2023-2024学年辽宁省本溪市九年级（下）月考数学试卷（2月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省本溪市九年级（下）月考数学试卷（2月份）（含解析），共32页。试卷主要包含了下列计算正确的是，下列关于二次函数y＝﹣3等内容，欢迎下载使用。

1．如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023B．﹣2023C．D．﹣
2．如图是我国某一古建筑的主视图，最符合视图特点的建筑物的图片是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．b2+b2＝2b4B．x2•x＝x3C．（3a）2＝6a2D．y6+y2＝y3
5．关于一元二次方程x2﹣4x+4＝0根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根
D．没有实数根
6．若关于x的方程＝3无解，则m的值为（ ）
A．1B．1或3C．1或2D．2或3
7．如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是（ ）
A．k2＜0＜k1B．k1＜0＜k2C．k1＜k2＜0D．k2＜k1＜0
8．下列关于二次函数y＝﹣3（x+1）（x﹣2）的图象和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点（0，2）在函数图象上
B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1
D．与直线y＝3x有两个交点
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于不同于点C的另一点D，连接BD；再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点F．若∠A＝40°，则∠DBF的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
10．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式8x3y﹣18xy＝ ．
12．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，﹣3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab＝ ．
13．一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，△OAB为直角三角形，∠A＝90°，∠AOB＝30°，OB＝4．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，则k＝ ．
15．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．计算：
（1）2×（﹣3）2﹣4×（﹣4）+12；
（2）．
17．某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元．
（1）每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？
（2）某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？
18．近些年来，我国航天事业飞速发展．今年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长
征二号F遥十六运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射升空，神舟十六号航天员乘组
由景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员组成，发射取得圆满成功．而“天宫课堂”让
广大人民尤其是青少年学到了很多科学知识，激发了更多人的航天梦．为普及科学知识，某校开展了“天宫课堂”知识竞赛．为了解七、八年级学生（七年级有600名学生、八年级有800名学生）的竞赛情况，现从两个年级各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行分析．过程如下：
【收集数据】七年级20名学生成绩：62，52，58，67，70，69，75，73，75，75，80，78，77，90，81，84，86，88，94，98；
八年级20名学生成绩在80≤x＜90的分数：83，85，87，81，80，84，82；
【整理数据】按照分数段，整理、描述两组样本数据：
【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
（1）直接写出a、b、c的值；
（2）根据抽样调查数据，估计全校七、八年级“天宫课堂”竞赛成绩为优秀（80分及以上）的共有多少人？
【得出结论】
（3）通过以上分析，你认为这两个年级中哪个年级对“天宫课堂”知识掌握情况更好一些，并说明推断的合理性（写出一条理由即可）．
19．在四川某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年，共种植288亩．
（1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．
（2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？
20．如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
21．△ABC中，点O在BC上，以OC为半径的⊙O恰好与AB相切，切点为D，连接CD，且CD⊥AC．
（1）求证：∠BCD＝∠A．
（2）设tanA＝，BD＝6，求⊙O的半径之长．
22．综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．
23．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于C点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．抛物线顶点为H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线上是否存在一点M（异于点B）使得S△ACB＝S△ACM？若存在，请求出M的坐标，不存在，说明理由；
（3）如图2，当点E在抛物线上运动时，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一.选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）
1．如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023B．﹣2023C．D．﹣
【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．
解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023，
∴OB＝2023，
∵点B在O点左侧，
∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．如图是我国某一古建筑的主视图，最符合视图特点的建筑物的图片是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案．
解：根据圆锥的主视图是等腰三角形，圆台的主视图是等腰梯形，可知最符合视图特点的建筑物的图片是B．
故选：B．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，理解视图的意义是正确判断的前提．
3．2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
