2023-2024学年山东省潍坊市潍城区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省潍坊市潍城区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
4.已知，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
5.某中学足球队名队员的年龄如表：关于这名队员的年龄，下列说法错误的是( )
A. 众数是B. 平均数是C. 中位数是D. 方差是
6.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.如图，在直角坐标系中，以点，，为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，，平分，，，，为垂足，连接则下列结论一定正确的有( )
A.
B.
C. 垂直平分
D. 平分
9.如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，取的中点，连接；任取一点，使点和点分别在边的两侧，以点为圆心，的长为半径作弧，与边相交于点和，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点，作直线，交于点若，且，则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
10.如图，点为正方形对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接下列结论正确的有( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
11.如果，那么 ______．
12.若实数，满足，且，恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是______．
13.如图，▱的对角线，相交于点，点，在的上，添加一个条件使≌，这个条件可以是______写出一个即可．
14.已知，，，，，即当为大于的奇数时，；当为大于的偶数时，，则 ______．
四、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解方程：
；
．
16.本小题分
先化简，再求值：，其中．
17.本小题分
阅读下题及证明过程：已知：如图，是中边上一点，是上一点，，，求证：．
证明：在和中，
，，，
≌第一步
第二步
问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
18.本小题分
如图，是等腰三角形，，点在边上运动与，不重合，点、分别在边，上，且始终有，，连接，，设与交于点．
求证：；
若，随着点的运动，的大小是否为定值？如果是定值，请求出的度数；如果不是定值，请说明理由．
19.本小题分
张老师任教的八年级、班每班都有人，为了加强部分同学的运算能力，从每班抽取运算能力薄弱的名同学进行专项训练，经过一段时间后，进行了一次过关测试，测试成绩分别记为、、、四个等级，其中相应等级得分依次记为分、分、分、分现将两个班参与专项训练的同学的测试成绩整理并绘制成如图所示的不完整的统计图表．

把班测试成绩条形统计图补充完整；
写出表中，，的值；
从平均数、中位数、众数、方差中任选两个统计量对两个班级的专项训练情况进行比较，并做出评价．
20.本小题分
如图，点为矩形的边上一点，连接，将沿所在的直线翻折得到，射线交的延长线于点，连接，．
求证：；
当时，判断四边形的形状，并说明理由．
21.本小题分
“绿色环保，健康出行”，新能源汽车在汽车市场占比越来越大通过对某品牌的插电混动新能源汽车的调研，了解到该车在单纯耗电和单纯耗油费用均为元的情况下续航里程之比为：，经计算单纯耗电相比单纯耗油每公里节约元．
分别求出单纯耗电和单纯耗油每公里的费用；
随着更多新能源车进入千家万户，有条件的用户可享受低谷时段优惠电价，每度约为元该品牌新能源车充电度可续航公里，试计算低谷时段充电时每公里所需电费若每年行驶里程为公里且一直在低谷时段充电，请计算单纯耗电比单纯耗油一年节省的费用．
22.本小题分
已知为四边形，点为边延长线上一点．
【探究】：
如图，，，和的平分线交于点，则 ______；
如图，，，且，和的平分线交于点，则 ______；用，表示
如图，，，当和的平分线，平行时，，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论；
【挑战】：
如果将中的条件改为，再分别作和的平分线，若两平分线所在的直线交于点，则与，有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．
答案和解析
1.【答案】
解：选项A、、均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
解：、，故A选项不符合条件；
B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理作出判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
3.【答案】
解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
即，
，
，
，
故选：．
先根据直角三角形两锐角互余求出、的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数，最后根据平角的定义即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，平角的定义，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．
4.【答案】
解：，
，
，
．
故选：．
根据求出，，变形后代入，即可求出答案．
本题考查了分式的加减，能求出是解此题的关键．
5.【答案】
解：这名队员的年龄的众数是，
平均数是，
中位数为，
方差为，
故选项B符合题意．
故选：．
根据众数、加权平均数、中位数和方差的定义逐一计算可得．
本题主要考查众数、加权平均数、中位数和方差的定义，熟练掌握众数、加权平均数、中位数和方差的定义是解题的关键．
6.【答案】
解：逆命题为若，则，是假命题，不符合题意；
B.逆命题为若，则，是假命题，不符合题意；
C.逆命题为若，则，是真命题，符合题意；
D.逆命题为若，则，是假命题，不符合题意；
故选：．
分别写出原命题的逆命题，然后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，熟练写出原命题的逆命题进行判断是解题的关键．
7.【答案】
解：，，，
，
当为边时，第四个点的坐标为，；
当为对角线时，设第四个点的坐标为，
，，
，，
第四个点的坐标为，
故选：．
分两种情况讨论，由平行四边形的性质列出等式可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
8.【答案】
解：平分，，，
，
，故选项B正确，
在和中，
，
≌，
，，
平分，故选项D正确；
故选：．
由角平分线的性质可得，由“”可证和，可得和，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9.【答案】
解：由作图知，，
，
点是的中点，
，故A正确；
由作图知垂直平分，
，故B正确，，
，
，
，故D正确，
无法证明，故C错误，
故选：．
根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查了作图基本作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．
10.【答案】
解：过作于点，过作于点，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形为正方形，
四边形是矩形，
，，
，
又，
在和中，
，
≌，
，故A正确；
矩形为正方形；
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，故C正确；
当时，点与点重合，
不一定等于，故B错误；
不能得出与全等，不一定等于，即不一定等于，故D错误；
故选：．
过作于点，过作于点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故A正确；推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，推出≌，可得，所以，故C正确；当时，点与点重合，得到不一定等于，从而得出不一定等于，即不一定等于，故B，D错误．
本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】
解：，
，
，
故答案为：．
根据，得到，将代入求解即可．
本题考查的是比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键．
12.【答案】
解：，
，，
解得：，，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为，底边长为时，
的周长；
当等腰三角形的腰长为，底边长为时，
，
不能组成三角形；
综上所述：的周长是，
故答案为：．
根据偶次方，算术平方根的非负性可得：，，从而可得：，，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为，底边长为时；当等腰三角形的腰长为，底边长为时；从而进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，偶次方，算术平方根的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
13.【答案】答案不唯一
解：添加．
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
≌．
故答案为：答案不唯一．
由平行四边形的性质得出，由全等三角形的判定可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14.【答案】
解：由题知，
因为，
所以，
，
，
，
，
，
，
由此可见，为正整数的表达式每个一循环，
又因为余，
所以．
故答案为：．
用含的代数式依次表示出，，，，发现规律即可解决问题．
本题考查数字变化的规律，能通过计算发现为正整数的表达式每个一循环是解题的关键．
15.【答案】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解，
即原分式方程的解是；
，
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即原分式方程无解．
【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
16.【答案】解：



