第07讲 正多边形与圆、扇形的弧长与面积-2024-2025学年九年级数学上册高效讲与练（人教版）

这是一份第07讲 正多边形与圆、扇形的弧长与面积-2024-2025学年九年级数学上册高效讲与练（人教版），文件包含第07讲正多边形与圆扇形的弧长与面积原卷版docx、第07讲正多边形与圆扇形的弧长与面积解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
第07讲 正多边形与圆、扇形的弧长与面积 知识点01 正多边形与圆正多边形的概念：各条边 相等 ，各个角也 相等 的多边形叫做正多边。圆的内接正多边形：把一个圆 平均 分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各 分点 所得的多边形是这个圆的 内接正多边形 ，这个圆叫做这个正多边形的 外接圆 。圆的内接正多边形的相关概念：（1）中心：正多边形的 外接圆 的圆心叫做正多边形的中心。即O既是圆心也是正多边形的中心。（2）正多边形的半径： 外接圆 的半径叫做正多边形的半径。即OB既是圆的半径，也是正多边形的半径。（3）中心角：正多边形每一边所对的 圆心角 叫做正多边形的中心角。正多边形的中心角度数为 。即∠BOC是正多边形的一个中心角。（4）边心距： 中心 到正多边形的 边 的距离叫做正多边形的边心距。即过O做边BC的垂线即为边心距。题型考点：①概念的理解。②有关的计算。【即学即练1】1．下列说法不正确的是（　　）A．圆内正n边形的中心角为 B．各边相等的，各角相等的多边形是正多边形 C．各边相等的圆内接多边形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形【解答】解：A、B、C、正确；D、各边相等的，各角相等的多边形是正多边形，故不对．故选：D．【即学即练2】2．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（　　）A．60° B．36° C．76° D．72°【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故选：D【即学即练3】3．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则线段GH的长为（　　）A．厘米 B．5厘米 C．3厘米 D．10厘米【解答】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，∴AG＝BG，BH＝CH，∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，连接OA，OB交AC于N，则OB⊥AC，∠AOB＝60°，∵OA＝15cm，∴AN＝OA＝（cm），∴AC＝2AN＝15（cm），∴GH＝AC＝5（cm），故选：B．【即学即练4】4．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（　　）A． B． C． D．【解答】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，∵⊙O的周长等于4πcm，∴⊙O的半径为：＝2，∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴OA＝OB＝AB＝2，∵OG⊥AB，∴AG＝BG＝AB＝1，∴OG＝，∴S△AOB＝AB•OG＝2×＝．∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝6（cm2）．故选：C．【即学即练5】5．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A的坐标为（﹣2，0），则点F的坐标为 　（﹣1，）　．【解答】解：连接OE，OF．∵∠EOF＝＝60°，OE＝OF，∴△EOF是等边三角形，∵正六边形ABCDEF，∴OE＝OF＝OA＝2．设EF交y轴于G，由正六边形是轴对称图形知，∠GOF＝30°．在Rt△GOF中，∠GOF＝30°，OF＝2，∴GF＝OF＝1，OG＝＝．∴F（﹣1，）．故答案为（﹣1，）．知识点02 正多边形的画法 正多边形的画法： 利用等分圆的方法画等多边形。 题型考点：①根据要求作图。【即学即练1】6．在图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．【解答】解：如图所示：知识点03 扇形的弧长扇形弧长的定义：扇形的弧长就是扇形两条 半径 间 圆弧 的长度。扇形弧长的计算公式： 在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧的长度为 。题型考点：①弧长的计算。【即学即练1】7．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（　　）A．6π B．2π C．π D．π【解答】解：∵直径AB＝6，∴半径OB＝3，∵圆周角∠A＝30°，∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°，∴的长是＝π，故选：D．【即学即练2】 8．如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好落在上，则的长是（　　）A． B． C． D．【解答】解：连接OD，∵点D是点O关于AC的对称点，∴AD＝OA，∵OA＝OD，∴OA＝OD＝AD，∴△OAD为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∴∠BOD＝100°﹣60°＝40°，∴的长＝＝π，故选：B．