初中沪教版 (五四制)第二十一章 代数方程第三节 无理方程优秀同步练习题

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一、无理方程
方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.
要点：
简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程．
二、有理方程
整式方程和分式方程统称为有理方程.
三、代数方程
有理方程和无理方程统称为代数方程.
要点：
代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算.
四、解无理方程的一般步骤
1.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤：
①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边；
②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程；
③解整式方程；
④验根；
⑤写答案.
要点：
解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为：
2.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤：
①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边；
②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程；
以下与1步骤相同.
要点：
解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施。
五、代数方程分类整式方程
有理方程
分式方程
代数方程
无理方程
六、二元二次方程
1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.
要点诠释：
（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a、b、c分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d、e分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项.
2.二元二次方程的解
能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.
要点：
二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.
七、二元二次方程组
1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.
要点：
不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.
2. 二元二次方程组的解:
方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.
八、二元二次方程组的解法
代入消元法
代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：
①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；
②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；
③解这个一元二次方程，求得未知数的值；
④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；
⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解；
⑥写出原方程组的解.
要点：
（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；
（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.
2、因式分解法
(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.
(2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.
九、方程（组）的应用
应用二元二次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审题；（2）设未知数（2个）；（3）列二元二次方程组；（4）解方程组；（5）检验是否是方程的解以及是否符合实际；（6）写出答案.
要点：
一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求.
题型1：无理方程的概念
1．以下方程是无理方程的是（ ）
A．B．
C．D．
题型2：解无理方程
2．下列说法正确的是（ ）
A．方程无实数根
B．方程变形所得有理方程为
C．方程的根是
D．关于x的方程有实数根，那么
3．解方程：．
4．解方程：2x1．
5．解方程：2x2﹣3x+2x1．
题型3：有无实数根的问题
6．下列方程中，有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
7．下列方程中，有实数解的是（ ）
A．B．
C．D．
8．下列关于的方程中，一定有实数解的是（ ）
A．B．
C．D．
9．在下列方程中，无实数根的方程有（ ）
①； ②； ③；
④； ⑤； ⑥．
A．2B．3C．4D．5
题型4：无理数的解（求参）
10．如果关于的方程有实数根，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
题型5：二元二次方程与二元二次方程组
11．请写出一个解是的二元二次方程，这个方程可以是_____．
12．下列方程组中是二元二次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
13．把二元二次方程化成两个一次方程，则这两个一次方程分别是：__________和__________．
题型6：二元二次方程（组）的解与解二元二次方程组
14．已知______（填“是”或“不是”）方程的解．
15．方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
16．由方程组消去y后化简得到的方程是（ ）
A．2x2﹣2x﹣6＝0B．2x2+2x+5＝0C．2x2+5＝0D．2x2﹣2x+5＝0
17．二元二次方程组的解的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
A．B．±C．D．±
19．解方程组：
20．解方程组：．
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．是二项方程B．是无理方程
C．是分式方程D．是二元二次方程
2．下列方程中，有实数解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列方程，有实数解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列方程组中是二元二次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列二次方程中能化成两个一次方程的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
A．2B．3C．4D．5
6．解方程组的可行方法是（ ）
A．将①式分解因式B．将②式分解因式
C．将①②式分解因式D．加减消元
7．下列各对未知数的值中，是方程组的解的是（ ）
A．B．C．D．
8．方程组的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．方程组在实数范围内（ ）
A．有1组解
B．有2组解
C．有4组解
D．有多于4组的解
10．方程有解但无不同的解时，a=（ ）
A．1B．0C．﹣D．﹣1
二、填空题
11．方程的根是______．
12．方程的解是____________．
13．下列方程：，，，无实数根的方程有________个．
14．若关于的方程在实数范围内有两解，则的取值范围是________．
15．方程＝0的解是 _____．
16．把方程组，化成两个二元二次方程组是______．
17．把二元二次方程x2﹣y2﹣2x+2y＝0化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是__和__．
18．方程组的解为 ___．
19．关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是 ___．
20．如果，那么的值为_________________．
三、解答题
21．解方程3﹣2﹣＝x．
22．解方程：
23．已知a＞1，解方程：＝x．
24．解方程组：．
25．解方程组：．
26．（1）解方程组：；
（2）解方程组：．
27．解方程组：
28．解方程
(1)解无理方程：﹣＝1；
(2)已知关于x的方程+m+x＝3有一个实数根是x＝1，试求m的值．
29．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”：②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；
(3)已知关于x，y的二元一次方程：和（其中k为常数）是“相伴方程”，求k的值.