，
当时，原式．
【解析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
17.【答案】解：上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下：
在中，


又

．
在和中，，，
≌
．
【解析】上面证明过程不正确，因为没有正确理解全等三角形的判定方法，指的是两边一角且角为这两边的夹角，所以上面证明过程不正确．这就要求我们要真正理解且正确运用全等三角形的判定方法．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18.【答案】证明：设，
，
，
，，
，，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
若，随着点的运动，的大小为定值．
设，，
由可知：≌，
，，
，，
，
即，
由可知：，，
，
，
，
即，
，，
，
在四边形中，，
，
．
即随着点的运动，为定值．
【解析】设，根据等腰三角形得，再根据，，得，，进而得，，则，由此可得，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论；
设，，由可知≌，根据全等三角形的性质得，，再由，，得，进而得，，，则，由此可得，然后由三角形的外角定理得，，则，最后在四边形中，利用四边形的内角和等于可求出的度数．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，灵活运用三角形内角和定理，三角形外角定理进行相关角度的计算是解决问题的关键．
19.【答案】解：班中级的有人，补图如下：

根据题意得：
；
把班人成绩从小到大排列，排在中间的数为，故中位数为，
班出现最多的分数是，故众数，
则，，；
从平均数和众数的角度，班的平均数和众数大于班，故班成绩好于班；
从中位数和方差的角度，班的中位数大于班，方差小于班，故班成绩好于班．
【解析】根据总人数为人，求出等级的人数，补全条形统计图即可；
求出班的平均分与中位数得到与的值，求出得众数得到的值即可；
分情况讨论，分别根据班和班的平均数和众数、班和班的中位数和方差进行分析，即可得出合理的答案．
本题考查了众数、方差、中位数、平均数和统计图，理解众数、方差、中位数、平均数的意义是正确求解的前提．
20.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
由翻折得，
，
．
解：四边形是平行四边形，
理由：作交的延长线于点，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【解析】由矩形的性质得，则，由翻折得，则，所以；
作交的延长线于点，则四边形是矩形，所以，由，，得，可根据“”证明≌，得，由，得，而，所以四边形是平行四边形．
此题重点考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键．
21.【答案】解：设单纯耗电每公里的费用为元，则单纯耗油每公里的费用为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
元．
答：单纯耗电每公里的费用为元，则单纯耗油每公里的费用为元；
根据题意得：元，
元．
答：低谷时段充电时每公里所需电费元，单纯耗电比单纯耗油一年节省的费用为元．
【解析】设单纯耗电每公里的费用为元，则单纯耗油每公里的费用为元，根据该车在单纯耗电和单纯耗油费用均为元的情况下续航里程之比为：，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出单纯耗电每公里的费用，再将其代入中，即可求出单纯耗油每公里的费用；
利用低谷时段充电时每公里所需电费充电度所需电费续航，可求出低谷时段充电时每公里所需电费，再利用单纯耗电比单纯耗油一年节省的费用单纯耗油每公里的费用低谷时段充电时每公里所需电费每年行驶里程，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，列式计算．
22.【答案】
解：如图．
平分，平分，
，．
，
．
又，
；
如图．
由得：，．
．
若，则．
证明：如图．
若，则．
平分，平分，
，．
．
．
．
挑战：如图．
平分，平分，
，．
，
．
．
．
与是对顶角，
．
又，
．
．
利用三角形外角的性质，列出．
通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将转化为含有与的关系式，进而求出；
利用平行项线的性质和角平分线的性质进行分析求解即可．
本题主要考查三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题．年龄岁
人数
班级
平均数
中位数
众数
方差
班
班