最新中考数学一轮高频考点+精讲精练 专题26 锐角三角函数

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1、学生在第一轮复习阶段不要只钻难题、偏题，也不要搞题海战术，要注重学习方法，回归课本，抓住典型题目进行练习。
课本上的例题最具有典型性，可以有选择地做。在做例题时，要把其中包含的知识点抽出来进行总结、归纳，不要就题论题。
2、要注重知识点的梳理，将知识点形成网络。学生经过一学期的学习，要将知识点进行总结归纳，找出区别与联系。把各章的知识点绘制成知识网络图，将知识系统化、网络化，把知识点串成线，连成面。
3、要注重总结规律，加强解题后的反思。通过模拟练习题，找出复习重点和自身的薄弱点，认真总结解题的规律方法，切忌不要闷头做题。
专题26 锐角三角函数
一、锐角三角函数概念
【高频考点精讲】
在Rt△ABC中，∠C＝90°
1、正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝＝
2、余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA，即csA＝
3、正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝
4、三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
【热点题型精练】
1．（2022•天津中考）tan45°的值等于（ ）
A．2B．1C．22D．33
解：tan45°的值等于1，
答案：B．
2．（2022•淮南模拟）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A．55B．105C．2D．12
解：连接BD．
则BD=2，AD＝22，
则tanA=BDAD=222=12．
答案：D．
3．（2022•荆州中考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（ ）
A．33B．22C．13D．3
解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP∥AB，
∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，
∵∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2，
∴tan∠OAP=PQAQ=12+1=13．
答案：C．
4．（2022•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO=3，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．6B．63C．123D．83
解：∵点A的坐标为（0，3），
∴AO＝3，
∵tan∠ABO=3，
∴AOBO=3，
∴3BO=3，
∴BO=3，
∵△AOB是直角三角形，
∴AB=AO2+BO2=32+(3)2=12=23，
∵菱形的四条边相等，
∴菱形ABCD的周长为23×4＝83．
答案：D．
5．（2022•滨州中考）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为 1213 ．
解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB=122+52=13，
∴sinA=1213．
答案：1213．
6．（2022•扬州中考）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为 5−12． ．
解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2+b2，
∵b2＝ac，
∴c2＝a2+ac，
等式两边同时除以ac得：
ca=ac+1，
令ac=x，则有1x=x+1，
∴x2+x﹣1＝0，
解得：x1=5−12，x2=−1−52（舍去），
当x=5−12时，x≠0，
∴x=5−12是原分式方程的解，
∴sinA=ac=5−12．
答案：5−12．
7．（2022•绥化中考）定义一种运算：
sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ．
例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）=22×32+22×12=6+24，则sin15°的值为 6−24 ．
解：sin15°＝sin（45°﹣30°）
＝sin45°cs30°﹣cs45°sin30°
=22×32−22×12
=64−24
=6−24．
答案：6−24．
8．（2022•湖州中考）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC=AB2−BC2=52−32=4，
sinA=BCAB=35．
答：AC的长为4，sinA的值为35．
二、解直角三角形
【高频考点精讲】
1、解直角三角形常用关系
（1）锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
（2）三边之间的关系：a2+b2＝c2；
（3）边角之间的关系
sinA＝，csA＝，tanA＝（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
2、 sin30°＝； cs30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cs45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cs60°＝； tan60°＝；
【热点题型精练】
9．（2022•乐山中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=5，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=13，则CD的长为（ ）
A．25B．3C．5D．2
解：过D点作DE⊥AB于E，
∵tan∠A=DEAE=12，tan∠ABD=DEBE=13，
∴AE＝2DE，BE＝3DE，
∴2DE+3DE＝5DE＝AB，
在Rt△ABC中，tan∠A=12，BC=5，
∴BCAC=5AC=12，
解得AC=25，
∴AB=AC2+BC2=5，
∴DE＝1，
∴AE＝2，
∴AD=AE2+DE2=12+22=5，
