2024年广东省茂名市博雅中学中考一模数学试题（含答案）

这是一份2024年广东省茂名市博雅中学中考一模数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了下列运算结果正确的是，如果不等式的解集为，则必须满足等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷一共25道题，答卷时间120分钟；
2．所有试题在答题卡上作答，在试卷作答无效；
3．所有试题在答题框内作答，超出答题框否则无效；
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．的倒数是（ ）
A．B．2024C．D．
2．“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ）
A．B．C．4D．5
3．如图，俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ）
A．28° B．38° C．26°D．30°
6．小明、小华、小亮、小雨4位同学在射箭训练中的平均成绩相同，他们的方差分别是，，，，你认为谁在训练中的发挥更稳定（ ）
A．小明B．小华C．小亮D．小雨
7．如果不等式的解集为，则必须满足（ ）
A．B．C．D．
8．如右下图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A．2B．4C．1D．
9．如右图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A．40°B．70°C．110°D．140°
10．如图，在中，，，，直线经过点，且垂直于，直线从点出发，沿方向以的速度向点运动，当直线经过点时停止运动，分别与、（）相交于点，，若运动过程中的面积是，直线的运动时间是则与之间函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式：______．
12．计算：______．
13．若式子有意义，则的取值范围是______．
14．如右上图，禁令标志是交通标志中的一种，是对车辆加以禁止或限制的标志，如禁止通行、禁止停车、禁止左转弯、禁止鸣喇叭、限制速度、限制重量等．如图，该禁令标志的内角和是______．
15．若单项式的与是同类项，则______．
16．如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、点关于原点对称，则当取最大值时，点的坐标为______．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到组（体温检测）、组（便民代购）、组（环境消杀）．
（1）小红的爸爸被分到组的概率是______；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的范围；
（2）若方程的两个实数根为，，且，求的值．
21．如图，在四边形中，，过点作交于点，点为边上一点，，连接．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，，求的长．
22．茂名博雅中学为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
24．如图，二次函数（），与时的函数值相等，其图象与轴交于、两点，与轴正半轴交于点．
备用图1 备用图2
（1）求二次函数的解析式．
（2）在第一象限的抛物线上求点，使得最大．
（3）点是抛物线上轴上方一点，若，求点坐标．
25．在中，．将绕点顺时针旋转得到，旋转角小于，点的对应点为点，点的对应点为点，交于点，延长交于点．
图1 图2 图3
（1）如图1，求证；
（2）当时，
①如图2，若，，求线段的长；
②如图3，连接，，延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由．
2024年春季学期初三级第一次摸底考试（数学）
参考答案
一、选择题（共10小题）
1．C 2．B 3．C 4．D 5．A 6．A 7．D 8．A 9．D
10．B．
图1
二、填空题（共6小题）
11． 12． 13． 14．1080° 15．6
16．
三、解答题（共8小题）
17．解：原式．
18．解：原式
，
当时，原式．
19．解：（1）共有3种等可能出现的结果，被分到“组”的有1种，因此被分到“组”的概率为；
（2）用列表法表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，
．
20．解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，，；
（2）关于的一元二次方程的两个实数根为、，
，，，，，
，符合题意．
21．（1）证明：，，四边形是平行四边形．
，平行四边形是矩形；
（2）解：，，，，
四边形是矩形，，，
，，
，，
，，，即，．
22．解：（1）设每个乙种书柜的进价为元，则每个甲种书柜的进价为元，
根据题意得，，解得，
经检验，是原方程的根，（元）．
故每个甲种书柜的进价为330元，每个乙种书柜的进价为300元；
（2）设购进甲种书柜个，则购进乙种书柜个，购进两种书柜的总成本为元．
根据题意得，，解得（），
．随的增大而增大，当时，（元）．
故购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元．
23．解：（1）连接，
，，
是的切线，为切点，，，
，，：
（2），，，，，，
，
，设，，，，
，，，，，
．
24．解：（1）与时的函数值相等，
，
解方程，得．
把代入二次函数（），
二次函数的解析式为：．
（2）如图过点作轴，交于点．
把代入，得为：，
解，得，．点，，
又，直线：，
设点．
把代入，，点的坐标为，
．
，
当时，有最大值，最大值为4，所以点的坐标，
（3）如图．将绕点顺时针旋转90°得到，则，取的中点，作直线交抛物线于，则，
，，直线的解析式为，
由，解得或，．
25．（1）证明：连接，如图1，
图1
由旋转的性质知，，，
，，；
（2）解：①连接，如图2．
图2
，，，．
由旋转的性质知，，．
由（1）知，，．
，，，，
，；
②是线段的中点．理由如下：
连接，延长和交于点，如图3，
图3
在和中，
，，．
，，．
．
在和中，
，，，即是线段的中点．
小红爸爸
王老师