新教材同步备课2024春高中数学第7章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.1条件概率教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.1　条件概率与全概率公式7.1.1　条件概率金融界的人经常需要计算不同投资环境下获利的概率，因此金融投资公司在招聘新员工时，通常会考查应聘人员计算概率的能力．以下是某金融投资公司的一道笔试题，你会做吗？从生物学中我们知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地认为是．如果某个家庭中先后生了两个小孩：(1)当已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩的概率为多少？(2)当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为多少？知识点1　条件概率的概念一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．P(B|A)读作事件A发生的条件下事件B发生的概率． (1)如果事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；(2)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率；而P(A|B) 表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率．知识点2　乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称此式为概率的乘法公式．知识点3　条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质，设P(A)>0，则(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(Ω|A)＝1；(3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；(4)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．(5)若事件A，B独立，P(AB)＝P(A)P(B)且P(A)>0，则P(B|A)＝P(B)，反之若P(B|A)＝P(B)且P(A)>0，则A与B相互独立．(1)P(B|A)与P(AB)有何区别？(2)若事件A，B互斥，则P(B|A)是多少？[提示]　(1)P(B|A)的值是事件AB发生相对于事件A发生的概率的大小；而P(AB)是事件AB发生相对于原来的总空间而言，一般来说，P(B|A)≠P(AB)．(2)A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0．1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝________．　[由P(B|A)＝得P(AB)＝P(B|A)·P(A)，因为P(B|A)＝，P(A)＝，所以P(AB)＝．]2．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝________．　[由公式得P(B|A)＝＝．]3．若B，C是互斥事件且P(B|A)＝，P(C|A)＝，则P(B∪C|A)＝________．　[因为B，C是互斥事件，所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＝．] 类型1　求条件概率　利用定义求条件概率【例1】　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．[解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB．(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝＝30．根据分步乘法计数原理，有n(A)＝＝20，所以P(A)＝＝＝．(2)因为n(AB)＝＝12，所以P(AB)＝＝＝．(3)法一：由(1)(2)得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝＝＝．法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝＝＝．[母题探究](变设问)本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．[解]　设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC．P(A)＝，P(AC)＝＝，所以P(C|A)＝＝．　利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．[跟进训练]1．(源自人教B版教材)已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20%与18%，且两地同时下雨的概率为12%．求春季的一天里：(1)已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率；(2)已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率．[解]　记A：甲地下雨，B：乙地下雨，则由已知可得P(A)＝20%，P(B)＝18%，P(AB)＝12%．(1)P(B|A)＝＝＝．(2)P(A|B)＝＝＝．　缩小样本空间求条件概率【例2】　(源自人教B版教材)掷红、蓝两个均匀的骰子，设A：蓝色骰子的点数为5或6；B：两骰子的点数之和大于7．求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率P(B|A)．[解]　用数对(x，y)来表示抛掷结果，其中x表示红色骰子的点数，y表示蓝色骰子的点数，则样本空间可记为Ω＝{(x，y)|x，y＝1，2，3，4，5，6}，而且样本空间可如图所示直观表示，图中每一个点代表一个样本点．样本空间中，共包含36个样本点．不难看出，A包含的样本点即图中矩形框中的点，共12个，因此P(A)＝＝．B包含的样本点即为图中三角框中的点，AB共包含9个样本点，从而 P(AB)＝＝．因此P(B|A)＝＝．　利用缩小样本空间法求条件概率的方法(1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB．(2)数：数出A中事件AB所包含的样本点．(3)算：利用P(B|A)＝求得结果．[跟进训练]2．集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．[解]　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝＝． 类型2　概率乘法公式的应用【例3】　已知口袋中有4个黑球和6个白球，这10个球除颜色外完全相同，从中不放回地每次任取1个，连取2次．求：(1)第一次取到黑球的概率；(2)两次取到的均为黑球的概率；(3)第一次取到白球而第2次取到黑球的概率．[解]　设事件A表示第一次取到黑球，B表示第二次取到黑球，则表示第一次取到白球．(1)由题意知P(A)＝＝．(2)由题意知P(B|A)＝＝，根据乘法公式，有P(AB)＝P(A)P(B|A)＝＝．