知识点04 扇形的面积扇形的面积计算公式：方法1：已知扇形的圆心角为n°，半径为r，则扇形的面积为： 。方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。题型考点：①扇形面积的计算。②面积公式的应用。【即学即练1】9．已知一个扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则这个扇形的面积为 　15π　cm2．【解答】解：根据扇形的面积公式，得S扇＝＝15π（cm2）．故答案为：15π．【即学即练2】10．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为 　2　．【解答】解：∵S＝lr，∴S＝×2×2＝2，故答案为2．【即学即练3】11．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为　　．【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝20°，又∵D为BC的中点，∴BD＝DC＝BC＝2，∵DE＝DB，∴DE＝DC＝2，∴∠DEC＝∠C＝20°，∴∠BDE＝40°，∴扇形BDE的面积＝，故答案为：．【即学即练4】12．扇形的弧长为20πcm，面积为240πcm2，则扇形的半径为　24　cm．【解答】解：∵S扇形＝lr∴240π＝•20π•r∴r＝24 （cm）题型01 正多边形与圆的相关计算【典例1】如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为ED上的一点，则∠APC的度数为 　72°　．【解答】解：如图，连接OA，OC，∵ABCDE是正五边形，∴∠AOC＝×2＝144°，∴∠APC＝∠AOC＝72°，故答案为：72°．【典例2】如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是（　　）A．18° B．30° C．36° D．40°【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AED＝∠EAB＝∠ABC＝108°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∴∠EAC＝72°，∴∠AED+∠EAC＝180°，∴DE∥AF，∵AE＝AF＝DE，∴四边形AEDF是菱形，∴∠EDF＝∠EAF＝72°，∵∠EDC＝108°，∴∠FDC＝36°，故选：C．【典例3】如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则△ACE的周长为　6　．【解答】解：作BG⊥AC，垂足为G．如图所示：则AC＝2AG，∵AB＝BC，∴AG＝CG，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝120°，AB＝BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴AG＝AB•cos30°＝2×＝，∴AC＝2×＝2，∴△ACE的周长为3×2＝6．故答案为6．【典例4】如图，正六边形内接于⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为　4π﹣6　．【解答】解：已知圆的半径为2，则面积为4π，空白正六边形为六个边长为2的正三角形，每个三角形面积为，则正六边形面积为6，所以阴影面积为4π﹣6题型02 扇形的弧长计算【典例1】若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为　3π　．【解答】解：该扇形的弧长＝＝3π．故答案为：3π．【典例2】如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，则与的长度之比为　：1　．【解答】解：由勾股定理得，OC＝OD＝＝2，则OC2+OD2＝CD2，∴∠COD＝90°，∴与的长度之比＝：＝：1，故答案为：：1．【典例3】如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（　　）A．10cm B．4πcm C． D．【解答】解：点A以B为旋转中心，以∠ABA1为旋转角，顺时针旋转得到A1；A2是由A1以C为旋转中心，以∠A1CA2为旋转角，顺时针旋转得到，∵∠ABA1＝90°，∠A1CA2＝60°，AB＝＝5cm，CA1＝3cm，∴点A翻滚到A2位置时共走过的路径长＝+＝π（cm）．故选：C．【典例4】一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为　（）　cm．【解答】解：A点滚动到D点其圆心所经过的路线＝（60+40+40）﹣+＝（cm）．故答案为：（）．题型03 阴影部分的面积计算【典例1】如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（　　）A．π﹣ B．π﹣2 C．π﹣4 D．π﹣2【解答】解：连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，Rt△EDC中，∵CE＝CB＝4，CD＝2，∴ED＝＝2，∠CED＝30°，∴∠ECD＝60°，S阴影＝﹣＝﹣2．故选：D．【典例2】如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E．