解：A、图形是轴对称图形，符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称是解题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．b2+b2＝2b4B．x2•x＝x3C．（3a）2＝6a2D．y6+y2＝y3
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算法则分别计算即可．
解：b2+b2＝2b2，
故A不符合题意；
x2•x＝x3，
故B符合题意；
（3a）2＝9a2，
故C不符合题意；
y6与y2不能合并同类项，
故D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握这些知识是解题的关键．
5．关于一元二次方程x2﹣4x+4＝0根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】把a＝1，b＝﹣4，c＝4代入判别式Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
解：∵一元二次方程x2﹣4x+4＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0，方程没有实数根．
6．若关于x的方程＝3无解，则m的值为（ ）
A．1B．1或3C．1或2D．2或3
【分析】先去分母，再根据条件求m．
解：两边同乘以（x﹣1）得：mx﹣1＝3x﹣3，
∴（m﹣3）x＝﹣2．
当m﹣3＝0时，即m＝3时，原方程无解，符合题意．
当m﹣3≠0时，x＝，
∵方程无解，
∴x﹣1＝0，
∴x＝1，
∴m﹣3＝﹣2，
∴m＝1，
综上：当m＝1或3时，原方程无解．
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，理解分式方程无解的含义是求解本题的关键．
7．如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是（ ）
A．k2＜0＜k1B．k1＜0＜k2C．k1＜k2＜0D．k2＜k1＜0
【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
解：如图，在两个图象上分别取横坐标为m（m＜0）的两个点A和B，
则A（m，k1m），B（m，k2m），
∵k1m＜k2m，
∴k1＞k2，
当取横坐标为正数时，同理可得k1＞k2，
综上所述，k2＜k1＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．
8．下列关于二次函数y＝﹣3（x+1）（x﹣2）的图象和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点（0，2）在函数图象上
B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1
D．与直线y＝3x有两个交点
【分析】】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：A、把x＝0代入y＝﹣3（x+1）（x﹣2），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x＝＝，
∴C错误；
D、∵﹣3（x+1）（x﹣2）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝﹣3（x+1）（x﹣2）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象、性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于不同于点C的另一点D，连接BD；再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点F．若∠A＝40°，则∠DBF的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】只要证明BD＝DC，求出∠BDC的值即可解决问题；
解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣40°）＝70°，
由作图可知，BF垂直平分线段CD，
∴BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝70°，
∴∠DBC＝40°，
∴∠DBF＝∠FBC＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，属于中考常考题型．
10．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10（寸），OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式8x3y﹣18xy＝ 2xy（2x+3）（2x﹣3） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝2xy（4x2﹣9）
＝2xy（2x+3）（2x﹣3）．
故答案为：2xy（2x+3）（2x﹣3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，﹣3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab＝ ﹣12 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
解：∵点A的坐标为（a，﹣3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，
∴a＝﹣4，b＝3，
则ab＝﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
13．一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为 ．
【分析】根据题意，画出相应的树状图，然后即可求得两次标号之和为3的概率．
解：树状图如图所示，
由上可得，一共存在4种等可能性，其中两次标号之和为3的可能性有2种，
∴两次标号之和为3的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
14．如图，在平面直角坐标系中，△OAB为直角三角形，∠A＝90°，∠AOB＝30°，OB＝4．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，则k＝ ．
【分析】先根据直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半求出AB，再根据勾股定理求出OA，在Rt△AOE中求出AE，OE，最后根据点C是OA的中点求出点C的坐标，利用待定系数法求出k的值即可．
解：过点A作AE⊥OB于点E，过点C作CF⊥OB于点F，
∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，OB＝4，
∴，
由勾股定理得，
在Rt△AOE中，∠AOB＝30°，，
∴，
由勾股定理得，
∵点C是OA的中点，
∴，，
∵点C在第一象限，
∴点C的坐标是，
∵反比例函数的图象经过OA的中点C，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数与几何的综合题，熟知直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握勾股定理，求出点C的坐标是此题的关键．
15．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为 ．
【分析】过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，根据等腰三角形的性质得出BH＝HC＝BC＝3，根据勾股定理求出AH＝＝4，证明∠CBD＝∠CED，得到DB＝DE，根据等腰三角形的性质得出CE＝BC＝6，证明CD∥AH，得到＝，求出CD＝，根据勾股定理求出DE＝＝＝，根据CD∥AH，得到＝，即＝，求出结果即可．
解：过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，如图所示：
