最新中考数学一轮高频考点+精讲精练 专题20 四边形

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3、要注重总结规律，加强解题后的反思。通过模拟练习题，找出复习重点和自身的薄弱点，认真总结解题的规律方法，切忌不要闷头做题。
专题20 四边形
一、多边形内角与外角
【高频考点精讲】
1、多边形内角和等于（n﹣2）•180°，其中n≥3且n为整数。
推导方法：从n边形的一个顶点出发，引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，
则（n﹣2）个三角形的所有内角之和就是n边形的内角和。
（2）思想方法：将多边形转化为三角形。
2、多边形外角和等于360°。
（1）多边形的外角：每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角。
（2）推导方法：多边形外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°。
（3）思想方法：邻补角概念以及多边形内角和定理。
【热点题型精练】
1．（2022•大连中考）六边形内角和的度数是（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
解：六边形的内角和的度数是（6﹣2）×180°＝720°．
答案:D．
2．（2022•烟台中考）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）
A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，
∴设这个外角是x°，则内角是3x°，
根据题意得：x+3x＝180，
解得：x＝45，
360°÷45°＝8（边），
答案:C．
3．（2022•河北中考）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ）
A．α﹣β＝0B．α﹣β＜0
C．α﹣β＞0D．无法比较α与β的大小
解：∵任意多边形的外角和为360°，
∴α＝β＝360°．
∴α﹣β＝0．
答案:A．
4．（2022•南充中考）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（ ）
A．AE＝AFB．∠EAF＝∠CBFC．∠F＝∠EAFD．∠C＝∠E
解：在正五边形ABCDE中内角和：180°×3＝540°，
∴∠C＝∠D＝∠E＝∠EAB＝∠ABC＝540°÷5＝108°，
∴D不符合题意；
∵以AB为边向内作正△ABF，
∴∠FAB＝∠ABF＝∠F＝60°，AF＝AB＝FB，
∵AE＝AB，
∴AE＝AF，∠EAF＝∠FBC＝48°，
∴A、B不符合题意；
∴∠F≠∠EAF，
∴C符合题意；
答案:C．
5．（2022•眉山中考）一个多边形外角和是内角和的29，则这个多边形的边数为 11 ．
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意可得：29×(n−2)×180°=360°，
解得：n＝11，
答案:11．
6．（2022•株洲中考）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝ 48 度．
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB=(5−2)×180°5=108°，
∵∠EAB是△AEO的外角，
∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，
答案:48．
7．（2022•遂宁中考）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为 4 ．
解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝120°，
∴∠HAF＝60°，
∵∠AHF＝90°，
∴∠AFH＝30°，
∴AF＝2AH，
∴x＝2（6﹣x），
解得x＝4，
∴AB＝4，
即正六边形ABCDEF的边长为4，
答案:4．
8．（2022•攀枝花中考）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为（n﹣2）•180°”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE的内角和为540°．
解：连接AD，AC，
∴五边形ABCDE的内角和等于△AED，△ADC，△ABC的内角和，
∴五边形ABCDE的内角和＝180°×3＝540°．
二、平行四边形的性质与判定
【高频考点精讲】
1、平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边相等。
（2）平行四边形的对角相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）平行四边形的面积
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的乘积。
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。
平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【热点题型精练】
9．（2022•朝阳中考）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（ ）
A．100°B．80°C．70°D．60°
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠AEG＝∠EGC，
∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，
∴∠GEF＝30°，
∴∠GEA＝80°，
∴∠EGC＝80°．
答案:B．
10．（2022•河北中考）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、80°+110°≠180°，故A选项不符合条件；
B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
答案:D．
11．（2022•益阳中考）如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
解：在▱ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
答案:C．
12．（2022•无锡中考）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则EDCD的值是（ ）
A．23B．12C．32D．22
解：如图，过点B作BH⊥AD于H，
设∠ADB＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝∠ADB＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DBA＝∠DAB=180°−x2，
∴x+180°−x2=105°，
∴x＝30°，
∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，
∵BH⊥AD，
∴BD＝2BH，DH=3BH，
∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，
∴∠AEB＝45°，
∴∠AEB＝∠EBH＝45°，
∴EH＝BH，
∴DE=3BH﹣BH＝（3−1）BH，
∵AB=BH2+AH2=BH2+(2BH−3BH)2=（6−2）BH＝CD，
∴DECD=22，
答案:D．
13．（2022•广州中考）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则△BOC的周长为 21 ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC=12AC，BO＝OD=12BD，AD＝BC＝10，
∵AC+BD＝22，
∴OC+BO＝11，
∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝11+10＝21．
答案:21．
14．（2022•常德中考）如图，已知F是△ABC内的一点，FD∥BC，FE∥AB，若▱BDFE的面积为2，BD=13BA，BE=14BC，则△ABC的面积是 12 ．
解：连接DE，CD，
∵四边形BEFD为平行四边形，▱BDFE的面积为2，
∴S△BDE=12S▱BDFE＝1，
∵BE=14BC，
∴S△BDC＝4S△BDE＝4，
∵BD=13BA，
∴S△ABC＝3S△BDC＝12，
答案:12．
15．（2022•苏州中考）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 10 ．
解：∵AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，
∴BC=AB2+AC2=5，
由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，AF＝CF，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠B+∠ACB＝∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠B＝∠BAE，
∴AE＝BE，
∴AE＝CE=12BC＝2.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠ACD＝∠BAC＝90°，
同理证得AF＝CF＝2.5，
∴四边形AECF的周长＝EC+EA+AF+CF＝10，
答案:10．
16．（2022•无锡中考）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：（1）△DOF≌△BOE；
（2）DE＝BF．
证明：（1）∵点O为对角线BD的中点，
∴OD＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，
∴∠DFE＝∠BEF，
在△DOF和△BOE中，
∠DFO=∠BEO∠DOF=∠BOEDO=BO，
∴△DOF≌△BOE（AAS）．
（2）∵△DOF≌△BOE，
∴DF＝EB，
∵DF∥EB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE＝BF．
17．（2022•毕节中考）如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长．
（1）证明：∵∠BCA＝∠CAD，
∴AD∥BC，
在△AOD与△COB中，
∠BCA=∠CADAO=CO∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：连接DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC=12AC＝8，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OD，
∴DO＝DC，
∵点F是OC的中点，
∴OF=12OC＝4，DF⊥OC，
∴AF＝OA+OF＝12，
在Rt△AFD中，DF=AD2−AF2=152−122=9，
∴点G是AD的中点，∠AFD＝90°，
∴DG＝FG=12AD＝7.5，
∵点E，点F分别是OB，OC的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
∴EF=12BC＝7.5，EF∥BC，
∴EF＝DG，EF∥AD，
∴四边形GEFD是平行四边形，
∴GE＝DF＝9，
∴△EFG的周长＝GE+GF+EF＝9+7.5+7.5＝24，
∴△EFG的周长为24．
三、菱形的性质与判定
【高频考点精讲】
1、菱形的性质
（1）菱形具有平行四边形的一切性质。
（2）菱形的四条边都相等。
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（4）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式。
②菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）
2、菱形的判定
（1）四条边都相等的四边形是菱形。
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（4）对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
【热点题型精练】
18．（2022•自贡中考）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（ ）
A．（5，﹣2）B．（2，﹣5）C．（2，5）D．（﹣2，﹣5）
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，
∵点A（﹣2，5），
∴点C的坐标是（2，﹣5）．
答案:B．
19．（2022•襄阳中考）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
答案:D．
20．（2022•淄博中考）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（ ）
A．16B．67C．127D．30
解：连接AC交BD于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，
∵E为AD边的中点，
∴DE＝2，
∵∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE＝2，
∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠BCF，
∵∠DFE＝∠BFC，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BF＝BC＝4，
∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，
∴OB＝OD＝3，
在Rt△BOC中，OC=42−32=7，
∴AC＝2OC＝27，
∴菱形ABCD的面积=12AC•BD=12×27×6＝67．
答案:B．
21．（2022•湘西州中考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为323，则CD的长为（ ）
A．4B．43C．8D．83
