人教版九年级上册21.1 一元二次方程优秀课后练习题

这是一份人教版九年级上册21.1 一元二次方程优秀课后练习题，文件包含专题01解一元二次方程与实际应用40题原卷版docx、专题01解一元二次方程与实际应用40题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
1．解方程：
（1）x2+6x﹣5＝0； （2）（3x﹣2）2＝（2x﹣3）2．
【分析】（1）利用配方法解出方程；
（2）利用平方差公式按原式变形，利用因式分解法解出方程．
【解答】解：（1）x2+6x﹣5＝0，
则x2+6x＝5，
∴x2+6x+9＝5+9，
∴（x﹣3）2＝14，
∴x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）（3x﹣2）2＝（2x﹣3）2，
则（3x﹣2）2﹣（2x﹣3）2＝0，
∴（3x﹣2+2x﹣3）（3x﹣2﹣2x+3）＝0，
∴（5x﹣5）（x+1）＝0，
∴5x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣1．
2．解下列方程：
（1）x2﹣10x+16＝0； （2）2x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）利用十字相乘法把方程的左边变形，进而解出方程；
（2）利用配方法解出方程．
【解答】解：（1）x2﹣10x+16＝0，
则（x﹣2）（x﹣8）＝0，
∴x﹣2＝0，x﹣8，＝0，
∴x1＝2，x2＝8；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0，
则2x2﹣4x＝1，
∴x2﹣2x＝，
∴x2﹣2x+1＝+1，
∴（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
3．解方程：
（1）x2﹣3x﹣4＝0； （2）x（x﹣2）＝1；
（3）x2﹣2x+1＝9； （4）2x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】（1）利用因式分解式解出方程；
（2）先把方程化为一般形式，再利用公式法解出方程；
（3）先把方程化为一般形式，再利用因式分解法解出方程；
（4）利用公式法解出方程．
【解答】解：（1）x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
x1＝4，x2＝﹣1；
（2）x（x﹣2）＝1，
x2﹣2x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8，
∴x＝＝＝1±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）x2﹣2x+1＝9，
x2﹣2x﹣8＝0，
（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x﹣4＝0或x+2＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（4）2x2﹣2x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝4+8＝12，
∴x＝＝，
∴x1＝+，x2＝﹣．
4．解下列方程：
（1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x2﹣5x﹣1＝0．
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用公式法解一元二次方程．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝﹣2，
∴x2﹣4x+4＝﹣2+4，即 （x﹣2）2＝2，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，
∴x＝，
即x1＝x2＝．
5．解方程：
（1）x2+8x﹣1＝0； （2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．
【分析】（1）先利用配方法得到（x+4）2＝17，然后利用直接开平方法解方程．
（2）利用因式分解法把原方程转化为x﹣2＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x2+8x﹣1＝0，
x2+8x＝1，
x2+8x+16＝1+16，
（x+4）2＝17，
x，
，；
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
x1＝2，x2＝﹣1．
6．解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0； （2）3x2﹣5x+1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用求根公式法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2＝1；
（2）3x2﹣5x+1＝0，
这里a＝3，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
7．用指定的方法解下列方程：
（1）x2+6x﹣16＝0（配方法）； （2）x2+10x+9＝0（公式法）．
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程变形得：x2+6x＝16，
配方得：x2+6x+9＝16+9，即（x+3）2＝25，
开方得：x+3＝±5，
解得：x1＝2，x2＝﹣8；
（2）x2+10x+9＝0，
这里a＝1，b＝10，c＝9，
∵Δ＝100﹣36＝64＞0，
∴x＝＝﹣5±4，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣9．
8．用适当的方法解下列方程：
（1）x2+4x﹣6＝0； （2）（x+4）2＝5（x+4）．
【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）整理后，利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）x2+4x﹣6＝0
∵a＝1，b＝4，c＝﹣6，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣6）＝40，
∴，
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）（x+4）2＝5（x+4）
∴（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
则（x+4）（x+4﹣5）＝0，
∴（x+4）（x﹣1）＝0，
则x+4＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝1．
