．（4分）如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①，；②，；③，；④，．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
18．（8分）某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生调查，把收集的数据按照，，，四类表示仅学生参与；表示家长和学生一起参与；表示仅家长参与；表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图．
（3）已知该校共有1000名学生，估计类的学生人数．
19．（8分）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积等于2，求的面积．
20．（10分）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
（1）求，的值．
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
21．（10分）在边长为1的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．
（1）若，求的长．
（2）求证：．
（3）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．
22．（12分）设二次函数，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
（1）若，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
（2）若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
23．（12分）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，，，作于点，交线段于点（不与点，重合），连接．
（1）若，求的长．
（2）求证：．
（3）若，猜想的度数，并证明你的结论．
2023年浙江省杭州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】解：，
故选：．
2．（3分）
A．0B．2C．4D．8
【分析】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算加法即可．
【解答】解：．
故选：．
3．（3分）分解因式：
A．B．C．D．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：
．
故选：．
4．（3分）如图，矩形的对角线，相交于点．若，则
A．B．C．D．
【分析】先证是等边三角形，可得，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：．
5．（3分）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据点的平移规律可得先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点，再根据点的横坐标和纵坐标相等即可求出答案．
【解答】解：把点先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点．
点，
点的横坐标和纵坐标相等，
，
．
故选：．
6．（3分）如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．若，则
A．B．C．D．
【分析】连接，根据圆周角定理可求解的度数，结合垂直的定义可求解 的度数，再利用圆周角定理可求解．
【解答】解：连接，
，
，
半径，互相垂直，
，
，
，
故选：．
7．（3分）已知数轴上的点，分别表示数，，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据，的范围，可得的范围，从而可得点在数轴上的位置，从而得出答案．
【解答】解：，，
，
即，
那么点应在和0之间，
则，，不符合题意，符合题意，
故选：．
8．（3分）设二次函数，，是实数），则
A．当时，函数的最小值为
B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为
D．当时，函数的最小值为
【分析】令，求出二次函数与轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入的值进行判断即可．
【解答】解：令，则，
，，
二次函数与轴的交点坐标是，，
二次函数的对称轴是：，
，
有最小值，
当时最小，
即，
当时，函数的最小值为；
当时，函数的最小值为，
故选：．
9．（3分）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，，投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是
A．中位数是3，众数是2B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2D．平均数是3，众数是2
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
【解答】解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故选项不合题意；
当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故选项不合题意；
当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：2，2，2，3，此时方差，因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故选项符合题意；
当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故选项不合题意；
故选：．
10．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形，，，和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则
A．5B．4C．3D．2
【分析】设，，则，，解直角三角形可得，化简可得，，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得；，进而可求解的值．
【解答】解：设，，则，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算： ．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
12．（4分）如图，点，分别在的边，上，且，点在线段的延长线上．若，，则 ．
【分析】由平行线的性质得到，由三角形外角的性质得到．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
13．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 9 ．
【分析】根据红球的概率公式，列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意，，
解得，
经检验是方程的解．
．
故答案为：9．
14．（4分）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 2 ．
【分析】连接，，，首先证明出 是的内接正三角形，然后证明出，得到，进而求解即可．
【解答】解：如图所示，连接，，．
六边形是的内接正六边形，
，
是的内接正三角形，
，，
，
，
，
，
同理可得，，
又，
，
，
圆和正六边形的性质可得，，
由圆和正三角形的性质可得，，
，
，
故答案为：2
15．（4分）在“探索一次函数的系数，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：，，．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，，．分别计算，，的值，其中最大的值等于 5 ．
【分析】利用待定系数法求出分别求出，，，，，的值，再计算，，的值，最后比较大小即可得到答案．
【解答】解：设直线的解析式为，
将点，代入得，，
解得：，
，
设直线的解析式为，
将点，代入得，，
解得：，
，
设直线的解析式为，
将点，代入得，，
解得：，
，
，，，其中最大的值为5．
故答案为：5．
16．（4分）如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．
【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值．
【解答】解：点和点关于直线对称，
，
，
，
，
，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
，，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①，；②，；③，；④，．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【分析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得，由此可知、的值可在①②③中选取，然后求解方程即可．
【解答】解：使这个方程有两个不相等的实数根，
，即，
②③均可，
选②解方程，则这个方程为：，
，
，；
选③解方程，则这个方程为：，
，．
18．（8分）某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生调查，把收集的数据按照，，，四类表示仅学生参与；表示家长和学生一起参与；表示仅家长参与；表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图．
（3）已知该校共有1000名学生，估计类的学生人数．
【分析】（1）由类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）结合（1）的结论求出类的人数，进而补全条形统计图；
（3）总人数乘以样本中类别人数所占比例．
【解答】解：（1）（名，
答：在这次抽样调查中，共调查了200名学生；
（2）样本中类的人数为：（名，
补全条形统计图如下：
（3）（名，
答：估计类的学生人数约600名．
19．（8分）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积等于2，求的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质可求解．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
的面积．
20．（10分）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
（1）求，的值．
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
【分析】（1）首先将点的横坐标代入 求出点的坐标，然后代入 求出 然后将点的纵坐标代入 求出，然后代入，即可求出；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点和点的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．
【解答】（1）解：点的横坐标是2，
将代入，
，
将代入 得：，
，
点的纵坐标是，
将代入 得，，
，．
将，代入得：，
解得：．
．
（2）证明：如图所示，
由题意可得：，，，
设所在直线的表达式为，
，
解得：，
所在直线的表达式为，
当时，，
直线经过原点．
21．（10分）在边长为1的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．
（1）若，求的长．
（2）求证：．
（3）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．
【分析】（1）通过证明，由相似三角形的性质可求解；
（2）通过证明，可得，可得结论；
（3）设，则，，由勾股定理可求解．
【解答】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
又，
，
，
；
（3）解：设，则，，
在中，，
，
，
．
22．（12分）设二次函数，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
（1）若，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
（2）若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；
②利用二次函数的性质得出结论；
（2）根据题意，由，得出，则二次函数为，得出，解得．
【解答】解：（1）①由题意得，
解得，
二次函数的表达式是；
②，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小；
（2）和时的函数值都是1，
抛物线的对称轴为直线，
是顶点，和关于对称轴对称，
若在，，这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且，
，
，
二次函数为，
，
．
23．（12分）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，，，作于点，交线段于点（不与点，重合），连接．
（1）若，求的长．
（2）求证：．
（3）若，猜想的度数，并证明你的结论．
【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明，可得；
（2）证明，根据对应边成比例可得，再根据，，可证；
（3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则．
【解答】（1）解：直径垂直弦，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
；
（3）解：，证明如下：
如图，连接，
，
，
直径垂直弦，
，，
，
，
，
设，，
则，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
，
．
0
1
2
3
1
1
0
1
2
3
1
1