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初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系精品达标测试
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这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系精品达标测试，文件包含第05讲直线与圆的位置关系原卷版docx、第05讲直线与圆的位置关系解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
知识点01 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系：。
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图
（1）d＜r直线与圆 相交 ，有 2 个交点，直线叫圆的 割线 。
（2）d ＝ r直线与圆相切，与圆只有 1 个交点，此时直线叫做圆的 切线 ，交点叫做直线与圆的 切点 。
（3）d＞r直线与圆 相离 ，与圆 没有 公共点。
考点题型：①直线与圆的位置关系判断。
②根据直线与圆的位置关系求半径的范围。
【即学即练1】
1．已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．直线l与⊙O相交B．直线l与⊙O相离
C．直线l与⊙O相切D．无法确定
【解答】解：∵⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3＜5，
∴直线l与⊙O相离．
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A．以PA为半径的圆B．以PB为半径的圆
C．以PC为半径的圆D．以PD为半径的圆
【解答】解：∵PB⊥l于B，
∴以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切．
故选：B．
【即学即练3】
3．平面直角坐标系中有点A（3，4），以A为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y＝﹣x与⊙A的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．以上情况都有可能
【解答】解：如图，
∵A（3，4），∴AO＝5，
∵点A到直线y＝﹣x的距离为AB的长小于圆的半径r，即AB＜AO，
∴直线y＝﹣x与⊙A的位置关系是相交，
故选：C．
【即学即练4】
4．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（ ）
A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴AB＝5，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r＝，
当直线与圆如图所示也可以有交点，
∴≤r≤4．
故选：C．
【即学即练5】
5．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是 3≤r≤5 ．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴BD＝AC＝＝5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；
故答案为：3≤r≤5
知识点02 切线的判定
切线的判定：
经过半径的 外端点 且与这条半径 垂直 的直线叫做圆的切线。
切线的判定的方法：
（1）直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。
证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。
②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。
③利用三角形的全等转换证明垂直。
④利用平行线转换证明垂直。
（2）直线与圆无公共点：作垂直，证半径。
【即学即练1】
6．如图，点C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4．求证：PC是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OC，
∵⊙O的半径为3，PB＝2，
∴OC＝OB＝3，OP＝OB+PB＝5，
∵PC＝4，
∴OC2+PC2＝OP2，
∴△OCP是直角三角形，
∴OC⊥PC，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
【即学即练2】
7．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠B＝30°，直线BD是⊙O的切线吗？如果是，请给出证明．
【解答】解：直线BD是⊙O的切线．
证明如下：∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠A＝∠ADO＝30°，
∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，
∵OD是半径，
∴BD是⊙O的切线．
【即学即练3】
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E，求证：AC是⊙D的切线．
【解答】证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
在⊙D中，AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AD⊥AC，
又∵DA是半径，
∴AC是⊙D的切线．
【即学即练4】
如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝2．求证：DC是⊙O的切线；
【解答】证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠B＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3＝∠1＝∠4，
∵OB＝OD，OC＝OC，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠ODC＝90°，又∵CD过半径OD的外端点D，
∴DC是⊙O的切线；
【即学即练5】
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．
【解答】证明：连接0C，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC＝∠OAC，
则∠OCA＝∠EAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
【即学即练6】
11．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，OE⊥AB，垂足为E，以O为圆心，OE为半径作⊙O．试说明⊙O与CD相切．
【解答】证明：如图，延长EO交CD于点F．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD．
∵在菱形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AB＝CD，
∴S△AOB＝OA•OB＝OC•OD＝S△COD，即AB•OE＝CD•OF，
∴OE＝OF．
∵OE为⊙O的半径，
∴OF是⊙O的半径，
∴⊙O与CD相切．
知识点03 切线的性质
切线的性质：
圆的切线 垂直于 经过 切点 的半径。
经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 。
经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 。
【即学即练1】
12．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且不与A、B两点重合，过点C的切线交AB的延长线于点D，连接AC，BC，若∠ABC＝53°，则∠D的度数是（ ）
A．16°B．18°C．26.5°D．37.5°
【解答】解：连接OC，如图所示．
∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°．
∵OB＝OC，∠ABC＝53°，
∴∠OCB＝53°，∠CBD＝180°﹣∠ABC＝127°，
∴∠BCD＝90°﹣∠OCB＝37°，
∴∠D＝180°﹣∠CBD﹣∠BCD＝16°．
故选：A．
【即学即练2】
13．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，连接AO并延长，交CD于点E，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为 4 ．
【解答】解：如图：连接OC
∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
∵CD∥AB，
∴AE⊥CD．
∵CD＝8，
∴．
在Rt△OCE中，，
∴AE＝AO+OE＝8，
则．
故答案为：4．
【即学即练3】
14．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，且点C是的中点，DE是⊙O的切线且DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接OC．
（1）求证：△AOC是等边三角形；
（2）若DE＝2，求AC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∵DE⊥AC，
∴AE∥OD，
∴∠ACO＝∠COD，
∵点C是的中点，
∴∠AOC＝∠COD，
∴∠AOC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠AOC＝∠A，
∴△AOC是等边三角形；
（2）解：过点O作OF⊥AC于F，
则四边形OFED为矩形，
∴OF＝DE＝2，
∵△AOC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴OA＝＝4，
∴AC＝4．
【即学即练4】
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
【解答】（1）证明：方法一：连接AD、OD．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ADO+∠ODB＝90°．
∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO＝90°．
∴∠EDA＝∠ODB．
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∴∠EDA＝∠OBD．
∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∵∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°．
∴∠DEA＝90°．
∴DE⊥AC．
方法二：∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵⊙O的半径为5，BC＝16，
∴AC＝10，CD＝8，
∴AD＝＝6，
∵S△ADC＝AC•DE，
∴DE＝＝＝．
题型01 直线与圆的位置关系
【典例1】
已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是2cm，则直线l与⊙O的位置关系是 相交 ．
【解答】解：∵圆心O到直线l的距离是2cm，小于⊙O的半径为3cm，
∴直线l与⊙O相交．
故答案为：相交．
【典例2】
已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【解答】解：∵圆心到直线的距离为3cm，⊙O的半径为5cm，
5＞3，
∴直线和圆相交．
故选：A．
【典例3】
设⊙O的半径为R，圆心O到直线的距离为d，若d、R是方程x2﹣6x+m＝0的两根，则直线Z与⊙O相切时，m的值为 9 ．
【解答】解：∵d、R是方程x2﹣6x+m＝0的两个根，且直线Z与⊙O相切，
∴d＝R，
∴方程有两个相等的实根，
∴Δ＝36﹣4m＝0，
解得m＝9．
故答案为：9．
【典例4】
如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是 0＜x≤ ．
【解答】解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC＝1，OC⊥PC，
∵∠AOB＝45°，OA∥PC，
∴∠OPC＝45°，
∴PC＝OC＝1，
∴OP＝，
同理，原点左侧的距离也是，且线段的长度是正数，
∴x的取值范围是0＜x≤，
故答案为：0＜x≤．
【典例5】
如图，⊙O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB＝8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
A．1cmB．2cmC．8cmD．2cm或8cm
【解答】解：连接OB，
∵AB⊥OC，
∴AH＝BH，
∴BH＝AB＝×8＝4，
在Rt△BOH中，OB＝OC＝5，
∴OH＝＝3，
又∵将直线l通过平移使直线l与⊙O相切，
∴直线l垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点，
∴当向下平移时，直线l平移的距离＝5﹣3＝2（cm）；
当向上平移时，直线l平移的距离＝5+3＝8（cm）．
故选：D．
题型02 切线的判定与性质
【典例1】
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE＝BC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BD＝2，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠5＝90°．
∵CE＝BC，
∴∠1＝∠2．
∵OE＝OD，
∴∠3＝∠4．
又∵∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
∴∠2+∠3＝90°，即∠OEC＝90°，
∴OE⊥CE．
∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
（2）在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD＝2，
BC＝CE＝4．
设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，
∴OE2+CE2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
解得r＝3，
∴⊙O的半径为3．
【典例2】
如图，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF＝1，求AC长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
则DF为圆O的切线；
（2）解：连接OG，
∵AC与圆O相切，
∴OG⊥AC，
∴∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，且OG＝OD，
∴四边形ODFG为边长为3的正方形，
设AB＝AC＝x，则有AG＝x﹣3﹣1＝x﹣4，AO＝x﹣3，
在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO2＝AG2+OG2，即（x﹣3）2＝（x﹣4）2+32，
解得：x＝8，
则AC＝8．
【典例3】
如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与BC边交于点E，⊙O过AB上一点D，且DE∥AO，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切线，
∴∠ACB＝90°，
在△AOD和△AOC中
，
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠BDO＝90°，
∴BD2+OD2＝OB2，
∴42+32＝（3+BE）2，
∴BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD，AC是⊙O的切线，
∴AD＝AC，
设AD＝AC＝x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（4+x）2＝x2+82，
解得：x＝6，
∴AC＝6．
【典例4】