9．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2+x﹣4＝0； （2）（2x+1）2+15＝8（2x+1）．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2+x﹣4＝0，
∵Δ＝12﹣4×1×（﹣4）＝1+16＝17＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）（2x+1）2+15＝8（2x+1），
（2x+1）2﹣8（2x+1）+15＝0，
（2x+1﹣3）（2x+1﹣5）＝0，
（2x﹣2）（2x﹣4）＝0，
2x﹣2＝0或2x﹣4＝0，
x1＝1，x2＝2．
10．（2x2+3x）2﹣4（2x2+3x）﹣5＝0．
【分析】把（2x2+3x）看作一个整体，利用十字相乘分解因式，即可求解．
【解答】解：（2x2+3x）2﹣4（2x2+3x）﹣5＝0，
[（2x2+3x）﹣5][（2x2+3x）+1]＝0，
（2x+5）（x﹣1）（2x+1）（x+1）＝0，
．
11．计算：
（1）3x2﹣5x﹣3＝0； （2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
【分析】（1）利用解一元二次方程中的公式法计算即可；
（2）利用解一元二次方程中的因式分解法计算即可．
【解答】解：（1）3x2﹣5x﹣3＝0，
∴a＝3，b＝﹣5，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣3）＝61，
∴，
∴或；
（2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1），
3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝1或．
12．解下列方程：
（1）x2+4x﹣1＝0； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
【分析】（1）配方法求解可得；
（2）因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）x2+4x﹣1＝0，
x2+4x＝1，
x2+4x+4＝5，
（x+2）2＝5，
x+2＝±，
解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）分解因式得：（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
可得x﹣3＝0或3x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝1．
13．解下列方程：
（1）； （2）x2﹣6x＝4；
（3）3x（2x+1）＝2（2x+1）； （4）2x2﹣7x+3＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用公式法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）原方程化为（2x﹣5）2＝4，
两边开平方，得2x﹣5＝±2，
∴，；
（2）配方，得x2﹣6x+32＝4+32，
则（x﹣3）2＝13，
开平方，得，
∴；
（3）移项，得3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，
则（2x+1）（3x﹣2）＝0，
∴2x+1＝0或3x﹣2＝0，
∴；
（4）对于方程2x2﹣7x+3＝0，a＝2，b＝﹣7，c＝3，
则Δ＝b2﹣4ac＝49﹣4×2×3＝25，
∴，
∴．
14．请用合适的方法解下列方程：
（1）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）； （2）2x2﹣3x﹣14＝0．
【分析】（1）先移项得到3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或3x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）利用因式分解法把方程转化为2x﹣7＝0或x+2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）3x（x﹣2）＝2（x﹣2），
3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣2）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣2＝0，
所以x1＝2，x2＝；
（2）2x2﹣3x﹣14＝0，
（2x﹣7）（x+2）＝0，
2x﹣7＝0或x+2＝0，
所以x1＝，x2＝﹣2．
15．解方程：
（1）x2+8x＝9（用配方法解）； （2）3x2﹣5x＝2（用公式法解）；
（3）（x﹣4）2＝9； （4）x2﹣7x+6＝0；
（5）（x+3）2＝2x+6； （6）（x+3）2＝（1﹣2x）2．
【分析】（1）把方程两边都加上一次项系数的平方，得x2+8x+（）2＝9+（）2，即（x+4）2＝25，然后利用直接开平方法求解；
（2）先变形为一般式3x2﹣5x﹣2＝0，再计算出Δ＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49，然后代入一元二次方程的求根公式进行计算即可；
（3）利用直接开平方法求解；
（4）用因式分解法直接求解即可；
（5）先把方程转化为一般式，再用因式分解求解即可；
（6）先两边开方得到x+3＝±（1﹣2x），然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）∵x2+8x＝9，
∴x2+8x+（）2＝9+（）2，即（x+4）2＝25，
∴x+4＝±5，
∴x1＝1，x2＝﹣9；
（2）原方程变形为3x2﹣5x﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝25+24＝49，
∴x＝＝，
∴x1＝2，x2＝﹣；
（3）∵（x﹣4）2＝9；
∴x﹣4＝±3，
∴x1＝7，x2＝1；
（4）x2﹣7x+6＝0，
∴（x﹣6）（x﹣1）＝0，
∴x﹣6＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝6，x2＝1；
（5）∵（x+3）2＝2x+6，
∴x2+6x+9﹣2x﹣6＝0，
∴x2+4x+3＝0，
∴（x+1）（x+3）＝0，
∴x+1＝0或x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣3；
（6）∵（x+3）2＝（1﹣2x）2，
∴x+3＝±（1﹣2x），
∴x+3＝1﹣2x或x+3＝﹣1+2x，
∴x1＝﹣，x2＝4．
一元二次方程的实际应用（25题）
16．用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A．B．
C．x（12﹣2x+1）＝20D．x（12﹣2x﹣1）＝20
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（12﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程即可．