所以两次取到的均为黑球的概率为．(3)由题意知，P()＝，根据乘法公式得P()＝＝．所以第一次取到白球而第2次取得黑球的概率为．[母题探究](变设问)本例条件不变，从中不放回地取球，每次各取一球，求第三次才取到黑球的概率．[解]　设C表示第三次才取到黑球，由题意知，P()＝，P(|)＝，P(C|)＝，根据乘法公式，有P(C)＝P()P(|)P(C|)＝．所以从中不放回地取球，每次各取一球，第三次才取到黑球的概率为．　应用乘法公式求概率的关注点(1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解．(2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)·P(B|A)P(A)．[跟进训练]3．设A，B为两个事件，若事件A发生的概率为，在事件A发生的条件下B发生的概率为，则事件A，B都发生的概率为________．　[由题意，P(A)＝，P(B|A)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝＝．] 类型3　互斥事件的条件概率【例4】　在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题．若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．[思路导引]　—[解]　设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道题答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型概率计算公式及概率的加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝＝＝．故他在通过的条件下，获得优秀的概率为．　(1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．[跟进训练]4．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在第1个球是红球的条件下，第2个球是黄球或黑球的概率．[解]　设“摸出第1个球为红球”为事件A，“摸出第2个球为黄球”为事件B，“摸出第2个球为黑球”为事件C．则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝．所以P(B|A)＝＝÷＝，P(C|A)＝＝÷＝，所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＝，所以在第1个球是红球的条件下，第2个球是黄球或黑球的概率为．1．(多选)下列说法正确的是(　　)A．P(B|A)＝－0.2B．P(B|A)＝P(A|B)C．P(B|A)＝0说明事件A与事件B不能同时发生D．P(B|A)与P(B)有可能相等CD　[对选项A，0≤P(B|A)≤1，故A错误；对选项B，P(B|A)与P(A|B)可能相等，也可能不相等，故B错误；对选项C，P(B|A)＝0即在事件A发生的条件下事件B发生的概率为0，即事件A与事件B不能同时发生，故C正确；对选项D，当事件A，B为相互独立事件时，P(B|A)＝P(B)，故D正确，故选CD．]2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是(　　)A．0.665　　B．0.564　　C．0.245　　D．0.285A　[记事件A为“甲厂产品”，事件B为“甲厂的合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，∴P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665．]3．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________．　[由公式P(A|B)＝＝，P(B|A)＝＝．]4．某人一周值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六值班的概率为________．　[设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”．法一：则P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝．法二：n(AB)＝1，n(A)＝＝6，故P(B|A)＝＝．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．计算条件概率的常用方法是什么？[提示]　(1)定义法：P(B|A)＝．(2)缩减样本空间法：P(B|A)＝．2．P(B|A)与P(A|B)意义相同吗？[提示]　不同．由条件概率的定义知P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，而P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率．3．在什么条件下，才有P(B|A)＝P(B)?[提示]　当且仅当事件A与事件B相互独立时，才有P(B|A)＝P(B)．课时分层作业(十一)　条件概率一、选择题1．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．C　[记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，则n(A)＝，n(AB)＝，所以P(B|A)＝．]2．某社区计划从报名参加志愿者工作的5名男生和4名女生中抽取两人加入志愿者团队，用A表示事件“抽到的两名志愿者性别相同”，B表示事件“抽到的两名志愿者都是女生”，则P(B|A)＝(　　)A．D　[由题意可知，P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝．故选D．]3．(2023·宁夏吴忠青铜峡高级中学期末)某班组织甲、乙、丙等5名同学参加演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场的前提下，学生丙第一个出场的概率为(　　)A．A　[设事件A为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件B为“学生丙第一个出场”，则n(A)＝＝78，n(AB)＝＝18，所以P(B|A)＝＝＝．]4．气象资料表明，某地区每年7月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区7月份既刮台风又下大雨的概率为(　　)A．B　[设“某地区每年七月份刮台风”为事件A，设“某地区每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB．由题得P(A)＝，P(B|A)＝，由概率的乘法公式得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝＝．]5．(2023·江西赣州十六县期中)已知事件A与B独立，且P(A)>0，若P(B|A)＝0.32，则P(B)＝(　　)A．0.34 B．0.68C．0.32 D．1C　[因为事件A与B独立，且P(A)>0，所以P(B|A)＝＝＝P(B)＝0.32，故选C．]二、填空题6．