如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，P是⊙O外一点，AC⊥PD于点E，AD平分∠BAC．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若DE＝，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵AC⊥PD，
∴∠AEP＝90°，
∴∠ODP＝∠AEP＝90°，
∴OD⊥PE，
∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE＝30°，
∵AC⊥PE，DE＝，
∴AD＝2DE＝2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝2BD，
设BD＝x，则AB＝2x，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴x2+（2）2＝（2x）2，
∴BD＝2，AB＝4，
∴AO＝2，
∴⊙O的半径为2．
【典例5】
如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图1，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AH，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
∵AD＝AB，DH＝，
∴DB＝2DH＝2，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，
∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，
∴，
∴AD＝5．
∴⊙O的半径为．
1．已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为7cm，6＜7，
∴直线l与⊙O相离．
故选：C．
2．在直角坐标系中，点P的坐标是，⊙P的半径为2，下列说法正确的是（ ）
A．⊙P与x轴、y轴都有两个公共点
B．⊙P与x轴、y轴都没有公共点
C．⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
D．⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
【解答】解：∵P（2，），圆P的半径为2，
∴以P为圆心，以2为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切，
∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个．
故选：D．
3．如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．若∠D＝25°，则∠A为（ ）
A．25°B．40°C．50°D．65°
【解答】解：∵∠D＝25°，
∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°，
∵AC切⊙O于点C，
∴OC⊥AC
∴∠OCA＝90°
∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正确．
故选：B．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC经过圆心O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E，AD∥BC．若∠B＝60°，则∠E的大小等于（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【解答】解：连接OA，OD，如图，
∵∠B＝60°，OA＝OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠AOB＝∠BAO＝60°，
又∵AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∴∠DAO＝120°﹣60°＝60°，
又∵OA＝OD，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
又∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠E＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
故选：A．
5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC，若BD＝AO＝4，则AC的长度为（ ）
A．4B．2C．8D．4
【解答】解：如图，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵BD＝AO＝4，
∴∠D＝30°，CD＝＝＝4，
∴∠COD＝60°，
由圆周角定理得：∠A＝∠COD＝30°，
∴∠A＝∠D，
∴AC＝CD＝4，
故选：D．
6．如图，直线y＝x+与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：令y＝0，则，
解得x＝﹣3，
则A点坐标为（﹣3，0）；
令x＝0，则y＝，
则B点坐标为（0，），
∴tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝30°，
作⊙P′与⊙P″切AB于D、E，
连接P′D、P″E，则P′D⊥AB、P″E⊥AB，
则在Rt△ADP′中，AP′＝2×DP′＝2，
同理可得，AP″＝2，
则P′横坐标为﹣3+2＝﹣1，P″横坐标为﹣1﹣4＝﹣5，
∴P横坐标x的取值范围为：﹣5＜x＜﹣1，
∴横坐标为整数的点P坐标为（﹣2，0）、（﹣3，0）、（﹣4，0）．
故选：A．
7．如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，选项①正确；
连接OD，如图，
∵D为BC中点，O为AB中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为圆O的切线，选项④正确；
又OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OA＝AB，
∴OA＝AC，选项③正确；
则正确结论的个数为4个．
故选：D．
8．如图，点A是⊙O上一定点，点B是⊙O上一动点、连接OA、OB、AB、分别将线段AO、AB绕点A顺时针旋转60°到AA'，AB'，连接OA'，BB'，A'B'，OEB'，下列结论正确的有（ ）
①点A'在⊙O上；②△OAB≌△A'AB'；③∠BB′A′＝∠BOA′；④当OB′＝2OA时，AB′与⊙O相切．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：∵OA＝AA′，∠OAA′＝60°，
∴△AOA′是等边三角形，
同理可得，
△ABB′是等边三角形，
①∵△AOA′是等边三角形，
∴OA′＝OA，
∴点A′在⊙O上，
故①正确，
∵∠OAA′＝∠BAB′＝60°，
∴∠OAB＝∠A′AB′，
∵OA＝AA′，AB＝AB′，
∴△OAB≌△A′AB′，
故②正确，
③由②知，
△OAB≌△A′AB′，
∴A′B′＝OB，
∵OB＝OA＝AA′，
∴AA′＝A′B′，
∴∠A′AB′＝∠A′B′A，
∵△ABB′是等边三角形，
∴∠BAB′＝∠AB′B＝60°，
∴∠A′B′B＝∠BAA′，
∵∠BOA′＝2∠BAA′，
∴∠BB′A′＝∠BOA′，
故③正确，
④如图，
过点O作OC⊥BB′于C，
∵△ABB′是等边三角形，
∴∠AB′B＝60°，
∵OA＝OB，B′A＝B′B，
∴B′O垂直平分AB，
∴∠OB＝30°，
∴OB′＝2OC，
∵OB′＝2OA＝2OB，
∴OC和OB重合，
∴OB⊥B′B，
∴BB′是⊙O的切线，
故④正确，
综上所述：①②③④均正确，
故选A．
9．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以C为圆心所作的圆与边AB仅一个交点，则半径r为 r＝4.8或6＜r≤8 ．
【解答】解：当直线AB和圆相切时，圆心到斜边的距离为半径即斜边上的高，
过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴，
∴；
当圆与直线AB相交，此时半径要大于AC且半径不大于BC，
∴6＜r≤8；
故答案为：r＝4.8或6＜r≤8．