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为1m可以得出平行于墙的一边的长为（12﹣2x+1）m，由题意得x（12﹣2x+1）＝20，
故选：C．
17．2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．600（1+2x）＝2850
B．600（1+x）2＝2850
C．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850
D．2850（1﹣x）2＝600
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于2850，列方程即可．
【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
故选：C．
18．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．16（1﹣x）2＝9B．16（1﹣x2）＝9C．9（1﹣x）2＝16D．9（1+x2）＝16
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格×（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是16（1﹣x），第二次后的价格是16（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：根据题意得：16（1﹣x）2＝9，
故选：A．
19．某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
D．200[1+x+（1+x）2]＝1000
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝1000万元，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为200（1+x）万元，三月份的营业额为200（1+x）2万元，
又∵第一季度的总营业额共1000万元，
∴200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．
故选：C．
20．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（60﹣x）（200+8x）＝8450B．（20﹣x）（200+x）＝8450
C．（20﹣x）（200+40x）＝8450D．（20﹣x）（200+8x）＝8450
【分析】当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，每星期可卖出（200+8x）件，利用每星期的销售总利润＝每件的销售利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，每星期可卖出（200+8x）件，
根据题意得：（20﹣x）（200+8x）＝8450．
故选：D．
21．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A．82+x2＝（x﹣3）2B．82+（x+3）2＝x2
C．82+（x﹣3）2＝x2D．x2+（x﹣3）2＝82
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+82＝x2，
故选：C．
22．为了满足师生的阅读要求，某校图书馆的藏书逐年增加，从2018年年底至2020年年底该校的藏书由4.5万册增加到6.48万册，设某校2018年年底至2020年年底藏书的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．4.5+4.5（1+x）+4.5（1+x）2＝6.48
B．4.5×2（1+x）＝6.48
C．4.5（1+2x）＝6.48
D．4.5（1+x）2＝6.48
【分析】利用2020年年底该校的藏书量＝2018年年底该校的藏书量×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：4.5（1+x）2＝6.48．
故选：D．
23．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程得（ ）
A．2（x+1）＝121B．x+x（1+x）＝121
C．1+x+x（1+x）＝121D．1+（1+x）2＝121
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中有x个人被传染，第二轮传染中有x（1+x）个人被传染，结合“有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x个人被传染，第二轮传染中有x（1+x）个人被传染，
又∵有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，
∴可列出方程1+x+x（1+x）＝121．
故选：C．
24．某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、10m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为144m2，设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（ ）
​
A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144B．2x2＝144
C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝144
【分析】由小道的宽为xm，可得出剩下的用于种植的部分可合成长为（18﹣2x）m，宽为（10﹣x）m的矩形，结合种植面积为144m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵小道的宽为xm，
∴剩下的用于种植的部分可合成长为（18﹣2x）m，宽为（10﹣x）m的矩形．
根据题意得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144．
故选：A．
25．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A．（x﹣3）（10﹣x）＝40B．（x+3）（10﹣x）＝40
C．（x﹣3）（10+x）＝40D．（x+3）（10+x）＝40
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（10﹣x）元，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝每盆的总盈利即可得出方程．
【解答】解：由题意得：（x+3）（10﹣x）＝40，
故选：B．
26．在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；
​
