福建省部分地市校2024届高中毕业班第一次质量检测数学试卷(含答案)

这是一份福建省部分地市校2024届高中毕业班第一次质量检测数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知向量,满足,,,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
3．已知某正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
4．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递,火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题,全长8公里.从和合公园出发,途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑.假设某段线路由甲、乙等6人传递,每人传递一棒,且甲不从乙手中接棒,乙不从甲手中接棒,则不同的传递方案共有( )
A.288种B.360种C.480种D.504种
5．设,是两个不同的平面,a,b是两条不同的直线,且,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．若函数,,的值域为,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知,,,则( )
A.B.C.D.
8．已知定义在R上的奇函数满足,则对所有这样的函数,由下列条件一定能得到的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在一次数学考试中,某班成绩的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是( )
A.图中所有小长方形的面积之和等于1
B.中位数的估计值介于100和105之间
C.该班成绩众数的估计值为97.5
D.该班成绩的极差一定等于40
10．已知等差数列中,,公差为,,记为数列的前n项和,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.若,则
D.若,则
11．已知圆和圆,则( )
A.圆的半径为4
B.y轴为圆与的公切线
C.圆与公共弦所在的直线方程为
D.圆与上共有6个点到直线的距离为1
三、解答题
12．定义在R上的函数的导函数为,对于任意实数x,都有,且满足,则( )
A.函数为奇函数
B.不等式的解集为
C.若方程有两个根,,则
D.在处的切线方程为
13．设的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)若,求c的最小值；
(2)求的值.
14．如图,多面体中,四边形为正方形,平面平面,,,,,与交于点M.
(1)若N是中点,求证：；
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
15．已知数列和,其中的前项和为,且,.
(1)分别求出数列和的通项公式；
(2)记,求证：.
16．设a,b为实数,且,函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设,函数,试问是否存在极小值点?若存在,求出的极小值点；若不存在,请说明理由.
17．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系,某实验小组做了调查,得到一些数据（表一）．
表一
（1）请根据所给数据求出x,y的经验回归方程,并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：,,的方差为200）
（2）基于上述调查,某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后,抽样调查了220位学生．按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计,得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验,分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
表二
附：,,．
18．已知抛物线C：（）上一点M的纵坐标为3，点M到焦点距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点作直线交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线与，与相交于点D，过点A作直线垂直于，过点B作直线垂直于，与相交于点E，、、、分别与x轴交于点P、Q、R、S.记、、、的面积分别为、、、.若，求直线的方程.
四、填空题
19．的展开式中的系数为__________（用数字作答）.
20．与圆台的上、下底面及侧面都相切的球,称为圆台的内切球,若圆台的上下底面半径为,,且,则它的内切球的体积为__________.
21．已知等比数列满足且,则的取值范围是__________.
22．斜率为1的直线与双曲线（,）交于两点A,B,点C是曲线E上的一点,满足,和的重心分别为P,Q,的外心为R,记直线,,的斜率为,,,若,则双曲线E的离心率为__________.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,又,
所以.
故选：C.
2．答案：B
解析：由得,
将,,代入可得,
所以,所以,
由于,所以,
故选：B.
3．答案：D
解析：由正六棱柱的性质可得O为其外接球的球心（如图）,,
由于底面为正六边形,所以为等边三角形,故,
所以,
所以为外接球的半径,故外接球表面积为,
故选：D.
4．答案：C
解析：先安排甲乙以外的4个人,然后插空安排甲乙两人,
所以不同的传递方案共有种.
故选：C.
5．答案：A
解析：由,,则,又,所以,故“”是“”的充分条件.
当满足,,时,直线a,b可能平行,可能相交,也可能异面.
故“”不是“”的必要条件.
故选：A.
6．答案：D
解析：根据题意可知若,则可得；
显然当时,可得,
由的值域为,利用三角函数图像性质可得,
解得,即的取值范围是.
故选：D.
7．答案：A
解析：因为,连接和,得割线方程,
因为在上是下凸函数,
所以在上,割线在正切曲线上方,即,
所以当时,,
令,,
,
当时,因为,即,
所以在单调增,即,
因为,
所以,即,
故,即.
故选：A.
8．答案：C
解析：由题设,即,
所以是周期为的奇函数,且是一条对称轴,
当时,则,,不符合
当时,则且,不符合；
当时,则,,故；
当时,则且,不符合；
故选：C.
9．答案：ABC
解析：对于A,由频率分布直方图的性质可知,图中所有小长方形的面积之和等于1,即A正确；
对于B,易知组距为5,前两组成绩所占的频率为,
前三组成绩所占的频率为,由中位数定义可得其估计值介于100和105之间,即B正确；
对于C,由图可知频率最高的成绩区间,取中间值为代表可知班成绩众数的估计值为97.5,即C正确；
对于D,由图可知成绩最高区间为,最低区间为,但最高分和最低分不一定分别为130,90,所以其成绩极差不一定为40,即D错误；
故选：ABC.
10．答案：BCD
解析：由为等差数列,,公差为,则,
,
,
当时,,则选项A不正确.
当n为偶数时,,
当n为奇数时,,
故,所以选项B正确.
,
,
当n为偶数时,,
当n为奇数时,,
所以,故选项C正确.
,
,
所以
,所以选项D正确.
