新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理6.3二项式定理6.3.1二项式定理教师用书新人教A版选择性必修第三册

6.3　二项式定理6.3.1　二项式定理我们知道 (a＋b)1＝a＋b，　　 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，而且 (a＋b)3　　　　　　 ＝(a＋b)2(a＋b) ＝(a2＋2ab＋b2)(a＋b) ＝a3＋a2b＋2a2b＋2ab2＋b2a＋b3 ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3．容易看到，上述得到(a＋b)3的展开式的过程是烦琐的，如果要用这样的方法去得到(a＋b)10，(a＋b)20等的展开式是很麻烦的．那么我们有没有其他办法来得出(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3呢？知识点1　二项式定理(a＋b)n＝an＋an-1b1＋…＋an－kbk＋…＋，n∈N*．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．(1)次数：各项的次数和都等于二项式的次数n；(2)顺序：字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n．知识点2　二项展开式的通项公式(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝．二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗，为什么？[提示]　二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　)(2)在二项式定理公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　)(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(x＋y)n的展开式共有10项，则n等于_________________．9　[因为(a＋b)n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝10，n＝9．]3．(y－2x)8的展开式中第6项的二项式系数为________．(用数字表示)56　[由题意可知，Tk＋1＝y8-k(－2x)k＝当k＝5时，二项式系数为＝＝56．]4．(x＋2)6的展开式中x3的系数是________．(用数字作答)160　[(x＋2)6的展开式的通项公式为Tk＋1＝·2k·x6-k，令6－k＝3，可得k＝3，故展开式中x3的系数是·23＝160．] 类型1　二项式定理的正用、逆用【例1】　的值为(　　)A．1　　　B．－1　　　C．(－1)n　 　D．3n(2)求的展开式．(1)C　[＋…＋](2)[解]　法一：．法二：＝(2x－1)4＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋．　运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．[跟进训练]1．求的展开式．[解]　＝(2x)5＋(2x)4＋(2x)3＋(2x)2(2x)1＋＝32x5－120x2＋．2．化简：(x＋1)n－(x＋1)n-1＋(n＋1)n-2－…＋(x＋1)n－k＋…＋．[解]　原式＝(－1)2＋…＋(x＋1)n－k(－1)k＋…＋(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn． 类型2　二项展开式通项的应用　项的系数与二项式系数【例2】　(源自湘教版教材)计算(x＋2y)9的展开式中第5项的系数和二项式系数．[解]　(x＋2y)9的展开式的第5项是T5＝T4＋1＝·x9-4·(2y)4＝x5y4，所以展开式中第5项的系数是·24＝2 016，第5项的二项式系数是＝126．　求某项的二项式系数、系数或展开式中含xk的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者之间的区别．　求展开式中的特定项【例3】　已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162．(1)求n的值；(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．[解]　(1)因为T3＝n-2，T2＝n-1，依题意，得＝162，所以＋＝81，所以n2＝81，n＝9．(2)设第k＋1项含x3项，则Tk＋1＝9-k＝，所以＝3，k＝1，所以第2项为含x3的项，T2＝－二项式系数为＝9．[母题探究]1．(变设问)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的常数项．[解]　的展开式的通项为Tk＋1＝，由＝0，得k＝3．∴展开式中的常数项为＝－672．2．(变设问)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的所有有理项．[解]　由题意可得故k可取1，3，5，7，9．故二项展开式的所有有理项为T2＝x3＝－18x3；T4＝x0＝－672；T6＝x-3＝－4 032x-3；T8＝x-6＝－4 608x-6；T10＝x-9＝－512x-9．　求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．　利用二项展开式的通项求参数【例4】　二项式(m＞0)的展开式中常数项为60，则m＝(　　)A．　　　B．　　　C．2　　　D．3A　[二项式的展开式的通项为Tk＋1＝·(－1)k＝m6-kx6-3k·(－1)k，0≤k≤6，且k∈N．令6－3k＝0，得k＝2，所以m6-2(－1)2＝60，即15m4＝60．又m＞0，所以m＝．]　二项式中的参数求解问题，一类是借助二项式定理的通项公式求解，需要注意的是展开式中第k＋1项的二项式系数与第k＋1项的系数是不同的，特别要注意符号；另一类是利用二项式系数或特定项求指数n，要注意n为正整数．