2023-2024学年陕西省西安市高新区部分学校联考九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市高新区部分学校联考九年级（下）开学数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某市一天的最高气温为2℃，最低气温为−9℃，那么这天的最高气温比最低气温高( )
A. −11℃B. −7℃C. 11℃D. 7℃
2.《清朝野史大观⋅清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之潮州府功夫茶为最.”如图1是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是( )
A. 主视图与左视图相同
B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 三视图都相同
3.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=44°，则∠2的度数为( )
A. 14°B. 16°C. 24°D. 26°
4.若直线y=kx+2与直线y=−3x+b关于直线x=−1对称，则k、b值分别为( )
A. k=−3、b=−2B. k=3、b=−2
C. k=3、b=−4D. k=3、b=4
5.如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且▱KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为( )
A. 24B. 25C. 26D. 27
6.如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E.若AE过圆心O，OA=1.则四边形BEOF的面积为( )
A. 38
B. 34
C. 32
D. 3
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为( )
A. 2 3B. 5C. 2 7D. 3 3
8.已知抛物线y=a(x−m)(x−n)(a,m,n是实数，a≠0)与直线y=kx+b交于(1,y1)，(6,y2)，则下面判断正确的是( )
A. 若m+n>7，a>0，则k>0B. 若m+n>7，a<0，则k<0
C. 若m+n<7，a>0，则k<0D. 若m+n<7，a<0，则k<0
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.−π，−3，33的大小顺序是______(用“>”号连接)．
10.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，其半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
11.某商场一种商品的进价为96元，若标价后再打8折出售，仍可获利10%，则该商品的标价为______元.
12.已知两个反比例函数y1=2x，y2=kx，与过原点的一条直线在第一象限的交点分别为点A和点B，且OA=2AB，则y2的解析式为______．
13.如图，在△ABC中，∠C=60°，AC=5，BC=4，点D为CB延长线上一点.当点D在CB延长线上运动时，AD−12BD的最小值为______．
三、解答题：本题共12小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算：(−12)−2− 6× 2+|1− 3|．
15.(本小题5分)
解不等式组：3x+6≥5(x−2)1−x−23≤2x−12．
16.(本小题5分)
化简：(1−1x−3)÷x2−4xx2−9．
17.(本小题5分)
尺规作图：如图，在△ABC中，∠C=90°.在AB边上求作一点D，使DA+DC=AB．
18.(本小题5分)
如图，在四边形ABCD中，点E在BC边上，且BE=CD，∠B=∠C=∠AED.求证：AE=DE．
19.(本小题5分)
制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有12m3木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
20.(本小题6分)
小明和小亮利用数学知识测量学校操场边升旗台上的旗杆高度.如图，旗杆AB立在水平的升旗台上，两人测得旗杆底端B到升旗台边沿C的距离BC=2m，升旗台的台阶所在的斜坡CD=2m，坡角(∠CDN)为30°，在太阳光下，小明测得旗杆的影子落在水平地面MN上的影长DE长为6m，同一时刻，小亮测得长1.6m的标杆直立于水平地面时的影子长为1.2m.请你帮小明和小亮求出旗杆AB的高度.(结果保留根号)
21.(本小题7分)
