新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.2排列数第2课时排列的综合应用教师用书新人教A版选择性必修第三册

第2课时　排列的综合应用 类型1　数字排列问题【例1】　用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个．(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4 310的四位偶数．[思路导引]　→[解]　(1)法一(特殊位置分析法)：如图，从个位入手：个位排奇数，即从1，3，5中选1个有种方法，首位数从排除0及个位数余下的4个数字中选1个有种方法，余下的数字可在其他位置全排列有种方法，由分步乘法计数原理可得，共有＝288(个)不同的六位奇数．法二(特殊元素分析法)：0不在两端有种排法．从1，3，5中选1个排在个位，剩下的4个数字全排列．故所排六位奇数共有＝288(个)．法三(排除法)：从整体上排除：6个数字的全排列有种排法．0，2，4在个位上有种排法，而1，3，5在个位上且0在首位上有种排法．故符合条件的六位数有＝288(个)．法四(排除法)：从局部上排除：个位上任选一个奇数，有种排法，其余各位上任意排，有种排法，共有种排法．其中，首位是0的情况有种，故符合条件的六位数有＝288(个)．(2)法一(排除法)：0在首位和5在个位时均不符合题意，故符合题意的六位数共有＝504(个)．法二(特殊位置分析法)：如图，个位不排5时，分两类：第1类，当个位排0时，有个；第2类，当个位不排0时，有个．故符合题意的六位数共有＝504(个)．(3)法一(直接法)：第1类，当千位上排1，3时，有＝72(个)；第2类，当千位上排2时，有＝24(个)；第3类，当千位上排4时，形如40△2，42△0的各有个，共有＝6(个)，形如41△△的有＝6(个)，形如43△△的只有4 310和4 302这两个数．故共有72＋24＋6＋6＋2＝110(个)不大于4 310的四位偶数．法二(排除法)：四位偶数中，0在个位的有＝60(个)；0在十位、百位的分别有＝24个，共48个；不含0的有＝48(个)．故四位偶数共有60＋48＋48＝156(个)．其中大于4 310的情况如下：形如5△△△的有个；形如45△△的有个；形如435△的有个；形如432△的只有4 320一个；形如431△的只有4 312一个．故大于4 310的四位偶数共有＋1＋1＝46(个)．因此，符合题意的四位偶数共有156－46＝110(个)．[母题探究]1．(变结论)若例题中的条件不变，求能被5整除的五位数有多少个？[解]　能被5整除的数字个位必须为0或5，若个位上是0，则有个；个位上是5，若不含0，则有个；若含0，但0不作首位，则0的位置有种排法，其余各位有种排法，故共有＝216(个)能被5整除的五位数．2．(变结论)本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135 是第几项？[解]　由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有个数，首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有个数，所以240 135的项数是＋1＝193，即240 135是数列的第193项．　数字排列问题的常用方法及注意事项常用方法：主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类讨论．注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理．[跟进训练]1．(源自人教B版教材)用0，1，2，…，9这10个数字，可以排成多少个没有重复数字的四位偶数？[解]　满足条件的四位数可以分为两类：第一类的末位数字是0，有个．第二类的末位数字不是0．要排成这样的四位数，可以分成三个步骤来完成：第一步，确定末位数字，因为只能是2，4，6或8，所以有种方法；第二步，确定首位数字，因为数字不能重复，所以有种方法；第三步，确定中间两位数字，有种方法．由分步乘法计数原理可知，这样的数字有个．由分类加法计数原理可知，满足条件的四位数个数为＝9×8×7＋4×8×8×7＝41×56＝2 296． 类型2　排队、排节目问题　元素的“在”与“不在”问题【例2】　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？[解]　(1)把元素作为研究对象．第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有种排法；第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有种排法．根据分步乘法计数原理，有种排法．由分类加法计数原理知，共有＝2 160(种)排法．(2)把位置作为研究对象．第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种方法；第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种方法．根据分步乘法计数原理，共有＝1 800(种)方法．(3)把位置作为研究对象．第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种方法；第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种方法．根据分步乘法计数原理，共有＝1 200(种)方法．(4)间接法．总的可能情况有种，减去甲在首位的种排法，再减去乙在末位的种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次种排法，所以共有＝1 860(种)排法．　“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．提醒：解题时，无论是从元素考虑，还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能一会儿考虑元素，一会儿考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．　“相邻”与“不相邻”问题【例3】　某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；(2)两个唱歌节目不相邻；(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．[解]　(1)先排唱歌节目有种排法，再排其他节目有种排法，所以共有＝1 440(种)排法．(2)先排3个舞蹈节目、3个曲艺节目，有种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有种插入方法，所以共有＝30 240(种)排法．(3)两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，共有＝2 880(种)．　1．