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是________．　[甲、乙二人相邻的情形有＝48个，甲与乙、丙都相邻的情形有＝12个，∴所求概率P＝＝．]7．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为________．0.72　[设A为“任取的一件是合格品”，B为“任取的一件是一等品”．因为P(A)＝1－P()＝96%，P(B|A)＝75%，且事件B发生时事件A一定发生，所以P(B)＝P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.96×0.75＝0.72．]8．某种病毒使人患病的概率为0.03，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为0.87，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为________．0.026 1　[设事件A＝“血检呈阳性”，B＝“患该种疾病”，依题意知，P(B)＝0.03，P(A|B)＝0.87，由概率的乘法公式可得，P(AB)＝P(B)P(A|B)＝0.03×0.87＝0.026 1．]三、解答题9．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率．[解]　(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55．(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15．又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝＝＝＝，因此其保费比基本保费高出60%的概率为．10．(多选)将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，事件B为“至少出现一个1点”，则(　　)A．“至少出现一个1点”的情况数目为91B．三个点数都不相同的情况数目为＝120C．P(A|B)＝D．P(B|A)＝ABC　[根据条件概率的含义，P(A|B)的含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个1点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率．因为“至少出现一个1点”的情况数目为6×6×6－5×5×5＝91，“三个点数都不相同”则只有一个1点，共×5×4＝60种，所以P(A|B)＝；P(B|A)的含义为在A发生的情况下，B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个1点”的概率，三个点数都不相同的情况数目为＝120，所以P(B|A)＝＝．]11．某地一农业科技实验站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为(　　)A．0.02 B．0.08C．0.18 D．0.72D　[记“水稻种子发芽”为事件A，“出芽后的幼苗成活”为事件B，则“水稻种子成长为幼苗”为事件AB．∵P(B|A)＝，∴P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.9×0.8＝0.72．]12．(2023·浙江台州期末)当P(A)>0时，若P(B|A)＋P()＝1，则事件A与B(　　)A．互斥 B．对立C．独立 D．不独立C　[∵P(B|A)＋P()＝P(B|A)＋1－P(B)＝1，∴P(B|A)＝P(B)，即＝P(B)，∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴事件A与B独立．故选C．]13．从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个．(1)取出球的最大号码为6的概率为______．(2)已知取出4号球的条件下，取出球的最大号码为6的概率为________．(1)　(2)　[令事件A＝{取出的4个球中含4号球}，B＝{取出的4个球中最大号码为6}，(1)P(B)＝＝．(2)法一：依题意知P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝＝．法二：依题意知n(A)＝＝84，n(AB)＝＝6，所以P(B|A)＝＝＝．]14．某地一高中生在进行高考选考科目“7选3”的选择时，因自身实力有限，暂时只确定技术作为自己的选考科目，另外2门准备随机抽取．已知在剩下的6门科目中有3门理科科目(物理、化学、生物)和3门文科科目(政治、历史、地理)，如果他从中依次抽取2门，求：(1)第1次抽到理科科目的概率；(2)第1次抽到理科科目且第2次抽到文科科目的概率；(3)在第1次抽到理科科目的条件下，第2次抽到文科科目的概率；(4)在第1次抽到理科科目的条件下，第2次抽到政治或地理的概率．[解]　(1)根据题意，从6个科目中依次抽取2门，该试验的样本空间Ω包含的样本点个数n(Ω)＝＝30．设“第1次抽到理科科目”为事件A，则n(A)＝＝15，于是P(A)＝＝＝．(2)设“第2次抽到文科科目”为事件B，则“第1次抽到理科科目且第2次抽到文科科目”为事件AB，n(AB)＝＝9，所以P(AB)＝＝＝．(3)法一(定义法)：P(B|A)＝＝＝．法二(基本事件法)：P(B|A)＝＝＝．(4)设“第2次抽到政治”为事件C，“第2次抽到地理”为事件D，则P(C∪D|A)＝P(C|A)＋P(D|A)＝＝＝．15．某技术部门招工有四项考核，已知每个应聘者能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9，0.65，各项考核是相互独立的．每个应聘者都要经过这四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰．(1)求应聘者被淘汰的概率；(2)求应聘者通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率．[解]　(1)记事件B＝“应聘者最终通过考核”，Ai(i＝1，2，3，4)分别表示应聘者通过第一、二、三、四项考核，则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.8，P(A3)＝0.9，P(A4)＝0.65．因为各项考核是相互独立的，所以P(B)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝0.6×0.8×0.9×0.65＝0.280 8，因此应聘者被淘汰的概率为1－P(B)＝1－0.280 8＝0.719 2．(2)在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为P(B|A1A3)＝＝＝0.52．所以通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为1－P(B|A1A3)＝1－0.52＝0.48.学习任务1．结合古典概型，了解条件概率的定义．(数学抽象)2．掌握条件概率的两种计算方法．(数学运算)3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．(数学建模、数学运算)上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05