如图是某机场监控屏显示的一飞机的飞行图象(高度ℎ与距离s的函数图象)，其中s表示飞机离起点O的水平距离，ℎ表示飞机距地面的垂直高度.飞机从起点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，水平飞行3km后到达B处开始沿直线BC降落，降落时经过C处．

(1)求BC所在直线的函数表达式；
(2)当飞机距地面的垂直高度为2km时，求它距起点O的水平距离是多少？
22.(本小题7分)
某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”(简称“劳动时间”)情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
根据上述信息，解答下列问题：
(1)这100名学生的“劳动时间”的中位数落在______组；
(2)求这100名学生的平均“劳动时间”；
(3)若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．
23.(本小题8分)
为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
(1)求证：∠BOC+∠BAD=90°．
(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cs∠BAD=35.已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
24.(本小题8分)
已知抛物线L经过点A(−1,0)和B(3,0)与y轴交于点C(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)平移抛物线L，使平移后的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为Q，与y轴交于点P，同时满足△BPQ是直角三角形，请你写出平移过程并说明理由．
25.(本小题10分)
问题提出
(1)如图①，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，若AD=9，∠DCE=15°，求△BCE外接圆的半径长．
问题解决
(2)某社区准备设计一个矩形花园，如图②是花园的示意图，图中EF，EG，FG，FC是花园内四条小路，这四条小路将花园分成五个三角形区域，分别用来种植不同种类的花.根据设计要求，∠EGF=∠BCF，∠EFC=90°，DF：DC=1：2，AE=8米.该矩形花园面积是否存在最大值？若存在，请求出其最大面积；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
解：2−(−9)=2+9=11(°C)，
即这天的最高气温比最低气温高11°C，
故选：C．
用这天的最高气温减去最低气温即可．
本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键．
2.【答案】A
解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
3.【答案】B
解：如图，
∵太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，
∴∠BCD=360°÷6=60°，EF//BD，∠ABC=120°，
∴∠BDC=∠1=44°，
∵∠3是△BCD的外角，
∴∠3=∠BDC+∠BCD=104°，
∴∠2=∠ABC−∠3=16°．
故选：B．
由多边形的外角和可求得∠BCD=60°，∠ABC=120°，再由平行线的性质可得∠BDC=∠1=44°，由三角形的外角性质可求得∠3的度数，即可求∠2的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
4.【答案】C
解：把x=0代入y=kx+2得，y=2，
∴直线y=kx+2与y轴交点为(0,2)，
∵点(0,2)关于直线x=−1的对称点为(−2,2)，
∴点为(−2,2)在直线y=−3x+b上，
代入直线y=−3x+b，可得6+b=2，
解得b=−4，
∴一次函数y=−3x−4与y轴交点为(0,−4)，
∵(0,−4)关于直线x=−1的对称点(−2,−4)在直线y=kx+2上，
∴代入直线y=kx+2，可得−2k+2=−4，
解得k=3．
故选：C．
先求出一次函数y=kx+2与y轴交点关于直线x=−1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y=−3x+b与y轴交点关于直线x=−1的对称点，代入一次函数y=kx+2，求出k的值即可．
本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键．
5.【答案】B
解：如图，设PM=PL=NR=KR=a，正方形ORQP的边长为b．
由题意：a2+b2+(a+b)(a−b)=50，
∴a2=25，
∴正方形EFGH的面积=a2=25，
故选：B．
如图，设PM=PL=NR=KR=a，正方形ORQP的边长为b，构建方程即可解决问题；
