新教材同步备课2024春高中数学第7章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.2全概率公式教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.1.2　全概率公式学校的“我为祖国献计献策”演讲比赛共有20名同学参加，学校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序．不过，张明对抽签的公平性提出了质疑，他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不到1号了，所以每个人抽到1号的概率不一样．张明的想法正确吗？特别地，第一个抽签的人抽到1号的概率与第二个抽签的人抽到1号的概率是否相等？为什么？知识点1　全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，3，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ (1)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和．(2)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)．*知识点2　贝叶斯公式设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n．1．已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，则P(B)的值为________．0.6　[由P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()＝P(BA)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6．]2．已知P(B1)＝0.4，P(B2)＝0.4，P(B3)＝0.2，且B1，B2，B3互斥，P(A|B1)＝0.9，P(A|B2)＝0.8，P(A|B3)＝0.7，则P(A)＝________．0.82　[P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.4×0.9＋0.4×0.8＋0.2×0.7＝0.82．]3．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为________．0.8　[设公路上经过的车为货车是事件A，经过的车是客车为事件B，车需要修理为事件C，且P(A)＝，P(B)＝，P(C|A)＝0.02，P(C|B)＝0.01，所以P(A|C)＝＝＝0.8．] 类型1　两个事件的全概率问题【例1】　(源自人教B版教材)某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．[解]　如果用A与)＝，而且P(B|A)＝，P(B|)＝．题目所要求的是P(B)．由全概率公式可知P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()＝＝．　两个事件的全概率问题求解策略(1)拆分：将样本空间拆分成对立的两部分如A1，A2(或A与)；(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率；(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．[跟进训练]1．(源自北师大版教材)采购员要购买某种电器元件一包(10个)．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品，求采购员随机挑选一包拒绝购买的概率．[解]　设事件B1表示“取到的是含有4个次品的包”，事件B2表示“取到的是含有1个次品的包”，事件A表示“采购员拒绝购买”，则P(B1)＝，P(B2)＝．又由古典概型计算概率的公式，可知P(A|B1)＝＝，P(A|B2)＝＝．从而由全概率公式，可知P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝＝．因此，采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为． 类型2　多个事件的全概率问题【例2】　甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7．飞机被一人击中且击落的概率为0.2，被两人击中且击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率．[解]　设事件A表示“飞机被击落”，事件Bi表示“飞机被i人击中”(i＝0，1，2，3)，依题意，P(A|B0)＝0，P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．再设事件Hi表示“飞机被第i人击中”(i＝1，2，3)．则P(B1)＝P(H1H2∪H3)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36．同理P(B2)＝P(H1H2∪H1H3H2H3)＝0.41，P(B3)＝P(H1H2H3)＝0.14，P(B0)＝P()＝0.09．由全概率公式，可知P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.09×0＋0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458．因此，飞机被击落的概率为0.458．　“化整为零”求多事件的全概率问题(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．[跟进训练]2．如图所示，有三个箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大．[解]　设事件Bi表示“球取自i号箱”(i＝1，2，3)，事件A表示“取得红球”．由全概率公式，可得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝＝．再由条件概率知，P(B1|A)＝＝＝＝，P(B2|A)＝＝＝＝＝，P(B3|A)＝＝＝＝．因此，该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大． 类型3　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【例3】　某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的．根据以往的记录有以下的数据：设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品由三家工厂生产的概率分别是多少．[解]　设A表示取到的是一只次品，Bi(i＝1，2，3)表示所取到的产品是由第i家工厂提供的．本题的概率树形图如下：易知P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.80，P(B3)＝0.05，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.03．(1)由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)·P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.012 5．(2)由贝叶斯公式得P(B1|A)＝＝＝0.24．同理可得P(B2|A)＝0.64，P(B3|A)＝0.12．　若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式．(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率． 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效．[跟进训练]3．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，现有三家的产品混合在一起．(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大？[解]　设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8．＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86．(2)由贝叶斯公式得P(B1|A)＝＝＝，P(B2|A)＝＝＝，P(B3|A)＝＝＝＝．由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0．则他迟到的概率为(　　)A．0.65　　B．0.075　　C．0.145　　D．0C　[设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来，A4＝他乘飞机来，B＝他迟到．易知A1，A2，A3，A4两两互斥，由全概率公式得P(B)＝2．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为(　　)A．0.21 B．0.06C．0.94 D．0.95D　[令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的产品，i＝1，2．由全概率公式得：P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×0.96＋×0.93＝0.95．故选D．]3．(多选)若0