则∠AHC＝∠AHB＝90°，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝HC＝BC＝3，
∴AH＝＝4，
∵∠ADB＝∠CBD+∠CED，∠ADB＝2∠CBD，
∴∠CBD＝∠CED，
∴DB＝DE，
∵∠BCD＝90°，
∴DC⊥BE，
∴CE＝BC＝6，
∴EH＝CE+CH＝9，
∴＝，
∵DC⊥BE，AH⊥BC，
∴CD∥AH，
∴，
∴，
解得AD＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．计算：
（1）2×（﹣3）2﹣4×（﹣4）+12；
（2）．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后计算加法即可；
（2）先将括号内通分，计算分式的减法，再将除法转化为乘法，将分子与分母因式分解后再约分即可．
解：（1）原式＝2×9﹣4×（﹣4）+12
＝18+16+12
＝46；
（2）原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查有理数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元．
（1）每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？
（2）某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？
【分析】（1）设每个甲种驱蚊手环的售价是x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，根据“卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环，收入76元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环（100﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2500元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
解：（1）设每个甲种驱蚊手环的售价是x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元；
（2）设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环（100﹣m）个，
根据题意得：36m+20（100﹣m）≤2500，
解得：m≤，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为31．
答：最多可购买甲种驱蚊手环31个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
18．近些年来，我国航天事业飞速发展．今年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长
征二号F遥十六运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射升空，神舟十六号航天员乘组
由景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员组成，发射取得圆满成功．而“天宫课堂”让
广大人民尤其是青少年学到了很多科学知识，激发了更多人的航天梦．为普及科学知识，某校开展了“天宫课堂”知识竞赛．为了解七、八年级学生（七年级有600名学生、八年级有800名学生）的竞赛情况，现从两个年级各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行分析．过程如下：
【收集数据】七年级20名学生成绩：62，52，58，67，70，69，75，73，75，75，80，78，77，90，81，84，86，88，94，98；
八年级20名学生成绩在80≤x＜90的分数：83，85，87，81，80，84，82；
【整理数据】按照分数段，整理、描述两组样本数据：
【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
（1）直接写出a、b、c的值；
（2）根据抽样调查数据，估计全校七、八年级“天宫课堂”竞赛成绩为优秀（80分及以上）的共有多少人？
【得出结论】
（3）通过以上分析，你认为这两个年级中哪个年级对“天宫课堂”知识掌握情况更好一些，并说明推断的合理性（写出一条理由即可）．
【分析】（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）答案不唯一，合理均可．
解：（1）由题意可得a＝20﹣5﹣5﹣3＝7，
七年级20名学生成绩中，75出现的次数最多，故众数b＝75，
八年级20名学生成绩的中位数为：c＝＝80.5，
（2）600×+800×＝240+440＝680（人），
答：估计全校七、八年级“天宫课堂”竞赛成绩为优秀（80分及以上）的大约共有680人；
（3）八年级成绩较好，理由如下：
因为七、八年级的平均数相等，而八年级的众数和中位数大于七年级的众数和中位数，
所以八年级得分高的人数较多，即八年级成绩较好．
【点评】本题考查了中位数、众数、频数分布表，利用样本估计总体，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
19．在四川某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年，共种植288亩．
（1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．
（2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？
【分析】（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，利用该村民2023年种植橙子的亩数＝该村民2021年种植橙子的亩数×（1+该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设售价应降价y元，则每千克的销售利润为（18﹣y﹣8）元，每天能售出（120+30×）千克，利用总利润＝每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，
根据题意得：200（1+x）2＝288，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20%；
（2）设售价应降价y元，则每千克的销售利润为（18﹣y﹣8）元，每天能售出（120+30×）千克，
根据题意得：（18﹣y﹣8）（120+30×）＝840，
整理得：y2﹣2y﹣24＝0，
解得：y1＝6，y2＝﹣4（不符合题意，舍去）．
答：售价应降低6元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，∠BCF＝30°，AB∥FG，从而可得∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°，然后利用平角定义可得∠ACB＝90°，从而在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形性质可得AC＝12千米，BC＝12千米，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而求出BD的长，最后在Rt△BDE中，利用含30度角的直角三角形性质求出DE的长，即可解答．
解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
由题意得：∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，∠BCF＝30°，AB∥FG，
∴∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACG﹣∠BCF＝90°，
∵AB＝24千米，