“相邻”问题“捆绑法”将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：(1)先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；(2)把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种；(3)“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种；(4)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种．2．“不相邻”问题“插空法”将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻(k≤n－k＋1)，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：(1)将没有不相邻要求的元素共(n－k)个排成一排，其排列方法有种；(2)将要求两两不相邻的k个元素插入(n－k＋1)个空隙中，相当于从(n－k＋1)个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有种；(3)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有种．　定序问题【例4】　7人站成一排．(1)甲、乙、丙三人排列顺序一定时，有多少种排列方法？(2)甲在乙的左边，有多少种排列方法？[解]　(1)法一：7人的所有排列方法有种，其中甲、乙、丙的排序有种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有＝840(种)．法二(插空法)：7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故有＝7×6×5×4＝840(种)．(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有＝2 520(种)．　固定顺序的排列问题的求解方法定序问题除法策略：n个不同元素的全排列有种排法，m个特殊元素的全排列有种排法．当这m个元素顺序确定时，共有种排法．[跟进训练]2．某地媒体为了宣传医护人员A，B，C，D，E，F共6人(其中A是队长)的优秀事迹，让这6名医护人员与接见他们的一位领导共7人站成一排进行拍照，则领导和队长站两端且B，C两人相邻，而B，D两人不相邻的站法种数为(　　)A．36　 　B．48　 　C．56　 　D．72D　[根据题意，可分两步进行分析，第一步，领导和队长站在两端，有＝2(种)站法；第二步，安排中间5人，分两种情况讨论：①若B，C相邻且C，D相邻，有＝12(种)站法；②若B，C相邻且均不与D相邻，有＝24(种)站法．故中间5人有12＋24＝36(种)站法．故领导和队长站两端且B，C两人相邻，而B，D两人不相邻的站法共有2×36＝72(种)．故选D．]3．3名男生、4名女生站成一排照相，若甲不站中间也不站两端，则有________种不同的站法．2 880　[第一步，安排甲，在除中间、两端以外的4个位置上任选一个位置安排，有种排法．第二步，安排其余6名，有种排法．由分步乘法计数原理知，共有＝2 880(种)不同排法．]4．某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？(2)3位老者与2位年轻人都要分别按年龄从小到大的顺序出场，出场顺序有多少种？[解]　(1)5位嘉宾无约束条件的全排列有种，由于3位老者的排列顺序已定，因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有＝20(种)．(2)设符合条件的排法共有x种，用(1)的方法可得＝，解得x＝＝10．1．A，B，C，D，E 5人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有(　　)A．60种　　B．48种　　C．36种　　D．24种D　[把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有＝24(种)排法．]2．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)A．36 B．30 C．40 D．60A　[奇数的个位数字为1，3或5，所以个位数字的排法有种，十位数字和百位数字的排法种数有种，故奇数有＝3×4×3＝36(个)．]3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么这5名同学值日顺序的编排方案共有(　　)A．12种 B．24种C．48种 D．120种B　[因为同学甲只能在周一值日，所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，所以5名同学值日顺序的编排方案共有＝24(种)．]4．高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．3 600　[先排4个音乐节目和1个曲艺节目，共有种方法，再将2个舞蹈节目排在形成的6个空中，共有种方法，故共有＝3 600(种)不同的排法．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．含有“特殊元素”的排列的解题策略是什么？[提示]　采用“元素分析”法，即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求．2．对于元素有特殊位置的排列的解题思想是什么？[提示]　以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．3．对于“元素相邻”和“元素不相邻”的排列的解决方法是什么？[提示]　元素相邻问题采用“捆绑”法，不相邻问题采用“插空”法．课时分层作业(五)　排列的综合应用一、选择题1．安排甲、乙、丙3位党员干部在周一至周五的5天中参加社区服务活动，要求每人参加1天且每天至多安排1人，并要求甲安排在另外2位前面，则不同的安排方法共有(　　)A．20种　　B．30种　　C．40种　　D．60种A　[分三类：甲在周一，有种安排方法；甲在周二，有种安排方法；甲在周三，有种安排方法．故共有＝20(种)不同的安排方法．]2．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有(　　)A．60个 B．48个 C．36个 D．24个C　[由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有＝48(个)，大于50 000的偶数共有＝12(个)，所以小于50 000的偶数共有48－12＝36(个)．]3．(多选)若3男3女排成一排，则下列说法正确的是(　　)A．共计有720种不同的排法B．男生甲排在两端的共有120种排法C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种D．男女生相间排法总数为72种AD　[3男3女排成一排共计有＝720(种)；男生甲排在两端的共有＝240(种)；男生甲、乙相邻的排法总数为＝240(种)；男女生相间排法总数＝72(种)．]4．