江西省全南中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在平面直角坐标系中，过点（2，0）且斜率为﹣1的直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】求出直线方程后再求出它与坐标轴的交点即可确定．
【详解】由题意直线方程为，即，它与坐标轴的交点为，因此直线不过第三象限．
2. 记等差数列的前项和为，则（ ）
A．180 B．160 C．140 D．120
【考查目标】等差数列通项公式及前n项和公式
【解题思路】公式应用
【命题考向趋势】等差数列通项公式及前n项和公式综合运用
【备考复习建议】对等差数列通项公式及前n项和公式的理解
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，
所以
3. 已知空间向量，若，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【分析】根据空间向量运算的坐标表示进行计算即可.
【详解】由题意可得，因为，所以，解得.
4. 在下列四个正方体中，能得出的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由线面垂直的性质可判断A，根据异面直线所成角的计算可判断BCD.
【详解】对A，如图，连接，则在正方体中，，又平面，平面，则，，平面，平面，，故A正确；

对B，如图，连接，易得，则为异面直线所成角，，故不垂直，故B错误；

对C，如图，，则为异面直线所成角，易得，故不垂直，故C错误；

对D，如图，，则为异面直线所成角，显然，故不垂直，故D错误.

故选：A.
5. 在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：种；
每个地区至少安排1名专家的安排方法有：种；
由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：.
6. 小王经营了一家小型餐馆，自去年疫情管控宣布结束后的第1天开始，经营状况逐步有了好转，该店第一周的营业收入数据（单位：百元）统计如下：
其中第4天和第6天的数据由于某种原因造成模糊，但知道7天的营业收入平均值是23，已知营业收入y与天数序号x可以用经验回归直线方程拟合，且第7天的残差(残差＝实际值－预估值)是，则的值是（ ）
A．10.4B．6.2C．4.2D．2
【答案】A
【分析】根据残差的定义求出，结合样本中心点满足回归方程，列方程组求出，，由此可得结论.
【详解】由残差得，即，
所以①，
又，，因为回归直线经过中心点，
所以②，
联立①②解得，,
所以，
7. 点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（λ为任意实数）的距离的最大值为（ ）
A．B．C．6D．5
【答案】C
【分析】先求出直线的定点，再根据两点间距离公式求圆心到定点距离，最后可求圆上点到直线的最大距离.
【详解】将直线方程变形为l：，由,解得直线过定点，
P在单位圆上运动, 圆,圆的半径
故原点到直线l距离的最大值为，
则P点到直线l的距离的最大值为.
8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如图，不妨设点P为与双曲线渐近线平行的直线与双曲线的交点.
由已知结合双曲线的定义可得，
所以，，，，且为锐角.
又，，
所以，.
又，
在中，由余弦定理可得
，
整理可得，，
所以，.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知圆C方程为，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆C的圆心坐标为B．圆C的半径为3
C．圆C与直线相切D．点在圆外
【答案】BCD
【分析】由圆的标准方程可判断A，B；由圆心到直线的距离与半径比较可判断C；将点代入圆的方程可判断D.
【详解】已知圆C方程为，
故圆C的圆心坐标为，半径为3，
故A错误；B正确；
圆C到直线的距离为，故C正确；
点代入圆C方程为，故点在圆外，故D正确.
10. 一个装有6个小球的口袋中，有编号为1，3的两个红球，编号为2，4的两个蓝球，编号为5，6的两个黑球．现从中任意取出两个球，设事件A＝“取出的两球颜色相同”，B＝“取出的两球编号之差的绝对值为1”，C＝“取出的两球编号之和为6或7”，D＝“取出的两球编号乘积为5”，则下列说法正确的是（ ）．
A．事件A与事件B相互独立B．事件A与事件C相互独立
C．事件B与事件C相互独立D．事件B与事件D互斥
【答案】ABD
【分析】列出6个小球任意取出两个球的全部结果，从而可以求解事件的概率，再结合互斥事件与独立事件的定义即可判断.
【详解】根据题意可知，6个小球任意取出两个球，共有15种可能，分别为.
事件包含3种可能，即；
事件包含5种可能，即；
事件包含5种可能，即；
事件包含1种可能，即.
事件分别为 各1种可能，
对于A，，A对；
对于B，，B对；
对于C，，错；
对于D，事件与事件不能同时发生，故事件与事件互斥，对.
11. 在数学课堂上，教师引导学生构造新数列，在数列的每相邻两项之间插入此两项的和后，与原数列构成新的数列，再把所得的数列按照同样的方法不断的构造出新的数列.如：将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列1，，，，…，2现将数列1，1用上述方法进行构造，记第次构造后所得新数列的所有项的和为，则对于数列，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若， ，则的最小值为21