解：∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OC＝OA=12AC，AC⊥BD，
∴OH＝OB＝OD=12BD（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴OD＝4，BD＝8，
由12AC⋅BD=323得，
12×8⋅AC=323，
∴AC＝83，
∴OC=12AC=43，
∴CD=OC2+OD2=8，
答案：C．
22．（2022•德州中考）如图，线段AB，CD端点的坐标分别为A（﹣1，2），B（3，﹣1），C（3，2），D（﹣1，5），且AB∥CD，将CD平移至第一象限内，得到C′D′（C′，D′均在格点上）．若四边形ABC′D′是菱形，则所有满足条件的点D′的坐标为 （3，5）或（2，6） ．
解：如图，
∵A（﹣1，2），B（3，﹣1），C（3，2），D（﹣1，5），
∴AB∥CD，AB＝CD＝5，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AD′＝AB＝5，
当点D向右平移4个单位，即D′（3，5）时，AD′＝5，
当点D向右平移3个单位，向上平移1个单位，即D′（2，6）时，AD′＝5，
答案:（3，5）或（2，6）．
23．（2022•辽宁中考）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝43，则四边形CEDF的周长是 16 ．
解：连接EF交CD于O，如图：
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠FCD＝∠ECD，
∵DE∥AC，
∴∠FCD＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∴CE＝DE，
∴四边形CEDF是菱形，
∴CD⊥EF，∠ECD=12∠ACB＝30°，OC=12CD＝23，
在Rt△COE中，
CE=OCcs30°=2332=4，
∴四边形CEDF的周长是4CE＝4×4＝16，
答案:16．
24．（2022•哈尔滨中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为 25 ．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，
∴AE=AO2+EO2=9+16=5，
∴BE＝AE＝5，
∴BO＝8，
∴BC=BO2+CO2=64+16=45，
∵点F为CD的中点，BO＝DO，
∴OF=12BC＝25，
答案:25．
25．（2022•温州中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N在对角线AC上．若AE＝3BE，则MN的长为 32 ．
解：连接DB交AC于点O，作MI⊥AB于点I，作FJ⊥AB交AB的延长线于点J，如图1所示，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝1，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝1，∠BAC＝30°，AC⊥BD，
∵△ABD是等边三角形，
∴OD=12，
∴AO=AD2−DO2=12−(12)2=32，
∴AC＝2AO=3，
∵AE＝3BE，
∴AE=34，BE=14，
∵菱形AENH和菱形CGMF大小相同，
∴BE＝BF=14，∠FBJ＝60°，
∴FJ＝BF•sin60°=14×32=38，
∴MI＝FJ=38，
∴AM=MIsin30°=3812=34，
同理可得，CN=34，
∴MN＝AC﹣AM﹣CN=3−34−34=32，
答案:32．
26．（2022•广元中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC=3BC＝23，
∴S△ABC=12×AC×BC=12×2×23=23．
27．（2022•聊城中考）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：AD＝CF；
（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．
（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF；
（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：
由（1）知，AD＝CF，
∵AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D是AB的中点，
∴CD=12AB＝AD，
∴四边形ADCF是菱形．
28．（2022•滨州中考）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证：AE＝EF．
（1）解：作AG⊥BC交BC于点G，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，边长为10，∠ABC＝60°，
∴BC＝10，AG＝AB•sin60°＝10×32=53，
∴菱形ABCD的面积是：BC•AG＝10×53=503，
即菱形ABCD的面积是503；
（2）证明：连接EC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，
∴EA＝EC，∠DCA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，
∵∠AEF＝120°，
∴∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∵∠ECA+∠ECF＝120°，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EC＝EF，
∴AE＝EF．
四、矩形的性质与判定
【高频考点精讲】
1、矩形的性质
（1）矩形具有平行四边形的所有性质。
（2）矩形的四个角都是直角。
（3）矩形的邻边垂直。
（4）矩形的对角线相等。
2、矩形的判定
（1）有三个角是直角的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角为直角的平行四边形是矩形；
（4）对角线相等的平行四边形是矩形。
【热点题型精练】
29．（2022•日照中考）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ）
A．27°B．53°C．57°D．63°
解：如图，
∵AE∥BF，
∴∠EAB＝∠ABF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ABF+27°＝90°，
∴∠ABF＝63°，
∴∠EAB＝63°，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠EAB＝63°．
答案:D．
30．（2022•恩施州中考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A．当t＝4s时，四边形ABMP为矩形
B．当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形
C．当CD＝PM时，t＝4s
D．当CD＝PM时，t＝4s或6s
解：根据题意，可得DP＝tcm，BM＝tcm，
∵AD＝10cm，BC＝8cm，