10．如图，AB为⊙O的直径，CB为⊙O的切线，AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是 38° ．
【解答】解：如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAC＝90°，
∵CB为⊙O的切线，
∴CB⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90，
∴∠ABD＝∠C＝38°，
∴∠AED＝∠ABD＝38°，
故答案为：38°．
11．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝ 1或3或5 秒时，⊙P与坐标轴相切．
【解答】解：设⊙P与坐标轴的切点为D，
∵直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（4，m），
∴x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝2，x＝4时，y＝2，
∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），
∴AB＝2，AC＝4，OB＝OC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，
①当⊙P与x轴相切时，
∵点D是切点，⊙P的半径是1，
∴PD⊥x轴，PD＝1，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD＝PD＝1，PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝1；
②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，
∵PB＝，
∴AP＝AB+PB＝3，
∵⊙P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝3；
③当⊙P只与y轴相切时，
∵PC＝，
∴AP＝AC+PC＝5，
∵⊙P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝5．
综上所述，则当t＝1或3或5秒时，⊙P与坐标轴相切，
故答案为：1或3或5．
12．如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．当t＝ 1s，4s，7s 时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
【解答】解：①当圆心O运动到点E与点C重合是时，
∵AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，
此时AC与半圆O所在的圆相切，点O运动了2cm，
所求运动时间为t＝2÷2＝1（s）；
②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时，
此时OC＝6cm，点O运动的距离为8+6＝14（cm），
所求运动时间为t＝14÷2＝7（s）；
③如图1，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；
∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，
∴FO＝6cm；
当半圆O与△ABC的边AB相切时，
∵圆心O到AB的距离等于6cm，
且圆心O又在直线BC上，
∴O与C重合，
即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；
此时点O运动了8cm，所求运动时间为t＝8÷2＝4（s），
当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，
如图2，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．
在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，则OQ＝6cm，
即OQ与半圆O所在的圆相切．
此时点O运动了32cm．
所求运动时间为：t＝32÷2＝16s，
综上可知当t的值为1s或4s或7秒或16s时，
Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
因为圆心O运动到点B时停止，
所以此种情况不符合题意舍去，
故答案为：1s，4s，7s．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AB＝10，求⊙O的半径长．
【解答】（1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为点H，连接OE，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴，
∴∠CAD＝∠ACD，
∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，
又∵，
∴∠FAC＝∠CAD，
即AC是∠FAB的平分线，
∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，
∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，
∴，
∵BE，BC是⊙O的切线，
∴BC＝BE＝6，
∴AE＝10﹣6＝4
设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，
在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，
∴16+r2＝（8﹣r）2，
∴r＝3．
∴⊙O的半径长为3．
14．如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF的长．
【解答】（1）证明：连接OD,
∵CB与⊙O相切于点B,
∴OB⊥BC,
∵AD∥OC,
∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠DOC,
∵OA＝OD,
∴∠A＝∠ADO＝∠COB＝∠DOC,
∴△DOC≌△BOC（SAS),
∴∠ODC＝∠OBC＝90°,
∴OD⊥DC,
又OD为⊙O半径,
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：设CB＝x,
∵AE⊥EB,
∴AE为⊙O的切线,
∵CD、CB为⊙O的切线,
∴ED＝AE＝4，CD＝CB＝x，∠DOC＝∠BCO,
∴BD⊥OC,
过点E作EM⊥BC于M，则EM＝12，CM＝x﹣4,
∴（4+x）2＝122+（x﹣4）2,
解得x＝9,
∴CB＝9,
∴OC＝＝,
∵＝,
∴BF＝．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，∠BCF＝∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求证：∠ACD＝∠F；
（3）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
【解答】解：（1）连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵∠BCF＝∠BAC，
∴∠BCF+∠OCB＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
（2）∵点C是中点，
∴，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵∠BCF＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BCF，
∵，
∴∠CAD＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠CBD，
∴BD∥CF，
∴∠ABD＝∠F，
∵，
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠F．
（3）如图：
∵BD∥CF，OC⊥CF，
∴OC⊥BD于点H，
设OH为x，则CH为（5﹣x），根据勾股定理，
62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
解得：，
∴，
∵OH是中位线，
∴．
课程标准