【分析】设丝绸条带的宽度为xcm，由长方形的面积计算公式结合丝绸条带的面积为650cm2，列出关于x的一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设丝绸条带的宽度为xcm，
由题意得：2x×40+（60﹣2x）x＝650，
整理得：x2﹣70x+325＝0，
解得：x1＝5，x2＝65 （不合题意，舍去），
答：丝绸条带的宽度为5cm．
27．昆明湖中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，设售价在40元/个的基础上涨价x元．
（1）用含有x的代数式表示月销售量y；
（2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【分析】（1）利用月销售量＝600﹣10×售价在40元/个的基础上涨的钱数，即可用含x的代数式表示出月销售量y；
（2）利用月销售利润＝每个头盔的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可求出x的值，结合要尽可能让顾客得到实惠，可确定x的值，再将其代入（40+x）中，即可求出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝600﹣10x；
（2）根据题意得：（40+x﹣30）（600﹣10x）＝10000，
整理得：x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝10，
∴40+x＝40+10＝50．
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
28．道州脐橙果大、皮薄，色泽鲜艳，果肉多汁化渣，风味浓郁，果汁中含有大量的维生素及对人体有益的矿物质，深受消费者的喜爱．某合作社从2020年到2022年每年种植脐橙100亩，2020年脐橙的平均亩产量为2000千克，2021年到2022年引进先进的种植技术提高脐橙的产量，2022年脐橙的平均亩产量达到2880千克．
（1）若2021年和2022年脐橙的平均亩产量的年增长率相同，求脐橙平均亩产量的年增长率为多少？
（2）2023年该合作社计划在保证脐橙种植的总成本不变的情况下，增加脐橙的种植面积，经过调查发现，2022年每亩脐橙的种植成本为1200元，若脐橙的种植面积每增加1亩，每亩脐橙的种植成本将下降10元，求2023年该合作社增加脐橙种植面积多少亩，才能保证脐橙种植的总成本不变？
【分析】（1）设2021年和2022年脐橙平均亩产量的年增长率为x，第2021年脐橙平均亩产量为1000（1+x）千克，第2022年脐橙平均亩产量为1000（1+x）2千克，据此列出方程求解即可；
（2）设增加脐橙种植面积a亩，根据成本不变列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设2021年和2022年脐橙平均亩产量的年增长率为x，
根据题意，得2000（1+x）2＝2880，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：脐橙平均亩产量的年增长率为20%．
（2）设增加脐橙种植面积a亩．
根据题意，得（100+a）（1200﹣10a）＝1200×100．
解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝20．
答：该合作社增加脐橙的种植面积20亩时，才能保证脐橙种植的总成本保持不变．
29．2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？
【分析】（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为x，由题意可列方程为1×（1+x）2＝1.21，求解即可．
（2）设每件商品的售价应该定为m元，根据题意可列方程为（m﹣80）（1500﹣10m）＝12000，求出m的值，再使其满足销量尽可能大即可．
【解答】解：（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为x，
由题意可得，1×（1+x）2＝1.21，
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍去），
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．
（2）设每件商品的售价应该定为m元，
则每件商品的销售利润为（m﹣80）元，
每天的销售量为500﹣10（m﹣100）＝（1500﹣10m）件，
依题意可得（m﹣80）（1500﹣10m）＝12000，
解得m1＝110，m2＝120，
∵要使销量尽可能大，
∴m＝110，
答：每件商品的售价应该定为110元．
30．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素．某汽车零部件生产企业的利润率年提高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为3.92亿元．
（1）求该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率；
（2）若2022年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过5.5亿元？
【分析】（1）设该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求解即可；
（2）根据该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率求出该企业2022年的利润即可作答．
【解答】解：（1）设该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2＝3.92，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去），
即该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率为40%；
（2）若2022年保持前两年利润的年平均增长率不变，
该企业2022年的利润为：3.92×（1+40%）＝5.488＜5.5，
故该企业2022年的利润不能超过5.5亿元．
31．随旅游旺季的到来，北湖湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人，5月份游客人数为12.5万人．
（1）求这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率；
（2）预计6月份北湖湿地公园游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率．已知北湖湿地公园6月1日至6月10日已接待游客6.625万人，则6月份后20天日均接待游客人数最多是多少万人？