本题考查图形的拼剪，平方差公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
6.【答案】B
解：如图，连接OB，
∵CD为直径，CD⊥AB，
∴AD=BD，
∴∠AOD=2∠C，
∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴∠AFO=∠CEO=90°，
∵∠AOF=∠COE，OA=OC，
∴△AFO≌△CEO(AAS)，
∴∠C=∠A，
∴∠AOD=2∠A，
∵∠AFO=90°，
∴∠A=30°，
∵AO=1，
∴OF=12AO=12，AF= 3OF= 32，
同理CE= 32，OE=12，
∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O，
由垂径定理得：BF=AF= 32，BE=CE= 32，
∴四边形BEOF的面积S=S△BFO+S△BEO=12×12× 32+12×12× 32= 34．
故选：B．
根据垂径定理求出AF=BF，CE=BE，AD=BD，求出∠AOD=2∠C，求出∠AOD=2∠A，求出∠A=30°，解直角三角形求出OF和BF，求出OE、BE、BF，根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能够综合运用定理进行推理是解此题的关键．
7.【答案】C
解：如图，连接BE，
∵∠ACB=90°，AC=2，AB=4，
∴BC= AB2−AC2= 16−4=2 3，
∴ACAB=12，
∴∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，
∴AC=CD，CE=CB=2 3，∠CAB=∠CDE=60°，∠BCE=∠ACD，∠CED=∠ABC=30°，AB=DE=4，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC=2 3，∠CEB=60°，
∴∠DEB=90°，
∴DB= DE2+BE2= 16+12=2 7，
故选：C．
由直角三角形的性质可求∠ABC=30°，由旋转的性质可求AC=CD，CE=CB=2 3，∠CAB=∠CDE=60°，∠BCE=∠ACD，∠CED=∠ABC=30°，AB=DE=4，可证△CBE是等边三角形，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
8.【答案】D
解：抛物线与直线交于点(1,y1)，(6,y2)，
..a(1−m)(1−n)=k+b，①
a(6−m)(6−n)=6k+b，②
②−①得5k=a(35−5m−5n)，即k=a(7−m−n)，
则当a>0，m+n<7或a<0，m+n>7时，k>0；
当a<0，m+n<7或a>0，m+n<7时，k<0．
故D正确，B、C、A错误，
故选：D．
将两点坐标分别代入并联立，从而得到k=a(7−m−n)，再根据有理数的乘法判断符号
本题考查了二次函数与一次函数，解题的关键是根据交点得到关于a，k，m，n的等式
9.【答案】33>−3>−π
解：∵π>3，
∴−π<−3<0．
∵33>0，
∴33>−3>−π，
故答案为：33>−3>−π．
先根据负数比较大小的法则比较出−3与−π的大小，再根据正数大于一切负数解答即可．
本题考查的是实数的大小比较，熟知正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
10.【答案】3 3
解：如图所示，连接OC、OB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∵OA=OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBM=60°，
∴OM=OBsin∠OBM=6× 32=3 3，
故答案为：3 3．
连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．
11.【答案】132
解：设该商品的标价为x元，依题意有：
0.8x−96=96×10%，
解得：x=132．
故答案为：132．
设该商品的标价为x元，等量关系：标价的8折出售，仍可获利10%，可列方程解得答案．
本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．
12.【答案】y2=92x或y2=12x
解：当B在A的右边时，如图1，
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴AC/​/BD，
∴△OAC∽△OBD，
∴S△AOCS△BOD=(OAOB)2，
∵OA=2AB，
∴OAOB=23，
∴12×212k=49，
∴k=92
∴y2的解析式是y2=92x，
当A在B的右边时，如图2，
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴AC/​/BD，
∴△OAC∽△OBD，
∴S△AOCS△BOD=(OAOB)2，
∵OA=2AB，
∴OAOB=2，
∴12×212k=4
∴k=12
∴y2的解析式是y2=12x，
故答案为y2=92x或y2=12x．
过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，则△OAC∽△OBD，得出S△AOCS△BOD=(OAOB)2，根据反比例函数系数k的几何意义即可求出结果．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定和性质，反比例函数y=kx中k的几何意义要注意数形结合思想的运用．
13.【答案】92
解：作CE平分∠ACB，交AD于点F，过点D作DE⊥CF交CF的延长线于点E，
∴在Rt△CDE中，∠E=90°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ECD=30°，
∴DE=12CD=12(BD+BC)=12(BD+4)=12BD+2，
过点A作AG⊥EC于点G，
∵DF≥DE，AF≥AG，
∴AD−DE≥AD−DF=AF≥AG，
∴AD−(12BD+2)≥AG，
∴AD−12BD≥2+AG，
在Rt△AGC中，∠AGC=90°，∠ACG=12∠ACB=30°，
∴AG=12AC=52，
∴2+AG=2+52=92，
∴AD−12BD≥92，
∴AD−12BD的最小值为92，
故答案为：92．
作CE平分∠ACB，交AD于点F，过点D作DE⊥CF交CF的延长线于点E，根据含30度角的直角三角形性质及线段的和差得出DE=12BD+2，过点A作AG⊥EC于点G，根据斜边大于直角边可知AD−12BD≥2+AG，再次根据含30度角的直角三角形性质求出2+AG的值，即可得出答案．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质、线段的和差，根据已知条件作出合适的辅助线是解题的关键．
14.【答案】解：原式=1(−12)2− 6×2−(1− 3)
=4− 12−1+ 3
=4−2 3−1+ 3
=3− 3．
【解析】先利用负整数指数幂的意义、二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
15.【答案】解：由3x+6≥5(x−2)，得：x≤8，
由1−x−23≤2x−12，得：x≥138，
则不等式组的解集为138≤x≤8．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】解：(1−1x−3)÷x2−4xx2−9
=x−3−1x−3÷x(x−4)(x+3)(x−3)
=x−4x−3⋅(x+3)(x−3)x(x−4)
=x+3x．
【解析】先将括号内的进行合并，把除法变成乘法，再约分可得结果．
此题主要是考查了分式的混合运算，分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
17.【答案】解：如图所示：点D即为所求．

【解析】根据题意，作出BC边的垂直平分线与AB的交点即为所求．
考查了作图−复杂作图，关键是熟练掌握线段垂直平分线的作法．
18.【答案】证明：∵∠B=∠C=∠AED，
设∠B=∠C=∠AED=α
∴∠AEB+∠DEC=180°−α，∠EDC+∠DEC=180°−α，
∴∠AEB=∠EDC，
在△ABE和△ECD中，
∠B=∠CBE=CD∠AEB=∠EDC，
∴△ABE≌△ECD(ASA)，
∴AE=DE．
【解析】证出∠AEB=∠EDC，证明△ABE≌△ECD(ASA)，由全等三角形的性质可得出结论．
本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，证明△ABE≌△ECD是解题的关键．
19.【答案】解：设共做了x张桌子，则需要的桌面的材料为120xm3，桌腿需要木材为4×1400xm3.由题意，得
120x+4×1400x=12，
解得：x=200．
则120x=120×200=10(m3)
12−10=2(m3).
答：用10m3木材作桌面，2m3木材作桌腿，才能尽可能多的制作桌子．
【解析】设共做了x张桌子，则需要的桌面的材料为120xm3，桌腿需要木材为4×1400xm3.根据总木材为12m3建立方程求出其解即可．
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据“桌面的材料+桌腿的材料=12”建立方程是关键．
20.【答案】解：延长AB交MN于H，过C作CG⊥MN于G，

则四边形BHGC是矩形，
∴HG=BC=2，∠CGD=90°，BH=CG，
∵∠CDG=30°，CD=2m，
∴CG=12CD=1m，DG= 3m，
∴HE=HG+GD+DE=8+ 3，
∵同一时刻，物高和影长成正比，
∴AHEH=1.61.2，
∴AH8+ 3=1.61.2，
∴AH=43(8+ 3)m，