D．若，则
【答案】BD
【分析】通过计算求出的值可判断A；运用归纳法得到之间的关系可判断B；由递推关系求出数列，代入，求的最小值可判断C；由，结合等比数列的前项和可判断D.
【详解】解：由题意可知，第1次得到数列1，2，1，
第2次得到数列1，3，2，3，1，
第3次得到数列1，4，3，5，2，5，3，4，1，
第4次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，7，5，8，3，7，4，5，1，
由题意得：，
所以有，因此选项A不正确，B正确；
，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
因此有，
，
令，所以，
由双勾函数的性质知：在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
当时，的最小值为，
因此选项C不正确；
因为，所以，
所以，
所以
，所以选项D正确，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若互不相等的实数a，b，c成等差数列，且a是b与c的等比中项，，则
【答案】－4
【分析】可设，（其中d为公差），解方程组即得解.
【详解】解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设，（其中d为公差），
由题设得解方程组得或因为，
所以，，所以．
13. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 .
【答案】
【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，母线长为，
则球的体积为，所以，
所以圆柱表面积为.
14. 已知平面直角坐标系中，曲线上的点到定直线的距离与到定点的距离相等，为曲线上一点，过点作，垂足为.若，则 .
【答案】
【分析】根据抛物线定义求出曲线方程，根据题中几何关系得到是等边三角形，再根据几何关系求出边长，继而得到点P的坐标，最后得出答案.
【详解】由题意曲线为抛物线，不妨设点在第二象限，
由抛物线定义可得，又，所以是等边三角形.
所以，则，则，，
则.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项
解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2,
∴an=5n－3.
16．（15分）
某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
【解】（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，
可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以.
（2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，则有：
，
，
可得的分布列为
所以.
17. （15分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
∠ABC＝∠BCD＝900，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝4，CD＝3，
M为侧棱PC的中点。
求点D到平面PBC的距离。
求二面角M－AD－B的正切值。
解：（1）由平面，可得
令点到平面的距离为，则
由，可得
则
由，可得：
由平面，可得，则
则，即点到平面的距离为
（2）设为的中点，过作交于，连结
是的中点，平面
平面，
为二面角的一个平面角
又，
且，可得
则
即二面角的正切值为
说明：也可以利用向量法!
18. （17分）
已知椭圆：过点（1，233），它的右焦点与点Q（2，－2）所在直线的斜率为－2。
（1）求椭圆的方程；
（2）若过Q的直线 l 与椭圆交于A、B两点，点P（3，0），直线PA，PB分别交椭圆于点M、N，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
解：（1）由题意可设椭圆的半焦距为，且椭圆的右焦点为
由题意得：解得
所以的方程为：
（2）设的方程为，
设，
则直线的方程为
由可得
结合，可得
可得，解得
代入，解得
同理可得
故
，
故直线的斜率是定值，且定值为2
19. （17分）
今有一个“数列过滤器”，它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列，每次“过滤”会删去数列中除以余数为的项，将这样的操作记为操作.设数列是无穷非减正整数数列.
（1）若，进行操作后得到，设前项和为
①求．
②是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由．
（2）若，对进行与操作得到，再将中下标除以4余数为0，1的项删掉最终得到证明：每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和．
【解】（1）①由知：当时，故．
则．
②解：假设存在，由单调递增，不妨设
化简得，显然左式为偶数，右式为奇数，矛盾，故不存在．
（2）易知，
所以保留，则．
又，将删去，
得到，则
也即．
记，下面证明：．
由，
知：
，
同理可得：，
合并以上四式，便证明了对任意的，都有．
因此，原命题得证．天数序号x
1
2
3
4
5
6
7
营业收入y
11
13
18
※
28
※
35
0
1
2
3