学习目标
①直线与圆的位置关系
②切线的性质
③切线的判定
理解直线与圆的几种关系。
会判断一条直线是否是圆的切线以及会过圆上一点作圆的切线。
理解并掌握圆的判定定理与性质定理。
能够熟练的运用性质与判定解决相关题目。
知识点01 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系：。
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图
（1）d＜r直线与圆 相交 ，有 2 个交点，直线叫圆的 割线 。
（2）d ＝ r直线与圆相切，与圆只有 1 个交点，此时直线叫做圆的 切线 ，交点叫做直线与圆的 切点 。
（3）d＞r直线与圆 相离 ，与圆 没有 公共点。
考点题型：①直线与圆的位置关系判断。
②根据直线与圆的位置关系求半径的范围。
【即学即练1】
1．已知⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．直线l与⊙O相交B．直线l与⊙O相离
C．直线l与⊙O相切D．无法确定
【解答】解：∵⊙O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，3＜5，
∴直线l与⊙O相离．
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A．以PA为半径的圆B．以PB为半径的圆
C．以PC为半径的圆D．以PD为半径的圆
【解答】解：∵PB⊥l于B，
∴以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切．
故选：B．
【即学即练3】
3．平面直角坐标系中有点A（3，4），以A为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y＝﹣x与⊙A的位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．以上情况都有可能
【解答】解：如图，
∵A（3，4），∴AO＝5，
∵点A到直线y＝﹣x的距离为AB的长小于圆的半径r，即AB＜AO，
∴直线y＝﹣x与⊙A的位置关系是相交，
故选：C．
【即学即练4】
4．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（ ）
A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴AB＝5，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r＝，
当直线与圆如图所示也可以有交点，
∴≤r≤4．
故选：C．
【即学即练5】
5．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是 3≤r≤5 ．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴BD＝AC＝＝5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；
故答案为：3≤r≤5
知识点02 切线的判定
切线的判定：
经过半径的 外端点 且与这条半径 垂直 的直线叫做圆的切线。
切线的判定的方法：
（1）直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。
证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。
②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。
③利用三角形的全等转换证明垂直。
④利用平行线转换证明垂直。
（2）直线与圆无公共点：作垂直，证半径。
【即学即练1】
6．如图，点C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4．求证：PC是⊙O的切线．
【解答】证明：连接OC，
∵⊙O的半径为3，PB＝2，
∴OC＝OB＝3，OP＝OB+PB＝5，
∵PC＝4，
∴OC2+PC2＝OP2，
∴△OCP是直角三角形，
∴OC⊥PC，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
【即学即练2】
7．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠B＝30°，直线BD是⊙O的切线吗？如果是，请给出证明．
【解答】解：直线BD是⊙O的切线．
证明如下：∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠A＝∠ADO＝30°，
∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，
∵OD是半径，
∴BD是⊙O的切线．
【即学即练3】
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E，求证：AC是⊙D的切线．
【解答】证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
在⊙D中，AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AD⊥AC，
又∵DA是半径，
∴AC是⊙D的切线．
【即学即练4】
如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝2．求证：DC是⊙O的切线；
【解答】证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠B＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3＝∠1＝∠4，
∵OB＝OD，OC＝OC，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠ODC＝90°，又∵CD过半径OD的外端点D，
∴DC是⊙O的切线；
【即学即练5】
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．
【解答】证明：连接0C，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC＝∠OAC，
则∠OCA＝∠EAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
【即学即练6】
11．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，OE⊥AB，垂足为E，以O为圆心，OE为半径作⊙O．试说明⊙O与CD相切．
【解答】证明：如图，延长EO交CD于点F．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD．
∵在菱形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AB＝CD，
∴S△AOB＝OA•OB＝OC•OD＝S△COD，即AB•OE＝CD•OF，
∴OE＝OF．
∵OE为⊙O的半径，
∴OF是⊙O的半径，
∴⊙O与CD相切．
知识点03 切线的性质
切线的性质：
圆的切线 垂直于 经过 切点 的半径。
经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 。
经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 。
【即学即练1】
12．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且不与A、B两点重合，过点C的切线交AB的延长线于点D，连接AC，BC，若∠ABC＝53°，则∠D的度数是（ ）
A．16°B．18°C．26.5°D．37.5°
【解答】解：连接OC，如图所示．
∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°．
∵OB＝OC，∠ABC＝53°，
∴∠OCB＝53°，∠CBD＝180°﹣∠ABC＝127°，
∴∠BCD＝90°﹣∠OCB＝37°，
∴∠D＝180°﹣∠CBD﹣∠BCD＝16°．
故选：A．
【即学即练2】
13．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，连接AO并延长，交CD于点E，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为 4 ．