【分析】（1）设这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为x，利用5月份游客人数＝3月份游客人数×（1+这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设6月份后20天日均接待游客人数是y万人，根据6月份游客人数不超过12.5×（1+25%）万人，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为x，
根据题意得：8（1+x）2＝12.5，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：这两个月中北湖湿地公园游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设6月份后20天日均接待游客人数是y万人，
根据题意得：6.625+20y≤12.5×（1+25%），
解得：y≤0.45，
∴y的最大值为0.45．
答：6月份后20天日均接待游客人数最多是0.45万人．
32．某商店经销一种销售成本为每千克30元的水产品．据某乐同学在市场分析，若按每千克40元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．
（1）当销售单价是定为每千克45元时，求月销售利润；
（2）某商店想在月销售成本不超过9000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
【分析】（1）利用月销售利润＝每千克的销售利润×月销售量，即可求出结论；
（2）设销售单价定为x元/千克，则每千克的销售利润为（x﹣30）元，月销售量为（900﹣10x）千克，利用月销售利润＝每千克的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合月销售成本不超过9000元，即可确定结论．
【解答】解：（1）根据题意得：（45﹣30）×[500﹣10×（45﹣40）]
＝15×[500﹣10×5]
＝15×[500﹣50]
＝15×450
＝6750（元）．
答：月销售利润为6750元；
（2）设销售单价定为x元/千克，则每千克的销售利润为（x﹣30）元，月销售量为500﹣10（x﹣40）＝（900﹣10x）千克，
根据题意得：（x﹣30）（900﹣10x）＝8000，
整理得：x2﹣120x+3500＝0，
解得：x1＝50，x2＝70，
当x＝50时，30（900﹣10x）＝30×（900﹣10×50）＝12000＞9000，不符合题意，舍去；
当x＝70时，30（900﹣10x）＝30×（900﹣10×70）＝6000＜9000，符合题意．
答：销售单价应定为70元/千克．
33．台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
【分析】（1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）2＝第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；
（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）＝第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．
【解答】解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，
3000×（1+x）2＝4320，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：捐款增长率为20%．
（2）4320×（1+20%）＝5184元．
答：第四天该单位能收到5184元捐款．
34．2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
【分析】（1）设该工厂平均每月生产量增长率为x，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量＝该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量×（1+该工厂平均每月生产量的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+5y）个，利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该工厂平均每月生产量的增长率为x，
依题意得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：该工厂平均每月生产量的增长率为20%．
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利（40﹣y）元，平均每天可售出20+10×＝（20+5y）个，
依题意得：（40﹣y）（20+5y）＝1440，
整理得：y2﹣36y+128＝0，
解得：y1＝4，y2＝32（不符合题意，舍去）．
答：每个“冰墩墩”应降价4元．
35．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【分析】（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，利用今年五月份完成投递的快递总件数＝今年三月份完成投递的快递总件数×（1+该快递公司投递快递总件数的月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）求出今年6月份的快递投递任务及20名快递投递业务员一个月的最大投递量，比较后可得出该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，设需要增加y名快递投递员，根据一个月的投递量不少于13.31万件，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
依题意得：10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）．
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万件），
∵0.6×16＝9.6（万件），9.6＜13.31，
∴该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．
设需要增加y名快递投递员，
依题意得：0.6（20+y）≥13.31，
解得：y≥，
又∵y为正整数，
∴y的最小值为3．
答：该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加3业务员．
36．某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边）．
（1）若花园的面积为400平方米，求AB的长；
（2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625平方米？若能，求出AB的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设AB的长为x米，则BC的长为（50﹣x）米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设AB的长为x米，则BC的长为（50﹣x）米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）设AB的长为x米，则BC的长为（50﹣x）米，
