新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.1排列教师用书新人教A版选择性必修第三册

6.2　排列与组合6.2.1　排列在数学竞赛颁奖仪式上，辅导老师和甲、乙两名特等奖获得者合影留念，师生三人站成一排，辅导老师在正中间时，甲在左边和乙在左边是相同的排列吗？知识点　排列的概念1．定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．两个排列相同的充要条件(1)两个排列的元素完全相同．(2)元素的排列顺序相同．1．如何判断一个具体问题是不是排列问题？[提示]　(1)首先要保证元素互异性，即从n个不同元素中，取出m个不同的元素，否则不是排列问题．(2)要保证元素的有序性，即安排这m个元素时是有序的，有序就是排列，无序则不是排列．而检验它是否有序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序．2．同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？[提示]　不能，因为给出的n个元素互不相同，且抽取的m个元素是从n个元素中不重复地抽取的．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列． (　　)(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题． (　　)(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题． (　　)(4)从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题． (　　)(5)从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√[提示]　(1)因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序也相同．(2)因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．(3)因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．(4)因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同，结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．(5)因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．2．下列问题中是排列问题的是(　　)A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加演讲比赛 C．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学担任歌咏比赛评委D．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学担任正、副班长D　[从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学与从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加同一项活动，都没有顺序问题，不是排列，而担任不同的职务是排列问题．]3．元旦来临之际，某寝室四名同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其他一名同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有________种．9　[将4张贺年卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，用树状图表示为：由此可知共有9种送法．] 类型1　排列的概念【例1】　判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．[思路导引]　[解]　(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．　判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑：(1)“取”，检验取出的m个元素是否重复；(2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．[跟进训练]1．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和；②相除可得多少个不同的商；③作为椭圆＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程；④作为双曲线＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程．这四个问题中属于排列问题的是________．(填序号)②④　[因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；因为除法不满足交换律，如≠，所以②是排列问题；若方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小一定，故③不是排列问题；在双曲线＝1中不管a>b，还是a