【解答】解：如图：连接OC
∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
∵CD∥AB，
∴AE⊥CD．
∵CD＝8，
∴．
在Rt△OCE中，，
∴AE＝AO+OE＝8，
则．
故答案为：4．
【即学即练3】
14．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，且点C是的中点，DE是⊙O的切线且DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接OC．
（1）求证：△AOC是等边三角形；
（2）若DE＝2，求AC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∵DE⊥AC，
∴AE∥OD，
∴∠ACO＝∠COD，
∵点C是的中点，
∴∠AOC＝∠COD，
∴∠AOC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠AOC＝∠A，
∴△AOC是等边三角形；
（2）解：过点O作OF⊥AC于F，
则四边形OFED为矩形，
∴OF＝DE＝2，
∵△AOC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴OA＝＝4，
∴AC＝4．
【即学即练4】
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
【解答】（1）证明：方法一：连接AD、OD．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ADO+∠ODB＝90°．
∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO＝90°．
∴∠EDA＝∠ODB．
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∴∠EDA＝∠OBD．
∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∵∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°．
∴∠DEA＝90°．
∴DE⊥AC．
方法二：∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵⊙O的半径为5，BC＝16，
∴AC＝10，CD＝8，
∴AD＝＝6，
∵S△ADC＝AC•DE，
∴DE＝＝＝．
题型01 直线与圆的位置关系
【典例1】
已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是2cm，则直线l与⊙O的位置关系是 相交 ．
【解答】解：∵圆心O到直线l的距离是2cm，小于⊙O的半径为3cm，
∴直线l与⊙O相交．
故答案为：相交．
【典例2】
已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【解答】解：∵圆心到直线的距离为3cm，⊙O的半径为5cm，
5＞3，
∴直线和圆相交．
故选：A．
【典例3】
设⊙O的半径为R，圆心O到直线的距离为d，若d、R是方程x2﹣6x+m＝0的两根，则直线Z与⊙O相切时，m的值为 9 ．
【解答】解：∵d、R是方程x2﹣6x+m＝0的两个根，且直线Z与⊙O相切，
∴d＝R，
∴方程有两个相等的实根，
∴Δ＝36﹣4m＝0，
解得m＝9．
故答案为：9．
【典例4】
如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是 0＜x≤ ．
【解答】解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC＝1，OC⊥PC，
∵∠AOB＝45°，OA∥PC，
∴∠OPC＝45°，
∴PC＝OC＝1，
∴OP＝，
同理，原点左侧的距离也是，且线段的长度是正数，
∴x的取值范围是0＜x≤，
故答案为：0＜x≤．
【典例5】
如图，⊙O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB＝8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（ ）
A．1cmB．2cmC．8cmD．2cm或8cm
【解答】解：连接OB，
∵AB⊥OC，
∴AH＝BH，
∴BH＝AB＝×8＝4，
在Rt△BOH中，OB＝OC＝5，
∴OH＝＝3，
又∵将直线l通过平移使直线l与⊙O相切，
∴直线l垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点，
∴当向下平移时，直线l平移的距离＝5﹣3＝2（cm）；
当向上平移时，直线l平移的距离＝5+3＝8（cm）．
故选：D．
题型02 切线的判定与性质
【典例1】
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE＝BC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BD＝2，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠5＝90°．
∵CE＝BC，
∴∠1＝∠2．
∵OE＝OD，
∴∠3＝∠4．
又∵∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
∴∠2+∠3＝90°，即∠OEC＝90°，
∴OE⊥CE．
∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
（2）在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD＝2，
BC＝CE＝4．
设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，
∴OE2+CE2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
解得r＝3，
∴⊙O的半径为3．
【典例2】
如图，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF＝1，求AC长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
则DF为圆O的切线；
（2）解：连接OG，
∵AC与圆O相切，
∴OG⊥AC，
∴∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，且OG＝OD，
∴四边形ODFG为边长为3的正方形，
设AB＝AC＝x，则有AG＝x﹣3﹣1＝x﹣4，AO＝x﹣3，
在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO2＝AG2+OG2，即（x﹣3）2＝（x﹣4）2+32，
解得：x＝8，
则AC＝8．
【典例3】
如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与BC边交于点E，⊙O过AB上一点D，且DE∥AO，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切线，
∴∠ACB＝90°，
在△AOD和△AOC中
，
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠BDO＝90°，
∴BD2+OD2＝OB2，
∴42+32＝（3+BE）2，
∴BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD，AC是⊙O的切线，
∴AD＝AC，
设AD＝AC＝x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（4+x）2＝x2+82，
解得：x＝6，
∴AC＝6．
【典例4】
如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，P是⊙O外一点，AC⊥PD于点E，AD平分∠BAC．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若DE＝，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAE，
∴OD∥AE，
∵AC⊥PD，
∴∠AEP＝90°，
∴∠ODP＝∠AEP＝90°，
∴OD⊥PE，
∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE＝30°，
∵AC⊥PE，DE＝，
∴AD＝2DE＝2，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝2BD，
设BD＝x，则AB＝2x，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴x2+（2）2＝（2x）2，
∴BD＝2，AB＝4，
∴AO＝2，
∴⊙O的半径为2．
【典例5】
如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图1，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA＝90°，
∴∠DEC＝90°
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AH，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，
∵AD＝AB，DH＝，
∴DB＝2DH＝2，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，
∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，
∴，
∴AD＝5．
∴⊙O的半径为．
1．已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为7cm，6＜7，
∴直线l与⊙O相离．
故选：C．
2．在直角坐标系中，点P的坐标是，⊙P的半径为2，下列说法正确的是（ ）
A．⊙P与x轴、y轴都有两个公共点
B．⊙P与x轴、y轴都没有公共点
C．⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
D．⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
【解答】解：∵P（2，），圆P的半径为2，
∴以P为圆心，以2为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切，
∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个．
故选：D．
3．如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．若∠D＝25°，则∠A为（ ）
A．25°B．40°C．50°D．65°
【解答】解：∵∠D＝25°，
∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°，
∵AC切⊙O于点C，
∴OC⊥AC
∴∠OCA＝90°
∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正确．
故选：B．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC经过圆心O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E，AD∥BC．若∠B＝60°，则∠E的大小等于（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【解答】解：连接OA，OD，如图，
∵∠B＝60°，OA＝OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠AOB＝∠BAO＝60°，
又∵AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∴∠DAO＝120°﹣60°＝60°，
又∵OA＝OD，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
又∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠E＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
故选：A．
5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC，若BD＝AO＝4，则AC的长度为（ ）
A．4B．2C．8D．4
【解答】解：如图，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵BD＝AO＝4，
∴∠D＝30°，CD＝＝＝4，
∴∠COD＝60°，
由圆周角定理得：∠A＝∠COD＝30°，
∴∠A＝∠D，
∴AC＝CD＝4，
故选：D．
6．如图，直线y＝x+与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：令y＝0，则，
解得x＝﹣3，
则A点坐标为（﹣3，0）；
令x＝0，则y＝，
则B点坐标为（0，），
∴tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝30°，
作⊙P′与⊙P″切AB于D、E，
连接P′D、P″E，则P′D⊥AB、P″E⊥AB，
则在Rt△ADP′中，AP′＝2×DP′＝2，
同理可得，AP″＝2，
则P′横坐标为﹣3+2＝﹣1，P″横坐标为﹣1﹣4＝﹣5，
∴P横坐标x的取值范围为：﹣5＜x＜﹣1，
∴横坐标为整数的点P坐标为（﹣2，0）、（﹣3，0）、（﹣4，0）．
故选：A．
7．如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，选项①正确；
连接OD，如图，
∵D为BC中点，O为AB中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为圆O的切线，选项④正确；
又OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OA＝AB，
∴OA＝AC，选项③正确；
则正确结论的个数为4个．
故选：D．
8．如图，点A是⊙O上一定点，点B是⊙O上一动点、连接OA、OB、AB、分别将线段AO、AB绕点A顺时针旋转60°到AA'，AB'，连接OA'，BB'，A'B'，OEB'，下列结论正确的有（ ）
①点A'在⊙O上；②△OAB≌△A'AB'；③∠BB′A′＝∠BOA′；④当OB′＝2OA时，AB′与⊙O相切．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：∵OA＝AA′，∠OAA′＝60°，
∴△AOA′是等边三角形，
同理可得，
△ABB′是等边三角形，
①∵△AOA′是等边三角形，
∴OA′＝OA，
∴点A′在⊙O上，
故①正确，
∵∠OAA′＝∠BAB′＝60°，
∴∠OAB＝∠A′AB′，
∵OA＝AA′，AB＝AB′，
∴△OAB≌△A′AB′，
故②正确，
③由②知，
△OAB≌△A′AB′，
∴A′B′＝OB，
∵OB＝OA＝AA′，
∴AA′＝A′B′，
∴∠A′AB′＝∠A′B′A，
∵△ABB′是等边三角形，
∴∠BAB′＝∠AB′B＝60°，
∴∠A′B′B＝∠BAA′，
∵∠BOA′＝2∠BAA′，
∴∠BB′A′＝∠BOA′，
故③正确，
④如图，
过点O作OC⊥BB′于C，
∵△ABB′是等边三角形，
∴∠AB′B＝60°，
∵OA＝OB，B′A＝B′B，
∴B′O垂直平分AB，
∴∠OB＝30°，
∴OB′＝2OC，
∵OB′＝2OA＝2OB，
∴OC和OB重合，
∴OB⊥B′B，
∴BB′是⊙O的切线，
故④正确，
综上所述：①②③④均正确，
故选A．
9．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以C为圆心所作的圆与边AB仅一个交点，则半径r为 r＝4.8或6＜r≤8 ．
【解答】解：当直线AB和圆相切时，圆心到斜边的距离为半径即斜边上的高，
过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴，
∴；
当圆与直线AB相交，此时半径要大于AC且半径不大于BC，
∴6＜r≤8；
故答案为：r＝4.8或6＜r≤8．
10．如图，AB为⊙O的直径，CB为⊙O的切线，AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是 38° ．
【解答】解：如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAC＝90°，