∴AB=AH−BH=43(8+ 3)−1=29+4 33m，
答：旗杆AB的高度约为29+4 33m．
【解析】延长AB交MN于H，过C作CG⊥MN于G，根据矩形的性质得到HG=BC=2，∠CGD=90°，BH=CG，解直角三角形得到CG=12CD=1，DG= 3，根据同一时刻，物高和影长成正比，列方程即可得到结论．
本题考查了解直角三角形−坡度坡角问题，平行投影，熟练掌握同一时刻，物高和影长成正比是解题的关键．
21.【答案】解：(1)过点A作AD⊥s轴于点D，
∵∠AOD=45°，
∴∠ODA=45°=∠AOD，
∴OD=AD=4，
∴D(7,4)，
由题意得C(10,3)，
设BC所在直线的函数表达式ℎ=ks+b，
∴7k+b=410k+b=3，
解得k=−13b=193
∴设BC所在直线的函数表达式为ℎ=−13s+193；
(2)设OA的解析式为：ℎ=as，
∵A(4,4)，
∴4a=4，
∴a=1．
∴OA的解析式为：ℎ=s．
当飞机在线段OA上，ℎ=2时，s=2；
当飞机在BC上，ℎ=2时，2=−13s+193，
∴s=13；
∴当飞机距地面的垂直高度为2km时，它距起点O的水平距离是2km或13km．
【解析】(1)先求出点B，C的坐标，根据待定系数法即可求出求BC所在直线的函数表达式；
(2)求出OA的解析式，把ℎ=2代入OA和BC的解析式，求出s即可．
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．
22.【答案】C
解：(1)(2)把100名学生的“劳动时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在C组，故这100名学生的“劳动时间”的中位数落在C组，
故答案为：C；
(2)x−=1100×(50×8+75×16+105×40+105×36)=112(分钟)，
答：这100名学生的平均“劳动时间”为112分钟；
(3)1200×40+36100=912(人)，
答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数为912人．
(1)利用中位数的定义解答即可；
(2)根据平均数的定义解答即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查了频数(率)分布表．从频数(率)分布表中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应百分比．
23.【答案】( 1)证明：如图1，过点B作EF//CD，分别交AD于点E，交OC于点F．
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°．
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°．
∵EF/​/CD，
∴∠OFB=∠AEB=90°，
∴∠BOC+∠OBF=90°，∠ABE+∠BAD=90°，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OBA=90°．
∴∠OBF+∠ABE=90°，
∴∠OBF=∠BAD，
∴∠BOC+∠BAD=90°；
(2)解：如图1，在Rt△ABE中，
∵AB=75cm，cs∠BAD=35，
∴AE=45cm．
由(1)知，∠OBF=∠BAD，
∴cs∠OBF=35，
在Rt△OBF中，
∵OB=25cm，
∴BF=15cm，
∴OF= OB2−BF2=20cm．
∵OC=25cm，
∴CF=5cm．
∵∠OCD=∠ADC=∠CFE=90°，
∴四边形CDEF为矩形，
∴DE=CF=5cm，
∴AD=AE+ED=50cm，
即此时AD的长为50cm．
【解析】本题重点考查切线的判定和性质，解直角三角形，解题关键是根据已知和所求问题，合理作出辅助线．
(1)如图1，过点B作EF//CD，分别交AD于点E，交OC于点F.首先证明∠BOC+∠OBF=90°，∠ABE+∠BAD=90°；再根据B是切点得出∠OBA=90°.再进行角度的等量代换即可证明结论；
(2)利用(1)中图1的辅助线即可解答．首先根据条件AB=75，cs∠BAD=35，得到AE=45.再利用(1)证明出的，∠OBF=∠BAD，结合锐角三角函数的定义和勾股定理求出OF，CF，再证明四边形CDEF为矩形，所以DE=CF=5，从而得到AD=AE+ED=50cm．
24.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
把A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx+c，
得a−b+c=09a+3b+c=0c=3.解得a=−1b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3．
(2)设平移后的抛物线为K：y=−x2+mx+n，
∵抛物线y=−x2+mx+n经过点B(3,0)，
∴−9+3m+n=0，