则图中阴影部分的面积为（　　）A．8﹣π B．4+π C．6﹣π D．3+π【解答】解：∵正方形ABCD边长为4，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，∴阴影部分的面积是：×42﹣[﹣×42]＝6﹣π，故选：C．【典例3】如图，以矩形ABCD的对角线AC为直径画圆，点D、B在该圆上，再以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AC于点E．若AC＝2，∠BAC＝30°．则图中影部分的面积和为 　π﹣　（结果保留根号和π）．【解答】解：设AC的中点为O，连接OB，∵AC＝2，∴OA＝OC＝OB＝1，∴S△AOB＝×＝，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∴S△BOC＝＝，∵四边形ABCD是矩形，∠BAC＝30°．AC＝2，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝1，CD＝AC＝，∴S△ADC＝＝，∵S阴＝S半圆﹣S△ADC+S△AOB+S扇形BOC﹣S扇形ABE＝π﹣++﹣＝π﹣++﹣＝π﹣．故答案为：π﹣．【典例4】如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是　4　（结果保留π）．【解答】解：连接AD，则AD⊥BC；△ABC中，BC＝4，AD＝2；∴S△ABC＝BC•AD＝4．∵∠EAF＝2∠EPF＝80°，AE＝AF＝2；∴S扇形EAF＝＝；∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形EAF＝4﹣．1．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（　　）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，∴这个多边形的中心角＝60°，∴＝60°，∴n＝6，故选：C．2．已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为（　　）A．1 B．2 C． D．【解答】解：连接OA，作OM⊥AB，则∠AOM＝30°，OA＝2，∴AM＝1，根据勾股定理可得，∴正六边形的边心距是．故选：C．3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC＝4，BC＝3，CD平分∠ACB交⊙O于点D，则劣弧AD的长为（　　）A．π B．π C．2π D．π【解答】解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得AB＝5，∴AO＝2.5，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝45°，由圆周角定理得∠AOD＝2∠ACD＝90°，∴劣弧AD的长为＝π．故选：A．4．道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（　　）A． B． C． D．【解答】解：图中的管道中心线的长为＝（m），故选：B．5．如图，将一个圆分成甲、乙、丙三个扇形，其圆心角度数之比为2：3：4．若圆的半径为3，则扇形乙的面积为（　　）A． B． C．3π D．4π【解答】解：∵甲、乙、丙三个扇形的圆心角的度数之比为2：3：4，∴扇形乙的圆心角360°×＝120°，∴扇形乙的面积＝＝3π，故选：C．6．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（　　）A． B． C． D．【解答】解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴△ABC为直角三角形，由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积，由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝＝，故选：D．7．如图，在边长为的正八边形ABCDEFGH中，已知I，J，K，L分别是边AH，BC，DE，FG上的动点，且满足IA＝JC＝KE＝LG，则四边形IJKL面积的最大值为（　　）A． B． C． D．【解答】解：连接ⅠK，JL，∵正八边形，IA＝JC＝KE＝LG，∴IJ＝JK＝KL＝LI，IK＝JL，∴四边形IJKL为正方形，∴四边形IJKL的面积为IJ2，当IJ最大时，四边形IJKL的面积最大，∴IJ＝AC即为正八边形的对角线时，四边形IJKG的面积最大，如图，连接AE，CG交于点O，连接OB，交AC于点M，则△AOC为等腰直角三角形，O为正八边形的中心，∴OC＝OB＝OA，OB垂直平分AC，∴，设OM＝AM＝x，则，∴，在Rt△AMB 中，AB2＝BM2+AM2，即 ，解得： （负值不合题意，舍去），∴，∴四边形IJKL的最大面积为，故选：A．8．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝3cm；③扇形OCAB的面积为12π；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（　　）A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【解答】解：∵点A是劣弧的中点，∴OA⊥BC，所以①正确；∵∠AOC＝2∠D＝60°，OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴BC＝2×6×＝6，所以②错误；同理可得△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠BOC＝120°，∴扇形OCAB的面积为＝12π，所以③正确；∵AB＝AC＝OA＝OC＝OB，∴四边形ABOC是菱形，所以④正确．