∴AC＝AB＝12（千米），BC＝AC＝12（千米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝45°，
∴CD＝AC•tan45°＝12（千米），
∴BD＝BC﹣CD＝（12﹣12）千米，
在Rt△BDE中，∠ABC＝30°，
∴DE＝BD＝（6﹣6）千米，
∴输油管道的最短长度是（6﹣6）千米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．△ABC中，点O在BC上，以OC为半径的⊙O恰好与AB相切，切点为D，连接CD，且CD⊥AC．
（1）求证：∠BCD＝∠A．
（2）设tanA＝，BD＝6，求⊙O的半径之长．
【分析】（1）连接OD，利用切线的性质定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质定理，直角三角形的性质和等角的余角相等解答即可；
（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，判定△BCD∽△BAC，利用相似三角形的性质定理得出比例式得到BO＝8﹣r，在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，解方程即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵以OC为半径的⊙O恰好与AB相切，
∴OD⊥AB，
∴∠ODA＝90°，
∴∠ODC+∠ADC＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠BCD+∠ADC＝90°．
∵CD⊥AC，
∴∠A+∠ADC＝90°，
∴∠BCD＝∠A；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，
∵tanA＝，tanA＝，
∴＝．
∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
∴，
∴，
∴BO＝8﹣r．
在Rt△OBD中，
∵OD2+BD2＝BO2，
∴r2+62＝（8﹣r）2，
解得：r＝．
∴⊙O的半径之长为．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
22．综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得MD∥AC，可证∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，即可求解；
（2）由勾股定理可求BC的长，由中点的性质可得CG的长，由锐角三角函数可求解；
（3）利用对角互补模型可证点A，点M，点D，点N四点共圆，可得∠ADN＝∠AMN＝45°，由直角三角形的性质可求HN的长，即可求解．
解：（1）四边形AMDN是矩形，理由如下：
∵点D是BC的中点，点M是AB的中点，
∴MD∥AC，
∴∠A+∠AMD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，
∴四边形AMDN是矩形；
（2）如图2，过点N作NG⊥CD于G，
∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝10，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝5，
∵∠MDN＝90°＝∠A，
∴∠B+∠C＝90°，∠BDM+∠1＝90°，
∴∠1＝∠C，
∴DN＝CN，
又∵NG⊥CD，
∴DG＝CG＝，
∵csC＝，
∴，
∴CN＝；
（3）如图③，连接MN，AD，过点N作HN⊥AD于H，
∵AM＝AN，∠MAN＝90°，
∴∠AMN＝∠ANM＝45°，
∵∠BAC＝∠EDF＝90°，
∴点A，点M，点D，点N四点共圆，
∴∠ADN＝∠AMN＝45°，
∵NH⊥AD，
∴∠ADN＝∠DNH＝45°，
∴DH＝HN，
∵BD＝CD＝5，∠BAC＝90°，
∴AD＝CD＝5，
∴∠C＝∠DAC，
∴tanC＝tan∠DAC＝＝，
∴AH＝HN，
∵AH+HD＝AD＝5，
∴DH＝HN＝，AH＝，
∴AN＝＝＝．
解法二：如图，延长MD到T，使得MD＝DT，连接NT，CT．
设AM＝AN＝a．证明CT＝BM＝6﹣a，NM＝NT＝a，∠NCT＝90°，
由NT2＝CN2+CT2，
可得（a）2＝（8﹣a）2+（6﹣a）2，解得a＝．
解法三：也可以通过D向AC和AB分别作垂线DQ和DP，通过△DPM∽△DQN相似来算．
【点评】本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于C点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．抛物线顶点为H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线上是否存在一点M（异于点B）使得S△ACB＝S△ACM？若存在，请求出M的坐标，不存在，说明理由；
（3）如图2，当点E在抛物线上运动时，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出点，再求出直线AC的解析式为：，根据S△ACB＝S△ACM，得出AC∥BM，求出直线BM的解析式为：，令，求出x的值，最后求出点M的坐标即可；
（3）先求出直线AD的解析式为：，分三种情况进行讨论，当AC∥EF，四边形ACEF为平行四边形时，当AC∥EF，四边形ACFE为平行四边形时，当AC为平行四边形的对角线时，利用点的平移和中点坐标公式，求出点F坐标即可．
解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0），
故代入A、B坐标得，
解得：，
∴；
（2）存在；理由如下：
如图1，连接AC，BM，
把x＝0代入得：，
∴，
∴设直线AC的解析式为：，
把A（﹣1，0）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为：，
∵S△ACB＝S△ACM，
∴AC∥BM，
∴设直线BM的解析式为：，
把B（3，0）代入得：，
解得：，
∴直线BM的解析式为：，
令，
解得：x1＝﹣4，x2＝3（舍去），
把x＝﹣4代入得：，
∴点M的坐标为；
（3）存在，理由如下：
将化为顶点式为：，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D，点为，
∴点D的坐标为：，
设直线AD的解析式为：y＝ax+b，
∴代入A（﹣1，0）、得：，
解得：，
∴直线AD的解析式为：，
当AC∥EF，四边形ACEF为平行四边形时，
∵A（﹣1，0），，
∴设，，
即，
∵点E在抛物线上，
∴，
解得：m＝0或m＝﹣1（舍去），
∴此时点F的坐标为：；
当AC∥EF，四边形ACFE为平行四边形时，
∵A（﹣1，0），，
∴设，，
即，
∵点E在抛物线上，
∴，
解得：或，
∴此时点F的坐标为：或；
当AC为平行四边形的对角线时，
∵A（﹣1，0），，
∴设，E（xE，yE），
则根据中点坐标公式可得：，
解得：，
∴，
∵点E在抛物线上，
∴，
解得：m＝﹣1（舍去）或m＝﹣2，
∴此时点F的坐标为：；
综上所述，点F的坐标为或或或．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质；能利用两点间的平移性质进行求解．
年级
x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
七年级
5
a
5
3
八年级
3
6
7
4
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
76.6
76
b
131
八年级
76.6
c
78
124
年级
x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
七年级
5
a
5
3
八年级
3
6
7
4
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
76.6
76
b
131
八年级
76.6
c
78
124