∴CD＝AC﹣AD=5，
答案：C．
10．（2022•通辽中考）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cs∠ADC的值为（ ）
A．21313B．31313C．23D．53
解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵点A，B，C都在格点上，
∴∠ADC＝∠ABC，
在Rt△ABC中，
cs∠ABC=BCAB=332+22=31313=cs∠ADC，
答案：B．
11．（2022•宜宾中考）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cs∠ADF的值为（ ）
A．817B．715C．1517D．815
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，
∴∠BDC＝∠DBF，
由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠DBF，
∴BF＝DF，
设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，
在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，
∴x=175，
∴cs∠ADF=3175=1517，
答案：C．
12．（2022•济宁中考）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD=13，则AD的长是 22a ．
解：连接AB，作直径CE．连接DE，设AD交BC于点T．
∵∠ACB＝90°，
∴AB是直径，
∵EC是直径，
∴∠CDE＝90°，
∵∠CBD＝∠E，
∴tanE＝tan∠CBD=13，
∴CDED=13，
∴DE＝3a，
∴EC＝AB=CD2+DE2=a2+(3a)2=10a，
∴AC＝BC=22AB=5a，
∵∠CAT＝∠CBD，
∴tan∠CAT＝tan∠CBD=13，
∴CT=53a，BT=253a，
∴AT=AC2+CT2=(5a)2+(53a)2=523a，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵tan∠DBT=DTDB=13，
∴DT=1010BT=23a，
∴AD＝AT+DT＝22a，
13．（2022•河池中考）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH=25BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝ 58 ．
解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴AF=12AD，BE=12BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
∴AF＝BE=12AD，
∴四边形ABEF是矩形，
由题意知，AD＝2AB，
∴AF＝AB，
∴矩形ABEF是正方形，
∴AB＝BE，∠ABE＝∠BEF＝90°，
∵BG＝EH，
∴△ABG≌△BEH（SAS），
∴∠BAG＝∠EBH，
∴∠BAG+∠ABO＝∠EBH+∠ABO＝∠ABG＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵BG＝EH=25BE＝2，
∴BE＝5，
∴AF＝5，
∵∠OAB＝∠BAG，∠AOB＝∠ABG，
∴△AOB∽△ABG，
∴OAAB=OBBG，
∴OAOB=ABAG=52，
∵OM⊥ON，
∴∠MON＝90°＝∠AOB，
∴∠BOM＝∠AON，
∵∠BAG+∠FAG＝90°，∠ABO+∠EBH＝90°，∠BAG＝∠EBH，
∴∠OBM＝∠OAN，
∴△OBM∽△OAN，
∴OBOA=BMAN，
∵点N是AF的中点，
∴AN=12AF=52，
∴52=BM52，
∴BM＝1，
∴AM＝AB﹣BM＝4，
在Rt△MAN中，tan∠AMN=ANAM=524=58，
答案：58．
14．（2022•张家界中考）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝ 34 ．
解：∵大正方形ABCD的面积是100，
∴AD＝10，
∵小正方形EFGH的面积是4，
∴小正方形EFGH的边长为2，
∴DF﹣AF＝2，
设AF＝x，则DF＝x+2，
由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102，
解得x＝6或﹣8（负值舍去），
∴AF＝6，DF＝8，
∴tan∠ADF=AFDF=68=34，
答案：34．
三、解直角三角形的应用
【高频考点精讲】
1、坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的垂直高度h和水平宽度l的比，常用i表示。
（2）坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系：i＝h:l＝tanα。
（3）解决坡度问题，一般通过作高构成直角三角形，坡角是锐角，坡度是锐角的正切值，水平宽度或垂直高度是直角边，本质是解直角三角形问题。
2、仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角。
（2）解决此类问题需要了解角之间的关系，找到与条件和所求相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形中边角关系问题加以解决。
3、方向角问题
（1）辨别方向角：以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数。
（2）解决方向角问题，要根据题意理清图形中各角的关系，如果所给方向角不在直角三角形中，可以用“两直线平行，内错角相等”“余角”等知识转化为所需要的角。
【热点题型精练】
15．（2022•黑龙江中考）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米
A．600﹣2505B．6003−250C．350+3503D．5003
解：设EF＝5x米，
∵斜坡BE的坡度为5：12，
∴BF＝12x米，
由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，
解得：x＝100，
则EF＝500米，BF＝1200米，
由题意可知，四边形DCFE为矩形，
∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，
在Rt△ADE中，tan∠AED=ADDE，
则DE=ADtan60°=33AD，
在Rt△ACB中，tan∠ABC=ACBC，
∴500+AD1200+33AD=33，
解得：AD＝6003−750，
∴山高AC＝AD+DC＝6003−750+500＝（6003−250）米，
答案：B．
16．（2022•济南中考）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）
（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
A．28mB．34mC．37mD．46m
解：由题意可知：AB⊥BC，
在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，
∵tan∠ADB＝tan58°=ABBD，
∴BD=ABtan58°≈AB1.60（m），
在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，
∵CD＝70m，
∴BC＝CD+BD＝（70+AB1.60）m，
∴AB＝BC×tanC≈（70+AB1.60）×0.40（m），
解得：AB≈37m，
答：该建筑物AB的高度约为37m．
答案：C．
17．（2022•柳州中考）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα=35，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 50 m．
解：∵sinα=35，堤坝高BC＝30m，
∴sinα=35=BCAB=30AB，
解得：AB＝50．
答案：50．
18．（2022•黄石中考）某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 12.7 m．
（参考数据：3≈1.732，结果按四舍五入保留一位小数）
解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．
则CE＝30m，AB＝20m，∠EAD＝30°，∠EBD＝60°，
设DE＝xm，
在Rt△BDE中，tan60°=DEBE=xBE=3，
解得BE=33x，
则AE＝AB+BE＝（20+33x）m，
在Rt△ADE中，tan30°=DEAE=x20+33x=33，
解得x=103≈17.3，
经检验，x=103≈17.3是原方程的解，且符合题意，
∴CD＝CE﹣DE＝12.7m．
答案：12.7．
19．（2022•巴中中考）一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为 50 海里．（参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34）
解：如图所示标注字母，
根据题意得，∠CAP＝∠EPA＝60°，∠CAB＝30°，PA＝30海里，
∴∠PAB＝90°，∠APB＝180°﹣67°﹣60°＝53°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣53°＝37°，
在Rt△PAB中，sin37°=APPB=30PB≈35，
解得PB≈50，
∴此时与灯塔P的距离约为50海里．
答案：50．
20．（2022•长沙中考）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，
∴BD=12BA＝10（m），
答：该斜坡的高度BD为10m；
（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，
∴∠CBA＝15°，
∴AB＝AC＝20（m），
答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m．
21．（2022•广州中考）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．
条件①：CE＝1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
参考数据：sin54.46°≈0.81，cs54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．
解：（1）∵BC＝5CD，CD＝1.6m，
∴BC＝5×1.6＝8（m），
∴BC的长为8m；
（2）若选择条件①：
由题意得：
ABBC=DCCE，
∴AB8=1.61，
∴AB＝12.8，
∴旗杆AB的高度为12.8m；
若选择条件②：
过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，
在Rt△ADF中，∠ADF＝54.46°，
∴AF＝DF•tan54.46°≈8×1.4＝11.2（m），
∴AB＝AF+BF＝11.2+1.6＝12.8（m），
∴旗杆AB的高度约为12.8m．
22．（2022•重庆中考）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处．
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：3≈1.732）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
解：（1）如图，延长CB到D，则CD⊥AD于点D，
根据题意可知：∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，
∴∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，
∴AB＝BC＝900米，
∵∠BAD＝30°，
∴BD＝450米，
∴AD=3BD＝4503（米），
∴AC＝2AD＝9003≈1559（米）
答：湖岸A与码头C的距离约为1559米；
（2）设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，
∵救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，
∴150x+（400x﹣900）＝1559，
∴x≈4.5，
答：快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．