∴AP＝（10﹣t）cm，CM＝（8﹣t）cm，
当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM，
即10﹣t＝t，
解得t＝5，
故A选项不符合题意；
当四边形CDPM为平行四边形，DP＝CM，
即t＝8﹣t，
解得t＝4，
故B选项不符合题意；
当CD＝PM时，分两种情况：
①四边形CDPM是平行四边形，
此时CM＝PD，
即8﹣t＝t，
解得t＝4，
②四边形CDPM是等腰梯形，
过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：
则∠MGP＝∠CHD＝90°，
∵PM＝CD，GM＝HC，
∴△MGP≌△CHD（HL），
∴GP＝HD，
∵AG＝AP+GP＝10﹣t+t−(8−t)2，
又∵BM＝t，
∴10﹣t+t−(8−t)2=t，
解得t＝6，
综上，当CD＝PM时，t＝4s或6s，
故C选项不符合题意，D选项符合题意，
答案:D．
31．（2022•泰安中考）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（ ）
A．52B．125C．13−32D．13−2
解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠BAP+∠DAM＝90°，
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝2，
∴OM=12AD＝2，
∴点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O．
∵OB=AB2+AO2=32+22=13，
∴BM≥OB﹣OM=13−2，
∴BM的最小值为13−2．
答案:D．
32．（2022•十堰中考）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝ 110 °．
解：∵四边形BDEC为矩形，
∴∠DBC＝90°，
∵∠FBD＝55°，
∴∠ABC＝180°﹣∠DBC﹣∠FBD＝35°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝35°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝110°，
答案:110．
33．（2022•吉林中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF=14AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝ 52 ．
解：在矩形ABCD中，AO＝OC=12AC，AC＝BD＝10，
∵AF=14AC，
∴AF=12AO，
∴点F为AO中点，
又∵点E为边AD的中点，
∴EF为△AOD的中位线，
∴EF=12OD=14BD=52．
答案:52．
34．（2022•宜昌中考）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，矩形ABCD的面积为 48 ．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC，
∵F，G分别是BE，CE的中点，AF＝3，DG＝4，FG＝5，
∴BE＝2AF＝6，CE＝2DG＝8，BC＝2FG＝10，
∴BE2+CE2＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，
∴S△BCE=12⋅BE⋅CE=12×6×8=24，
∵AD∥BC，
∴S矩形ABCD＝2S△BCE＝2×24＝48，
答案:48．
35．（2022•鄂州中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．
（1）求证：DF＝CF；
（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=12AC，OD=12BD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴∠ACD＝∠BDC，
∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，
∴∠CDF＝∠DCF，
∴DF＝CF；
（2）解：由（1）可知，DF＝CF，
∵∠CDF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF＝6，
∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝6，
∴BD＝2OD＝12，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BC=BD2−CD2=122−62=63，
∴S矩形ABCD＝BC•CD＝63×6＝363．
36．（2022•云南中考）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠BAE＝∠FDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
∠BAE=∠FDEAE=DE∠BEA=∠FED，
∴△BEA≌△FED（ASA），
∴EF＝EB，
又∵AE＝DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠BDF＝90°．
∴四边形ABDF是矩形；
（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，
∴AF=AD2−DF2=52−32=4，
∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∴S△BCD=12BD•CD=12×4×3＝6，
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，
答：四边形ABCF的面积S为18．
五、正方形的性质与判定
【高频考点精讲】
1、正方形的性质
（1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
（2）正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。
（3）正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
2、正方形的判定
（1）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
（2）邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形。
（3）有一组邻边相等的矩形是正方形 。
（4）有一个内角是直角的菱形是正方形。
（5）对角线相等的菱形是正方形。
（6）对角线互相垂直的矩形是正方形。
【热点题型精练】
37．（2022•黄石中考）如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（−2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，2）
解：如图，连接OB，
∵正方形OABC的边长为2，
∴OC＝BC=2，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，