[跟进训练]3．在的展开式中，含x-2的项的二项式系数为________．1　[由题意可知：Tk＋1＝k＝，k∈{0，1，2，3，4，5，6}，令3－k＝－2，解得k＝6，所以含x-2的项的二项式系数为＝1．]4．已知二项式的展开式中x3的系数是－84，则a＝________．1　[的展开式的通项为Tk＋1＝x9-k(－a)k·＝·(－a)kx9-2k(0≤k≤9，k∈N)．当9－2k＝3时，解得k＝3，代入得x3的系数为(－a)3＝－84，解得a＝1．]5．(源自人教B版教材)求的展开式中常数项的值和对应的二项式系数．[解]　因为，所以展开式中的第k＋1项为Tk＋1＝＝＝26-kx3-k．要得到常数项，必须有3－k＝0，从而有k＝3，因此常数项是第4项，且T4＝26-3x3-3＝160．从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为＝20． 类型3　较复杂的二项式定理的应用【例5】　(1)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为______(用数字作答)．(2)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为________．(1)－28　(2)30　[(1)因为(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，所以(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为＝－28x2y6，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28．(2)(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝(x2＋x)5-ryr，令r＝2，则T3＝(x2＋x)3y2．又(x2＋x)3的展开式的通项为＝x6-k，令6－k＝5，则k＝1．所以x5y2的系数为＝30．]　对于两个二项式乘积的展开或三项式展开问题，所用解法一般为二项式定理展开，或将三项式转化为二项式．[跟进训练]6．在(x－2＋y)6的展开式中，x2y2的系数为(　　)A．360　　B．180　　C．90　　D．－180A　[(x－2＋y)6＝[x＋(y－2)]6展开后的通项为Tr＋1＝·x6-r·(y－2)r，而(y－2)r展开后的通项为Tk＋1＝令r＝4，k＝2，可得x2y2的系数为(－2)2＝360．]7．的展开式中的常数项为________．20　[∵，∴展开式的通项为Tk＋1＝＝x6-2k，令6－2k＝0，得k＝3．∴常数项为＝20．]1．化简2＋22＋…＋210等于(　　)A．210－1　　　　　　　 B．310－1C．210＋1 D．310＋1B　[由20＋2＋22＋…＋210＝(1＋2)10＝310，所以2＋22＋…＋210＝310－1．故选B．]2．在的展开式中，常数项为(　　)A．－60　　　B．－15 C．15　　　D．60D　[的展开式的通项为Tk＋1＝，令6－3k＝0，得k＝2，所以的展开式中常数项为＝60，故选D．]3．在的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．84　－　[的展开式的通项为Tk＋1＝·(x2)9-k··x18-3k，当k＝3时，T4＝x9，所以第4项的二项式系数为＝84，项的系数为－．]4．在5的展开式中，常数项等于________．9　[二项式5的展开式的通项为Tk＋1＝(k＝0，1，2，…，5)，∴5的展开式中的常数项为＋＝10－1＝9．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能写出本节课所学的公式吗？[提示]　①二项式定理(a＋b)n＝＋…＋an－kbk＋…＋bn．②二项展开式的通项：第k＋1项Tk＋1＝an－kbk．2．你能写出(a－b)n的展开式的通项吗？[提示]　Tk＋1＝an－kbk．3．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式相同吗？第k＋1项相同吗？[提示]　展开式相同，第k＋1项不同．(a＋b)n的展开式第k＋1项为Tk＋1＝an－kbk，而(b＋a)n的展开式第k＋1项为Tk＋1＝bn－kak．课时分层作业(八)　二项式定理一、选择题1．设A＝37＋×35＋×33＋×3，B＝×36＋×34＋×32＋1，则A－B的值为(　　)A．128　　　B．129　　　C．47　　　D．0A　[×37－×36＋×35－×34＋×33－×32＋×31－×30＝(3－1)7＝27＝128．]2．(多选)(2023·江苏省天一中学高二期中)对于二项式(n∈N*)，则(　　)A．存在n∈N*，使得展开式中有常数项B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项C．对任意n∈N*，展开式中没有一次项D．存在n∈N*，使得展开式中有一次项AD　[二项式的展开式的通项为Tk＋1＝x4k-n，所以当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD．]3．(2022·山东临沂一模)在的展开式中，无理项的项数为(　　)A．2 B．3 C．4 D．5B　[根据题意，的展开式的通项为Tk＋1＝，0≤k≤6，k∈N，分析可得，当k＝0，2，4，6时，对应的项为有理项，即有4个有理项，而展开式共有7项，故的展开式中，无理项的项数为3．故选B．]4．使(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)A．4 B．5 C．6 D．7B　[展开式的通项为Tk＋1＝(3x)n-k＝，当Tk＋1是常数项时，n－k＝0，当k＝2，n＝5时成立．]5．(2023·河南郑州四中期末)的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是(　　)A．第3项 B．第4项C．第7项 D．第8项B　[由题意可得－＝44，即(n＋8)(n－11)＝0，∴n＝11．