3张卡片正反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为(　　)A．30 B．48 C．60 D．96B　[“组成三位数”这件事，分两步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到×2×2×2＝48(个)不同的三位数．]5．元宵节灯展后，悬挂的8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有(　　)A．32种 B．70种C．90种 D．280种B　[因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，即每串灯取下的顺序确定，取下的方法有＝70(种)．]二、填空题6．4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，有________种不同的站法．504　[4名男生和2名女生站成一排共有＝720(种)站法，其中男生甲站最左端有＝120(种)站法，女生乙站最右端有＝120(种)站法，男生甲站最左端且女生乙站最右端有＝24(种)站法，故满足条件的共有720－120－120＋24＝504(种)站法．]7．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有______个．448　[千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2，0)，(3，1)，…，(9，7)前一个数为千位数字，后一个数为个位数字，其余两位无任何限制，共有＝448(个)．]8．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中3盆兰花不能摆放在一条直线上，则不同的摆放方法有________种．4 320　[先将7盆花全排列，共有种排法，其中3盆兰花摆放在一条直线上的方法有种，故所求摆放方法有＝4 320(种)．]三、解答题9．用0，1，2，3，4五个数字：(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数？(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？[解]　(1)可组成4×54＝2 500(个)五位数．(2)可组成＝96(个)无重复数字的五位数．(3)3的倍数的三位数，3个数字必须是0，1，2；0，2，4；1，2，3；2，3，4．故共有＝20(个)．(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1，3中选一个填入个位有种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有种填法，包含0在内的还有3个数在中间三个位置上全排列，排列数为，故共有＝36(个)．10．九龙壁是中国古代建筑的特色，做工十分精美，艺术和历史价值很高．九龙壁中九条蟠龙各具神态，正中间即第五条为正居之龙，两侧分别是沉降之龙和升腾之龙间隔排开，其中升腾之龙位居阳位，即第1，3，7，9位，沉降之龙位居2，4，6，8位．某工匠自己雕刻一九龙壁模型，为了增加模型的种类但又不改变升腾之龙居阳位和沉降之龙的位置，只能调换四条升腾之龙的相对位置和四条沉降之龙的相对位置．则不同的雕刻模型的种数为(　　)A． B．C． D．D　[由题设可知：四条升腾之龙的相对位置有种调换方法，四条沉降之龙的相对位置有种调换方法，∴不同的雕刻模型共有种，故选D．]11．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有(　　)A．24种 B．48种C．96种 D．144种C　[首先将程序B和C捆绑在一起，再和除程序A之外的3个程序进行全排列，最后将程序A排在第一步或最后一步，根据分步乘法计数原理可得，实验顺序的编排方法共有＝2×24×2＝96(种)．故选C．]12．(2023·安徽临泉一中高二下月考)英文单词“sentence”由8个字母构成，将这8个字母进行排列，且2个“n”不相邻，则可得到的英文单词(假设每个排列都是一个有意义的单词)的个数为(　　)A．2 520 B．3 360C．25 200 D．4 530A　[英文单词“sentence”中字母e有3个，字母n有2个，字母s，t，c各有1个．优先考虑无限制的字母，排法共有＝120(种)，再插入2个字母n，排法有＝21(种)．所以英文单词的个数为120×21＝2 520．]13．某同学有7本不同的书，其中语文书2本、英语书2本、数学书3本．现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数为(　　)A．12 B．24 C．48 D．720C　[先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成一个元素，然后排成一排，有种不同的排法，再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，有种不同的排法，再排2本语文书，有种不同的排法，最后排2本英语书，有种不同的排法．根据分步乘法计数原理，得共有＝48(种)不同的排法．]14．将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有多少种不同的排列方法？[解]　5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法．法一(整体法)：5个元素无约束条件的全排列有种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2＝40(种)．法二 (插空法)：若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的4个空中，分两类：第一类，若字母D，E相邻，则有种排法； 第二类，若字母D，E不相邻，则有种排法．所以有＝20(种)不同的排列方法．同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法．因此满足条件的排列有20＋20＝40(种)．15．高一年级某班的数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课安排在同一天，每门课一节，上午四节，下午两节，数学课必须在上午，体育课必须在下午，数、理、化三门课中任意两门不相邻，但上午第四节和下午第一节不叫相邻，则不同的排法种数为多少？[解]　分两类：第1类，数学课在上午第一节或第四节共种排法，体育课在下午共种排法，理、化课安排在上午一节，下午一节有种排法，其余两门在余下的位置安排共种．由分步乘法计数原理知，共有＝32(种)排法．第2类，数学课安排在上午第二节或第三节，共种排法，体育课安排在下午有种排法，理、化课安排在上午一节和下午一节，共种排法，其余两门在余下的位置安排共种排法．由分步乘法计数原理知，共有＝16(种)排法．综上，由分类加法计数原理知，排法种数为N＝32＋16＝48．学习任务1．掌握几种有限制条件的排列．(逻辑推理)2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(数学运算、数学建模)