∵CB为⊙O的切线，
∴CB⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90，
∴∠ABD＝∠C＝38°，
∴∠AED＝∠ABD＝38°，
故答案为：38°．
11．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝ 1或3或5 秒时，⊙P与坐标轴相切．
【解答】解：设⊙P与坐标轴的切点为D，
∵直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（4，m），
∴x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝2，x＝4时，y＝2，
∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），
∴AB＝2，AC＝4，OB＝OC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，
①当⊙P与x轴相切时，
∵点D是切点，⊙P的半径是1，
∴PD⊥x轴，PD＝1，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴BD＝PD＝1，PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝，
∵点P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝1；
②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，
∵PB＝，
∴AP＝AB+PB＝3，
∵⊙P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝3；
③当⊙P只与y轴相切时，
∵PC＝，
∴AP＝AC+PC＝5，
∵⊙P的速度为每秒个单位长度，
∴t＝5．
综上所述，则当t＝1或3或5秒时，⊙P与坐标轴相切，
故答案为：1或3或5．
12．如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．当t＝ 1s，4s，7s 时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
【解答】解：①当圆心O运动到点E与点C重合是时，
∵AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，
此时AC与半圆O所在的圆相切，点O运动了2cm，
所求运动时间为t＝2÷2＝1（s）；
②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时，
此时OC＝6cm，点O运动的距离为8+6＝14（cm），
所求运动时间为t＝14÷2＝7（s）；
③如图1，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；
∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，
∴FO＝6cm；
当半圆O与△ABC的边AB相切时，
∵圆心O到AB的距离等于6cm，
且圆心O又在直线BC上，
∴O与C重合，
即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；
此时点O运动了8cm，所求运动时间为t＝8÷2＝4（s），
当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，
如图2，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．
在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，则OQ＝6cm，
即OQ与半圆O所在的圆相切．
此时点O运动了32cm．
所求运动时间为：t＝32÷2＝16s，
综上可知当t的值为1s或4s或7秒或16s时，
Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
因为圆心O运动到点B时停止，
所以此种情况不符合题意舍去，
故答案为：1s，4s，7s．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AB＝10，求⊙O的半径长．
【解答】（1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为点H，连接OE，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴，
∴∠CAD＝∠ACD，
∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，
又∵，
∴∠FAC＝∠CAD，
即AC是∠FAB的平分线，
∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，
∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，
∴，
∵BE，BC是⊙O的切线，
∴BC＝BE＝6，
∴AE＝10﹣6＝4
设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，
在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，
∴16+r2＝（8﹣r）2，
∴r＝3．
∴⊙O的半径长为3．
14．如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF的长．
【解答】（1）证明：连接OD,
∵CB与⊙O相切于点B,
∴OB⊥BC,
∵AD∥OC,
∴∠A＝∠COB，∠ADO＝∠DOC,
∵OA＝OD,
∴∠A＝∠ADO＝∠COB＝∠DOC,
∴△DOC≌△BOC（SAS),
∴∠ODC＝∠OBC＝90°,
∴OD⊥DC,
又OD为⊙O半径,
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：设CB＝x,
∵AE⊥EB,
∴AE为⊙O的切线,
∵CD、CB为⊙O的切线,
∴ED＝AE＝4，CD＝CB＝x，∠DOC＝∠BCO,
∴BD⊥OC,
过点E作EM⊥BC于M，则EM＝12，CM＝x﹣4,
∴（4+x）2＝122+（x﹣4）2,
解得x＝9,
∴CB＝9,
∴OC＝＝,
∵＝,
∴BF＝．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，∠BCF＝∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）求证：∠ACD＝∠F；
（3）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
【解答】解：（1）连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵∠BCF＝∠BAC，
∴∠BCF+∠OCB＝90°，
∴∠OCF＝90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
（2）∵点C是中点，
∴，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵∠BCF＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BCF，
∵，
∴∠CAD＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠CBD，
∴BD∥CF，
∴∠ABD＝∠F，
∵，
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠F．
（3）如图：
∵BD∥CF，OC⊥CF，
∴OC⊥BD于点H，
设OH为x，则CH为（5﹣x），根据勾股定理，
62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
解得：，
∴，
∵OH是中位线，
∴．
课程标准
学习目标
①直线与圆的位置关系
②切线的性质
③切线的判定
理解直线与圆的几种关系。
会判断一条直线是否是圆的切线以及会过圆上一点作圆的切线。
理解并掌握圆的判定定理与性质定理。
能够熟练的运用性质与判定解决相关题目。
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