故，其展开式的通项为Tk＋1＝11-k(0≤k≤11，k∈N)，令＝0，解得k＝3，∴展开式中的常数项是第4项，故选B．]二、填空题6．(2023·浙江杭州高二下期末)在(1－x)4＋(1－x)5＋(1－x)6的展开式中，x3的系数是________．－34　[由题意得，x3的系数为＋(－1)3＝－4－10－20＝－34．]7．设常数a∈R，若的二项展开式中x7的系数为－10，则a＝________，x4的系数为________．－2　40　[的展开式的通项为Tk＋1＝＝akx10-3k．令10－3k＝7，得k＝1，所以x7的系数是．因为x7的系数是－10，所以＝－10，解得a＝－2．令10－3k＝4，则k＝2．所以x4的系数是＝＝40．]8．(2023·湖北武汉期末)(1＋x＋x2)6的展开式中，x4的系数为________．90　[因为(1＋x＋x2)6＝[1＋(x＋x2)]6，所以其展开式的通项为Tr＋1，k＋1＝(x＋x2)r＝xr－kx2k＝xr＋k，其中0≤k≤r≤6，r∈N，k∈N．为得到(1＋x＋x2)6的展开式中x4的系数，则令r＋k＝4，故当r＝2，k＝2时，x4的系数为＝15；当r＝3，k＝1时，x4的系数为＝60；当r＝4，k＝0时，x4的系数为＝15．所以(1＋x＋x2)6的展开式中，x4的系数为15＋60＋15＝90．]三、解答题9．记的展开式中第m项的系数为bm(m，n∈N*)．(1)求bm的表达式；(2)若n＝6，求展开式中的常数项；(3)若b3＝2b4，求n的值．[解]　(1)(2x)n－m+1·xn+2-2m，所以bm＝．(2)当n＝6时，的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝x6-2k．依题意，令6－2k＝0，得k＝3，故展开式中的常数项为T4＝＝160．(3)由(1)及b3＝2b4，得，从而＝，即n＝5．10．(多选)在的展开式中，下列说法正确的是(　　)A．展开式中各项的通项为Tk＋1＝B．展开式中各项的系数等于其二项式系数C．x的幂指数是整数的项共有5项D．展开式中存在常数项ABC　[＝，A，B正确；当k分别取0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项，C正确；展开式中不存在常数项，D错误．]11．(1＋x)4(1＋2y)a(a∈N*)的展开式中，记xmyn项的系数为f (m，n)．若f (0，1)＋f (1，0)＝8，则a的值为(　　)A．0 B．1 C．2 D．3C　[由已知可得f (0，1)表示的是x0y1的系数，f (1，0)表示的是x1y0的系数，则f (0，1)＋f (1，0)＝×2＋×1＝2a＋4＝8，解得a＝2，故选C．]12．在(x2－2x＋y)6的展开式中，含x5y2项的系数为(　　)A．－480 B．480 C．－240 D．240A　[(x2－2x＋y)6的展开式中，含x5y2的项为·y2＝－480x5y2，∴含x5y2项的系数为－480，故选A．]13．(2023·鼓楼区校级模拟)若多项式x8－x10＝a0＋a1(2＋x)＋a2(2＋x)2＋…＋a9(2＋x)9＋a10(2＋x)10，则a8＝______．－179　[由多项式x8－x10＝a0＋a1(2＋x)＋a2(2＋x)2＋…＋a9(2＋x)9＋a10(2＋x)10，则[(2＋x)－2]8－[(2＋x)－2]10＝a0＋a1(2＋x)＋a2(2＋x)2＋…＋a9(2＋x)9＋a10(2＋x)10，则a8＝＝－179．]14．请从下列三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．①第2项与第3项的二项式系数之比是；②第2项与第3项的系数之比的绝对值为；③展开式中有且只有第4项的二项式系数最大．已知在(n∈N*)的展开式中，________．(1)求展开式中的常数项，并指出是第几项；(2)求展开式中的所有有理项．[解]　(1)展开式的通项为Tk＋1＝(2x)n－k·．方案一：选择条件①．第2项与第3项的二项式系数分别为，故，所以，整理得n2－6n＝0，又n∈N*，所以n＝6，故展开式的通项为Tk＋1＝．当＝0，即k＝4时，常数项为T5＝＝60，是第5项．方案二：选择条件②．第2项与第3项的系数分别为，则有，所以n＝6，故展开式的通项为Tk＋1＝．当＝0，即k＝4时，常数项为T5＝＝60，是第5项．方案三：选择条件③．展开式中有且只有第4项的二项式系数最大，可知展开式共有7项，从而可知n＝6，故展开式的通项为Tk＋1＝．当＝0，即k＝4时，常数项为T5＝＝60，是第5项．(2)由展开式的通项为Tk＋1＝，知要求有理项，则k＝0，2，4，6，所以有理项为64x6，240x3，60，x-3．15．已知f (x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N*)．(1)若m＝3，n＝4，求f (x)g(x)的展开式中含x2的项；(2)令h(x)＝f (x)＋g(x)，h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？[解]　(1)当m＝3，n＝4时，f (x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4．(1＋x)3展开式的通项为xr，(1＋2x)4展开式的通项为(2x)k，f (x)g(x)的展开式中含x2的项为＋(2x)＋x2×1＝51x2．(2)h(x)＝f (x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n．因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12，所以＝12，即m＋2n＝12，所以m＝12－2n．x2的系数为＝＋2n(n－1)＝4n2－25n＋66＝4，n∈N*，所以当n＝3，m＝6时，含x2的项的系数取得最小值．学习任务1．能用计数原理证明二项式定理．(数学抽象)2．掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(数学运算)3．能解决与二项式定理有关的简单问题．(逻辑推理、数学运算)