∴OB=OC2+BC2=(2)2+(2)2=2，
∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，
∴B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，
∴点B1的坐标为（0，2），
答案:D．
38．（2022•泰州中考）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．4
解：如图，连接AE，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，
∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，
连接AC，
∴d1+d2+d3最小值为AC，
在Rt△ABC中，AC=2AB＝22，
∴d1+d2+d3最小＝AC＝22，
答案:C．
39．（2022•重庆中考）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（ ）
A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，
在△DAF和△ABE中，
AD=BA∠DAF=∠ABEAF=BE，
△DAF≌△ABE（SAS），
∠ADF＝∠BAE，
∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=12∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝22.5°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
答案:C．
40．（2022•江西中考）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 5 ．
解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，
长方形的宽是正方形对角线的一半为1，
则长方形的对角线长=12+22=5．
答案:5．
41．（2022•海南中考）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，则∠AEB＝ 60 °；若△AEF的面积等于1，则AB的值是 3 ．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AB=ADAE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．
∴∠BAE＝∠DAF．
∴∠BAE=12（∠BAD﹣∠EAF）
=12（90°﹣30°）
＝30°．
∴∠AEB＝60°．
答案:60．
过点F作FG⊥AE，垂足为G．
∵sin∠EAF=FGAF，
∴FG＝sin∠EAF×AF．
∵S△AEF=12×AE×FG=12×AE×AF×sin∠EAF＝1，
∴12×AE2×sin30°＝1．
即12×AE2×12=1．
∴AE＝2．
在Rt△ABE中，
∵cs∠BAE=ABAE，
∴AB＝cs30°×AE
=32×2
=3．
答案:3．
42．（2022•益阳中考）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′=13AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 4 ．
解：∵正方形ABCD的边长为3，
∴AC＝32，
∴AA′=13AC=2，
∴A′C＝22，
由题意可得重叠部分是正方形，且边长为2，
∴S重叠部分＝4．
答案:4．
43．（2022•贵阳中考）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．
（1）求证：△ABE≌△FMN；
（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的长．
解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°，
又∵MF∥AD，
∴四边形AMFD为矩形，
∴∠MFD＝∠MFN＝90°，
∴AD＝MF，
∴AB＝MF，
∵BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，
∴∠MFN＝∠BAE＝90°，∠FMN+∠BMO＝∠BMO+∠MBO＝90°，
∴∠FMN＝∠MBO，
在△ABE和△FMN中，
∠A=∠MFNAB=MF∠ABO=∠FMN
∴△ABE≌△FMN（ASA）；
（2）∵∠MOB＝∠A＝90°，∠ABE是公共角，
∴△BOM∽△BAE，
∴OM：AE＝BO：BA，
∵AB＝8，AE＝6，
∴BE=AB2+AE2=10，
∴OM：6＝5：8，
∴OM=154，
∵△ABE≌△FMN，
∴NM＝BE＝10，
∴ON＝MN﹣MO=254．
44．（2022•杭州中考）在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且AE＝2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．
（1）如图1，若AB＝4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积．
（2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．
①求证：EK＝2EH；
②设∠AEK＝α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1，S2．求证：S2S1=4sin2α﹣1．
（1）解：如图1，
∵点M是边AB的中点，若AB＝4，当点E与点M重合，
∴AE＝BE＝2，
∵AE＝2BF，
∴BF＝1，
在Rt△EBF中，EF2＝EB2+BF2＝22+12＝5，
∴正方形EFGH的面积＝EF2＝5；
（2）如图2，
①证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠K+∠AEK＝90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠KEF＝90°，EH＝EF，
∴∠AEK+∠BEF＝90°，
∴∠AKE＝∠BEF，
∴△AKE∽△BEF，
∴EKEF=AEBF，
∵AE＝2BF，
∴EKEF=2BFBF=2，
∴EK＝2EF，
∴EK＝2EH；
②证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠KIH＝∠GJF，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠IHK＝∠EHG＝∠HGF＝∠FGJ＝90°，EH＝FG，
∵KE＝2EH，
∴EH＝KH，
∴KH＝FG，
在△KHI和△FGJ中，
∠KIH=∠FJG∠KHI=∠FGJKH=FG，
∴△KHI≌△FGJ（AAS），
∴S△KHI＝S△FGJ＝S1，
∵∠K＝∠K，∠A＝∠IHK＝90°，
∴△KAE∽△KHI，
∴S△KAES△KHI=(KAKH)2=(KA12KE)2=4(KAKE)2，
∵sinα=KAKE，
∴sin2α=(KAKE)2，
∴S1+S2S1=4sin2α，
∴S2S1=4sin2α﹣1．