由题意得：x（50﹣x）＝400，
解得：x1＝10，x2＝40，
即AB的长为10米或40米；
（2）花园的面积不能为625米2，
理由如下：
设AB的长为x米，则BC的长为（50﹣x）米，
由题意得：
x（50﹣x）＝625，
解得：x1＝x2＝25，
当x＝25时，BC＝50﹣x＝50﹣25＝25，
即当AB＝25米，BC＝25米＜30米，
∴花园的面积不能为625米2．
37．“杭州亚运•三人制篮球”赛将于9月25﹣10月1日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件．
（1）若降价5元，求平均每天的销售数量；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？
【分析】（1）利用平均每天的销售量＝100+10×每件商品降低的价格，即可得出结论；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（100+10x）元，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，求解即可．
【解答】解：（1）平均每天的销售数量为：100+10×5＝150（件），
答：平均每天的销售数量150件；
（2）设每件商品降价x元，
根据题意，得：（100+10x）（40﹣x）＝6000，
解得：x1＝10，x2＝20，
答：当每件商品降价10元或20元时，该商店每天销售利润为6000元．
38．2018﹣2020年注定是不平凡的三年，2018年非洲猪瘟疫情爆发，2019年中国猪肉价格持续高涨，2020年新冠病毒爆发，目前各行各业都存在潜在的变化，例如2019年猪肉价格持续高涨，引起了政府、市场监督等部门的高度重视，据统计，2019年1月精品瘦肉的售价为32元/千克，由于猪瘟疫情，生猪减少，市场对猪肉的需求量持续增加，所以猪肉价格持续上涨，已知2020年1月猪肉的售价比2019年1月上涨了5a%，市民王大爷2020年1月18号在双福镇永辉超市购买4.5千克的精品瘦肉花了324元．
（1）求a的值；
（2）双福镇永辉超市将进价为52元/千克的精品瘦肉，按2020年1月18号的价格出售，平均每天能售出150千克，因为政府部门的高度重视，猪肉价格有所下降，经市场调查发现，精品瘦肉的售价每千克下降1元，其日销量就增加10千克，双福镇永辉超市为实现销售精品瘦肉每天有3040元的利润，并尽可能让消费者得到实惠，精品瘦肉的售价应为多少元？
【分析】（1）根据在双福镇永辉超市购买4.5千克的精品瘦肉花了324元得：32×（1+5a%）×4.5＝324，解方程可得a的值为25；
（2）设精品瘦肉的售价应为x元，2020年1月18号的价格为32×（1+）＝72（元/千克），根据每天有3040元的利润得（x﹣52）[150+10×（72﹣x）]＝3040，解方程并检验可得精品瘦肉的售价应为每千克68元．
【解答】解：（1）根据题意得：
32×（1+5a%）×4.5＝324，
解得a＝25，
∴a的值为25；
（2）设精品瘦肉的售价应为x元，
2020年1月18号的价格为32×（1+）＝72（元/千克），
根据题意得：（x﹣52）[150+10×（72﹣x）]＝3040，
解得x＝71或x＝68，
∵尽可能让消费者得到实惠，
∴x取68，
答：精品瘦肉的售价应为每千克68元．
39．今年元旦期间，某网络经销商进购了一批节日彩灯，彩灯的进价为每条40元，当销售单价定为52元时，每天可售出180条，为了扩大销售，决定采取适当的降价措施，经调查：销售单价每降低1元，则每天可多售出10条．若设这批节日彩灯的销售单价为x（元），每天的销售量为y（条）．
（1）求每天的销售量y（条）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这批节日彩灯每天所获得的利润为2000元？
【分析】（1）根据题意的数量关系，求出函数关系式即可；
（2）转化为解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，得销售量y与销售单价x之间为一次函数关系，
当x＝52时，y＝180；当x＝51时，y＝190；
设销售量y与销售单价x之间的函数关系为y＝kx+b，
则：，解得：，
∴销售量y与销售单价x之间的函数关系为y＝﹣10x+700，
（2）根据题意，得（x﹣40）（﹣10x+700）＝2000，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60，
∵扩大销售，
∴x＝50，
∴当销售单价为50元时，销售这批节日彩灯每天所获得的利润为2000元．
40．滑雪运动是一种有氧运动，能锻炼人的意志，增强人体的平衡能力，锻炼协调能力，增强心肺功能，振奋低落的情绪，大众参与度也逐年增高．丰都南天湖滑雪场推出了一种滑雪套票，采用网络购票和现场购票两种方式，从网上平台购买4张套票的费用比现场购买2张套票的费用多80元，从网上购买点2张套票的费用和现场购买3张套票的费用共520元．
（1）求网上购买套票和现场购买套票的价格分别是多少元；
（2）2023年元旦当天，该滑雪场按各自的价格在网上和现场售出的总票数为300张．元旦刚过，玩滑雪的人数下降，于是该滑雪场决定1月3日的网上购票的价格保持不变，现场购票的价格下调．结果发现现场购票每降价2元，1月3日的总票数就会比元旦当天总票数增加6张，经统计，1月3日的总票数中有通过现场售出，其余均由网上平台售出，且当天该滑雪场的总销售额为29700元．请问该滑雪场在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了多少元？
【分析】（1）设网上购买套票的价格为x元，现场购买套票的价格为y元，由题意：购买4张套票的费用比现场购买2张套票的费用多80元，从网上购买点2张套票的费用和现场购买3张套票的费用共520元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设滑雪场在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了m元，会多卖出张套票，由题意：当天滑雪场的总收益为29700元．列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设网上购买套票的价格为x元，现场购买套票的价格为y元，
由题意得：，
解得：，
答：网上购买套票的价格为80元，现场购买套票的价格为120元；
（2）设滑雪场在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了m元，会多卖出张套票，
依题意得：80×（300+）×（1﹣）+（120﹣m）××（300+）＝29700，
整理得：m2﹣180m+1700＝0，
解得：m＝10或m＝170（不合题意舍去），
∴m＝10，
答：滑雪场在1月3日当天现场购票每张套票的价格下调了10元．