高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布一课一练，共6页。试卷主要包含了建立模型等内容，欢迎下载使用。
袋子中有大小相同的N个球，其中有M个红球、N－M个白球，令p＝，设X表示摸出的n个球中红球的个数，则：
2．二项分布与超几何分布的联系与区别
(1)由古典概型得出超几何分布，由n重伯努利试验得出二项分布，放回摸球是二项分布，不放回摸球是超几何分布．
(2)对于同一个模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说明超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近．
(3)对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，可近似认为是独立的．此时，超几何分布可以用二项分布近似．从方差的角度看，由于≈1，两个分布的方差也近似相等．
(4)在确定分布列时，超几何分布必须同时知道N和M，而二项分布只需要知道p＝即可．
类型1 二项分布的综合应用
【例1】 (2023·河南开封尉氏三中月考)在一次测试中，第22，23，24题为选做题，规定每名考生必须从中选做一题，设5名考生选做这三题中任意一题的可能性均为，每名考生对每题的选择是相互独立的，各考生的选择相互之间没有影响．
(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；
(2)设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望及方差．
[解] (1)设事件A1表示甲选做第22题，A2表示甲选做第23题，A3表示甲选做第24题，B1表示乙选做第22题，B2表示乙选做第23题，B3表示乙选做第24题，
依题意知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1，2，3，记甲、乙两人选做同一题为事件M，则M＝A1B1＋A2B2＋A3B3，易知A1与B1，A2与B2，A3与B3均相互独立，
∴P(M)＝P(A1B1＋A2B2＋A3B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝×3＝．
(2)ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5．
∵5名考生选做这三题中任意一题的可能性均为，
∴P(ξ＝k)＝＝·，k＝0，1，2，3，4，5，
∴ξ的分布列为
∴E(ξ)＝5×＝，
D(ξ)＝5×＝．
(1)解题的关键是判定随机变量ξ服从二项分布，确定参数n和p的值．
(2)根据二项分布的概率列出分布列．
(3)利用定义或二项分布的性质求二项分布的均值和方差．
类型2 超几何分布的综合应用
【例2】 某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表所示．表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为．
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同)．
(1)求m，n的值；
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列、均值及方差．
[解] (1)设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”，
由题意，可知数学专业的同学共有(1＋m)名，
则P(A)＝＝，解得m＝3．
因为m＋n＋6＝10，所以n＝1．
(2)设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，
则P(B)＝＝．
(3)由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，
ξ的可能取值为0，1，2，3．
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
P(ξ＝3)＝＝＝．
所以ξ的分布列为
∴数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
方差D(ξ)＝＝．
解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列，利用均值、方差的定义求出随机变量的均值和方差．
类型3 二项分布与超几何分布的综合应用
【例3】 某高校通过自主招生方式招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个．已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．
(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．
(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪名被录取的可能性更大？
[解] (1)由题意得，甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：
P＝＝．
(2)设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝．
设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
由题意知Y～B，E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3×＝，
E(X)＝E(Y)，D(X)