故选：D．9．如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点，交AC于点E，若AB＝2，则的长为　 　．【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OE，OD．∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵OA＝OE＝OB＝OD，∴△AOE，△BOD都是等边三角形，∴∠AOE＝∠BOD＝60°，∴∠DOE＝180°﹣2×60°＝60°，∴的长＝＝，故答案为：．10．如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，连接BC，CD，AC，BD，BC＝CD，∠ACD＝30°，AB＝12，则图中阴影部分的面积为 　 　．【解答】解：连接OD，OC，OC交BD于点E，过点O作OF⊥CD于点F，则：OD＝OC＝OB；∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACD＝30°，AB＝12，∴，∵BC＝CD，为半圆，∴，∵OD＝OC＝OB，∴，△COD为等边三角形，∴OE⊥BD，BD＝2BE，，∴，，，∴，∴S阴影＝S扇形OCB+S△OCD﹣S△OBD＝＝6π．故答案为：6π．11．如图，正五边形ABCDE的边长为4，以AB为边作等边△ABF，则图中阴影部分的面积为 　 　．【解答】解：在正五边形ABCDE中，，∵△ABF是等边三角形，∴∠FAB＝60°，∴∠EAF＝48°，∴，故答案为：．12．以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A'B'CD'E'的顶点D'落在直线BC上，则正五边形ABCDE旋转的度数至少为 　 　°．【解答】解：∵正五边形的每一个外角都是72°，∴将正五边形ABCDE的C点固定，并依顺时针方向旋转，则旋转72°，可使得新五边形A′B′CD′E′的顶点D′第一次落在直线BC上，∴正五边形ABCDE旋转的度数至少为72°，故答案为：72．13．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延长AB到D，连接CD，AC＝CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）以BC为边的圆内接正多边形的周长等于 　 　．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∵AC＝CCD，∴∠OAC＝∠ODC＝30°，∴∠OCD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即OC⊥CD，又∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠BOC＝60°，∴以BC为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，∴BC＝AB＝3，∴以BC为边的圆内接正六边形的周长为3×6＝18．故答案为：18．14．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）求证：四边形ADOE是正方形；（2）若AB＝4cm，求劣弧的长．【解答】（1）证明：∵AC⊥AB，OD⊥AB，OE⊥AC，∴四边形ADOE是矩形，，，又∵AB＝AC，∴AD＝AE，∴四边形ADOE是正方形．（2）解：如图，连接OA，OB，∵四边形ADOE是正方形，∴cm，在Rt△OAE中，由勾股定理可得：cm，∴OA＝OB＝2cm．由（1）得四边形ADOE是正方形，则∠AOD＝∠BOD＝45°，∴∠AOB＝90°，∴．15．如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．（1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积；（2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长．【解答】解：（1）∵把△APB旋转到△CEB的位置，∴△APB≌△CEB，∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，以B为圆心，BP画弧交AB于F点，如图，∴扇形BFP的面积＝扇形BEQ，∴图形ECQ的面积＝图形AFP的面积，∴S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形PBE＝﹣＝12π；（2）连PE，∴△APB≌△CEB，∴BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°，∴△PBE为等腰直角三角形，∴∠BEP＝45°，PE＝4，∴∠PEC＝135°﹣45°＝90°，∴PC＝＝＝9．课程标准学习目标①正多边形与圆的相关概念及其关系②正多边形的画法③扇形的弧长与面积的计算公式理解正多边形与圆的相关概念。理解并掌握正多边形的半径与边长，边心距，中心角之间关系。学会利用等分圆的方法画正多边形。掌握并利用扇形的周长与面积计算公式进行相应的计算。