故选：BCD.
11．答案：BD
解析：对于A项,由圆配方得：
知圆的半径为2,故选项A错误；
对于B项,因圆心到y轴的距离为1,等于圆的半径,故圆与y轴相切,
同理圆心到y轴的距离等于圆的半径,圆与y轴相切,故y轴为圆
与的公切线,故选项B正确；
对于C项,只需要将与左右分别相减,
即得圆与的公共弦所在的直线方程为：故选项C错误；
对于D项,如图,因直线同时经过两圆的圆心,依题意可作两条
与该直线平行且距离为1的直线与,其中与和圆都相切,各有一个公共点,
与和圆都相交,各有两个交点,故圆与上共有6个点到直线的距离为1,故选项D正确.
故选：BD.
12．答案：AC
解析：对于A,,,由可得,所以,且定义域为R,故为奇函数,A正确,
由于,所以,c为常数,则,
又在中,令,则,故,故,
所以,
对于B,可得,又,故,则,故B错误,
对于C,为单调递增函数,而为开口向上,且对称轴为的二次函数,且是的两个交点,的两个交点设为,,则,且,又为单调递增函数,所以,所以,C正确,
由得,所以在处的切线方程为,D错误,
故选：AC.
13．答案：(1)
(2)0
解析：(1)由余弦定理知,
方法1：,
所以,当时取等,此时为正三角形.
故c的最小值为.
方法2：,
所以,当时取等.
故c的最小值为.
(2)方法1：因为.
所以原式
.
方法2：因为,
原式
.
综上所述：.
14．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为四边形为正方形,
所以,
因为平面平面,平面平面,,
所以平面,
又因为平面,
所以,
连接,则,
在中,,
所以,
因为,,,平面,且,
从而平面,
又平面,
所以,
因为,,,平面,且,
所以平面,
又平面,
所以,
又因为,所以,
又N是中点,,所以,
因为,,,平面,且,
所以平面,
又因为平面,
所以.
(2)由(1)知,平面,且,
以A为坐标原点,分别以、、所在的直线为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
则、、、,
则,,,
由得,,所以,
所以,,
设面的法向量为,由得,,取,则,
设直线和平面所成角为,
则,
所以直线和平面所成角的正弦值为.
15．答案：(1),
(2)证明见解析
解析：(1)当时,,所以,
时,①,
②,
①-②得,
即,,
所以是以首项为2,公比为2的等比数列,所以,
所以.
(2),即③,
④,
④-③,得
,
因为,,所以.
16．答案：(1)答案见解析
(2)存在极小值点,且极小值点为
解析：(1),,,
当时,,在区间上单调递增；
当,且时,,单调递减；
当时,,单调递增.
综上,当时,在区间上单调递增；
当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增.
(2)当时,,,
故.
令,,所以,
当时,,单调递减；
当时,,单调递增.
又,,,
故,使得.
当时,,,单调递增；
当时,,,单调递减；
当时,,,单调递增,
故存在极小值点,且极小值点为.
17．答案：（1）,140.5分
（2）可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关
解析：（1）,
,又的方差为,
所以,
,故,当时,,
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分.
（2）零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关.
根据数据,计算得到：
,
因为,
所以依据独立性检验,可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)设，由题意可得，即，
解得或（舍去），所以抛物线C的方程为.
(2)如图，
设经过，两点的直线方程为：（），
与抛物线方程联立可得，
即，，
，.
，则，
，
过点A作C的切线方程为，
令，得，即.
同理，过点B作C的切线方程为，
令，得，即.
.
联立两直线方程，解得，即，
则D到直线的距离.
又过点A作直线垂直于，
直线的方程为，
令，得，即.
同理，直线的方程为，
令，得，即.
.
联立两直线方程，解得，
整理后可得，即，
则E到直线的距离.
由上可得，，
，，
，得，
直线的方程为即.
19．答案：
解析：由题意得：展开式的通项为：,
当时,即：,得：,
当时；即：,得：,
所以得：展开式中含项为：,所以的系数为：.
故答案为：.
20．答案：
解析：由题意,画出圆台的直观图,其中为圆台的母线长,D,C分别为上、下底面的圆心,点O为内切球的球心,点E为球O与圆台侧面相切的一个切点.
则由题意可得：,
.
因此可得：内切球半径,即得内切球的体积为.
故答案为：.
21．答案：
解析：因为为等比数列,所以.
令,
则.
因为,,所以.
当时,,此时恒成立,在上单调递增,
,所以一定有解,即,使得成立.
当时,,则,此时单调递增；,则,此时单调递减.
为使有解,则,
整理得,解得.
又,所以.
综上,的取值范围是.
故答案为：.
22．答案：
解析：若直线与双曲线有两个交点G,H,设G,H的中点为K,
联立方程组,整理得,
可得,则,
又由在直线上,可得,
所以,所以,
即直线l与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l的斜率之积为定值,
如图所示,取,的中点M,N,
因为的重心P在中线上,的重心Q在中线上,
所以,,可得,
即,
又由,可得,可得,
因为,且的外心为点R,则R为线段的中点,
可得,因为,所以,
所以,所以,
所以.
故答案为：.
编号
1
2
3
4
5
学习时间x
30
40
50
60
70
数学成绩y
65
78
85
99
108
没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末不在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828