∴n=9−3m，
∴y=−x2+mx+9−3m，
∴P(0,9−3m)；
当y=0时，由−x2+mx+9−3m=0，得x=m±|m−6|2，
∴x1=3，x2=m−3．
如图1，当m−3≥0，即m≥3时，△BPQ不能是直角三角形；
如图2，当m−3<0，即m<3时，存在△BPQ是直角三角形，且只有∠BPQ=90°一种情况．
∵∠POQ=∠BOP=90°，∠QPO=90°−∠BPO=∠PBO，
∴△POQ∽△BOP，
∴OQOP=OPOB，
∴OP2=OQ⋅OB，
∴(9−3m)2=3(3−m)，
∴m1=83，m2=3(不符合题意，舍去)，
∴抛物线K：y=−x2+83x+1，
∵抛物线L：y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
抛物线K：y=−x2+83x+1=−(x−43)2+259，
∴43−1=13，259−4=−119，
∴抛物线L向右平移13个单位长度，再向下平移119个单位长度．
【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx+c，列方程组求a、b、c的值；
(2)设平移后的抛物线的解析式为y=ax2+mx+n，将B(3,0)代入y=ax2+mx+n，其中a为(1)中求出的常数，用含m的代数式表示n，再用含m的代数式分别表示点P、点Q的坐标，根据相似三角形对应边成比例列方程求出m的值，得到平移后的抛物线的解析式，再将两个解析式分别配成顶点式进行比较，即可得出平移过程．
此题重点考查二次函数的图象和性质、平移的特征、相似三角形的判定与性质以及含参数的一元二次方程的解法等知识，解题时应特别注重数形结合、分类讨论等思想方法的运用，提高动手操作能力，此题属于考试压轴题．
25.【答案】解：(1)如图1，

作△BCE的外接圆O，交AB于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=9，∠BCD=∠ABC=90°，
∵BE平分∠ABC，∠DCE=15°，
∴∠CBE=12∠ABC=45°，∠BCE=90°−∠DCE=75°，
在△BCE中，
∠BEC=180°−∠CBE−∠BCE=60°，
∵BC=BC，
∴∠BFC=∠BEC=60°，
∵∠CBF=90°，
∴CF是⊙O的直径，
∵CF=BCsin∠BFC=9 32=6 3，
∴△BCE外接圆的半径长是3 3；
(2)如图2，

作△GEF的外接圆O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BC，
∴∠BCF=∠CFD，
∵∠EGF=∠BCF，
∴∠EGF=∠CFD，
∵tan∠CFD=CDDF=2
∴sin∠EGF=sin∠CFD=2 5，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠CFD+∠DCF=90°，
∵∠CFE=90°，
∴∠DFC+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DCF，
∴△AEF∽△DFC，
∴AFAE=CDDF=2，
∴AF=2AE=16，
∴EF= AE2+AF2= 82+162=8 5，
同理(1)得，
⊙O的直径=8 5sin∠EGF=8 52 5=20，
作OH/​/AB，交AD于W，过H作⊙O的切线，交AB于M，延长FC交MH于N，作NR⊥AD，
从而得出矩形ABCD的面积最大值是矩形AMNR的面积，
过点O作PT⊥EF交EF于Q，交AD于P，连接OF，
∴FQ=EQ=12EF=4 5，
∴OQ= OF2−FQ2=2 5，
∴tan∠OFQ=OQFQ=12，
∴∠OFQ=∠AFE，
∵∠FQP=∠FQO=90°，FQ=FQ，
∴△PFQ≌△OFQ(ASA)，
∴PF=OF=10，
∵S△POF=12PF⋅OW=12OP⋅FQ，
∴OW=OP⋅FQPF=4 5⋅4 510=8，
∴WH=OH+OW=10+8=18，
∴RN=WH=18，
∴FR=12RN=9，
∴AR=AF+FR=16+9=25，
∴S矩形AMNR=AR⋅RN=25×18=450，
即矩形ABCD面积的最大值是450m2．
【解析】(1)作△BCE的外接圆O，交AB于F，解直角三角形BCF，从而求得结果；
(2)先求得EF长，从而求得△EFG的外接圆O的直径，作OH/​/AB，过H作⊙O的切线，交AB于M，延长FC交MH于N，作NR⊥AD，从而得出矩形ABCD的面积最大值是矩形AMNR的面积，过点O作PT⊥EF交EF于Q，交AD于P，连接OF，推得PF=OF，进而根据S△POF=12PF⋅OW=12OP⋅FQ求得OW的值，进一步求得结果．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”模型．组别
“劳动时间”t/分钟
频数
组内学生的平均“劳动时间”/分钟
A
t<60
8
50
B
60≤t<90
16
75
C
90≤t<120
40
105
D
t≥120
36
150